合肥市第六中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

合肥市第六中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．參加抗疫的300名醫(yī)務(wù)人員，編號為1，2，…，300.為了解這300名醫(yī)務(wù)人員的年齡情況，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的方法從中抽取15名醫(yī)務(wù)人員的年齡進(jìn)行調(diào)查.若抽到的第一個編號為6，則抽到的第二個編號為（）A.21 B.26C.31 D.362．已知函數(shù)，則（）A. B.0C. D.13．我們知道，償還銀行貸款時(shí)，“等額本金還款法”是一種很常見的還款方式，其本質(zhì)是將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生張華向銀行貸款的本金為48萬元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設(shè)張華第個月的還款金額為元，則（）A.2192 B.C. D.4．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則等于（）A. B.C. D.5．若命題“對任意，使得成立”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.6．等比數(shù)列的公比為，則“”是“對于任意正整數(shù)n，都有”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件7．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.48．若、且，則下列式子一定成立的是（）A. B.C. D.9．在中，，，，若該三角形有兩個解，則范圍是（）A. B.C. D.10．在正方體中，分別為的中點(diǎn)，為側(cè)面的中心，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.11．直線與圓相交于點(diǎn)，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，若是正三角形，則實(shí)數(shù)的值為A.1 B.-1C. D.12．已知平面上兩點(diǎn)，則下列向量是直線的方向向量是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過點(diǎn)，且周長最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______14．如圖①，用一個平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度出發(fā)對這個問題進(jìn)行過研究，其中比利時(shí)數(shù)學(xué)家（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩個大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面，截面相切，兩個球分別與截面相切于，在截口曲線上任取一點(diǎn)，過作圓錐的母線，分別與兩個球相切于，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，，于是.由的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓.如圖②，一個半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個點(diǎn)光源，則球在桌面上的投影是橢圓.已知是橢圓的長軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為___________.15．假設(shè)要考查某公司生產(chǎn)的袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時(shí)，先將800袋牛奶按000，001，，799進(jìn)行編號，若從隨機(jī)數(shù)表第7行第8列的數(shù)開始向右讀，則得到的第4個的樣本個體的編號是______（下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行到第9行）84421753315724550688770474476721763350258392120676630163785916955667199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342996602795416．如圖，把正方形紙片沿對角線折成直二面角，則折紙后異面直線，所成的角為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)，（1）若過點(diǎn)P作的切線只有一條，求實(shí)數(shù)的值及切線方程；（2）過點(diǎn)P作斜率為1的直線l與相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求實(shí)數(shù)的值18．（12分）已知命題p：點(diǎn)在橢圓內(nèi)；命題q：函數(shù)在R上單調(diào)遞增（1）若p為真命題，求m的取值范圍；（2）若為假命題，求實(shí)數(shù)m的取值范圍19．（12分）共享電動車（sharedev）是一種新的交通工具，通過掃碼開鎖，實(shí)現(xiàn)循環(huán)共享.某記者來到中國傳媒大學(xué)探訪，在校園噴泉旁停放了10輛共享電動車，這些電動車分為熒光綠和橙色兩種顏色，已知從這些共享電動車中任取1輛，取到的是橙色的概率為，若從這些共享電動車中任意抽取3輛.（1）求取出的3輛共享電動車中恰好有一輛是橙色的概率；（2）求取出的3輛共享電動車中橙色的電動車的輛數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓，點(diǎn)P在圓上，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為是的中點(diǎn)，當(dāng)P在圓M上運(yùn)動時(shí)N形成的軌跡為C（1）求C的軌跡方程；（2）若點(diǎn)，試問在x軸上是否存在點(diǎn)M，使得過點(diǎn)M的動直線交C于兩點(diǎn)時(shí)，恒有？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由21．（12分）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)為，橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上（1）求橢圓C的方程；（2）點(diǎn)T為橢圓C上的點(diǎn)，若點(diǎn)T在第一象限，且與x軸垂直，過T作兩條斜率互為相反數(shù)的直線分別與橢圓C交于點(diǎn)M，N，探究直線的斜率是否為定值？若為定值，請求之；若不為定值，請說明理由22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線：，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)：當(dāng)l與拋物線的對稱軸垂直時(shí)，（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)A在第一象限，記的面積為，的面積為，求的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】將300個數(shù)編號：001，002，003，，3000，再平均分為15個小組，然后按系統(tǒng)抽樣方法得解.【詳解】將300個數(shù)編號：001，002，003，，3000，再平均分為15個小組，則第一編號為006，第二個編號為.故選：B.2、B【解析】先求導(dǎo)，再代入求值.詳解】，所以.故選：B3、D【解析】計(jì)算出每月應(yīng)還的本金數(shù)，再計(jì)算第n個月已還多少本金，由此可計(jì)算出個月的還款金額.【詳解】由題意可知：每月還本金為2000元，設(shè)張華第個月的還款金額為元，則，故選：D4、D【解析】根據(jù)裂項(xiàng)求和法求得，再計(jì)算即可.【詳解】解：由題意得====所以.故選：D5、A【解析】由題得對任意恒成立，求出的最大值即可.【詳解】解：由題得對任意恒成立，(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立)所以故選：A6、D【解析】結(jié)合等比數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)充分必要條件的定義判斷【詳解】若，，則，，充分性不成立；反過來，若，，則時(shí)，必要性不成立；因此“”是“對于任意正整數(shù)n，都有”的既不充分也不必要條件.故選：D7、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.8、B【解析】構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷AB選項(xiàng)；構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷CD選項(xiàng).【詳解】對于AB選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，因?yàn)?、且，則，即，A錯B對；對于CD選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)在上不單調(diào)，無法確定與的大小關(guān)系，故CD都錯.故選：B.9、D【解析】根據(jù)三角形解得個數(shù)可直接構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】三角形有兩個解，，即.故選：D.10、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量求解異面直線夾角的余弦值.【詳解】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，，，，則，，設(shè)異面直線與所成角為（），則.故選：A11、C【解析】由題意得，直線被圓截得的弦長等于半徑．圓的圓心坐標(biāo)，設(shè)圓半徑為，圓心到直線的距離為，則由條件得，整理得所以，解得．選C12、D【解析】由空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算和空間向量平行的坐標(biāo)表示，以及直線的方向向量的定義可得選項(xiàng).【詳解】解：因?yàn)閮牲c(diǎn)，則，又因?yàn)榕c向量平行，所以直線的方向向量是，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】方法一：根據(jù)當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，圓周長最小，由線段的中點(diǎn)為圓心，其長一半為半徑求解；方法二：根據(jù)當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，圓周長最小，根據(jù)以AB為直徑的圓的方程求解.【詳解】方法一：當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，過點(diǎn)，的圓的半徑最小，從而周長最小，即圓心為線段的中點(diǎn)，半徑則所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為方法二：當(dāng)線段為圓的直徑時(shí)，過點(diǎn)，的圓的半徑最小，從而周長最小又，，故所求圓的方程為，整理得，所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為14、##0.5【解析】利用球與圓錐相切，得出截面，在平面圖形中求解，以及圓錐曲線的來源來理解切點(diǎn)為橢圓的一個焦點(diǎn)，求出，得出離心率.【詳解】設(shè)球切于，切于E，，球半徑為2，所以，，∴，又中，，，故橢圓長軸長為,,根據(jù)橢圓在圓錐中截面與二球相切的切點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)知：球O與相切的切點(diǎn)為橢圓的一個焦點(diǎn)，且，，橢圓的離心率為.故答案：.15、【解析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法依次列舉出來即可.【詳解】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法最先檢測的3袋牛奶編號為：331、572、455、068.故答案為：068.16、##30°【解析】過點(diǎn)E作CE∥AB，且使得CE=AB，則四邊形ABEC是平行四邊形，進(jìn)而（或其補(bǔ)角）是所求角，算出答案即可.【詳解】過點(diǎn)E作CE∥AB，且使得CE=AB，則四邊形ABEC是平行四邊形，設(shè)所求角為，于是.設(shè)原正方形ABCD邊長為2，取AC的中點(diǎn)O，連接DO,BO，則且，而平面平面，且交于AC，所以平面ABEC，則.易得，，，而則于是，,.在中，，取DE的中點(diǎn)F，則，所以，即，于是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；當(dāng)時(shí)，切線方程為；當(dāng)時(shí)，切線方程為；（2）或【解析】(1)根據(jù)題意可知P在圓上，據(jù)此即可求t和切線方程；(2)的面積，則當(dāng)面積最大時(shí)，．即，據(jù)此即可求出圓心O到直線l的距離，即可求出t的數(shù)值.【小問1詳解】由題意得點(diǎn)在上，∴，，①當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)，直線OP的斜率，切線斜率，切線方程為，即②當(dāng)時(shí)，切點(diǎn)，直線OP的斜率，切線斜率，切線方程，即【小問2詳解】∵的面積，則當(dāng)面積最大時(shí)，．即，則圓心O到直線l距離又直線，即，則，解之得或注：亦可設(shè)圓心O到直線l的距離為d，則的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(下同)18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意列不等式組求解（2）判斷的真假性后分別求解【小問1詳解】由題意得，解得且故m的取值范圍是【小問2詳解】∵為假命題，∴p和q都是真命題，對于命題q，由題意得：恒成立，∴，∴，∴，解得故m的取值范圍是19、（1）；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.【解析】（1）先求出兩種顏色的電動車各有多少輛，然后根據(jù)超幾何分布求概率的方法即可求得答案；（2）先確定X的所有可能取值，進(jìn)而求出概率并列出分布列，然后根據(jù)期望公式求出答案.【小問1詳解】因?yàn)閺?0輛共享電動車中任取一輛，取到橙色的概率為0.4，所以橙色的電動車有4輛，熒光綠的電動車有6輛.記A為“從中任取3輛共享單車中恰好有一輛是橙色”，則.【小問2詳解】隨機(jī)變量X的所有可能取值為0,1,2,3.所以，，，.所以分布列為0123數(shù)學(xué)期望.20、（1）；（2）不存在，理由見解析.【解析】(1)設(shè)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式用N的坐標(biāo)表示P的坐標(biāo)，將P的坐標(biāo)代入圓M的方程化簡即可得N的軌跡方程；(2)假設(shè)存在，設(shè)M為(m，0)，設(shè)直線l斜率為k，表示其方程，l方程和橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理得根與系數(shù)關(guān)系，由，得，代入根與系數(shù)的關(guān)系求k與m關(guān)系即可判斷.【小問1詳解】設(shè)，因?yàn)镹為的中點(diǎn)，，又P點(diǎn)在圓上，，即C軌跡方程為；【小問2詳解】不存在滿足條件的點(diǎn)M，理由如下：假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)M，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，直線的斜率為k，則直線的方程為，由消去y并整理，得，設(shè)，則由，得，即，將代入上式并化簡，得將式代入上式，有，解得，而，求得點(diǎn)M在橢圓外，若與橢圓無交點(diǎn)不滿足條件，所以不存在這樣的點(diǎn)M【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是由得，將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系進(jìn)行計(jì)算.21、（1）；（2）直線的斜率為定值，且定值為.【解析】（1）根據(jù)橢圓的離心率及所過的點(diǎn)求出橢圓參數(shù)a、b，即可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由題設(shè)得，法一：設(shè)為，聯(lián)立橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理求M坐標(biāo)，根據(jù)與斜率關(guān)系求N的坐標(biāo)，應(yīng)用兩點(diǎn)式求斜率；法二：設(shè)為，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理及得到關(guān)于參數(shù)m、k的方程，即可判斷是否為定值.【小問1詳解】由題意，則，又，所以橢圓C方程為，代入有，解得，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】由題設(shè)易知：，法一：設(shè)直線為，由，消去y，整理得，因?yàn)榉匠逃幸粋€根為，所以M的橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)，故M為，用代替k，得N為，所以，故直線的斜率為定值法二：由已知直線的斜率存在，可設(shè)直線為，，由，消去y，整理得，所以，而，又，代入整理得，所以，即，若，則直線過點(diǎn)T，不合題意，所以．即，故直