2025屆湖南省邵東縣創(chuàng)新實驗學校數學高二上期末學業(yè)水平測試試題含解析

2025屆湖南省邵東縣創(chuàng)新實驗學校數學高二上期末學業(yè)水平測試試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．橢圓的左右焦點分別為，是上一點，軸，，則橢圓的離心率等于（）A. B.C. D.2．在四面體中，，，，且，，則等于（）A. B.C. D.3．在四面體中，點G是的重心，設，，，則（）A. B.C. D.4．下列求導錯誤的是（）A. B.C. D.5．如圖，過拋物線的焦點的直線與拋物線交于兩點，與其準線交于點（點位于之間）且于點且，則等于（）A. B.C. D.6．已知復數滿足(其中為虛數單位)，則復數的虛部為（）A. B.C. D.7．直線l經過兩條直線和的交點，且平行于直線，則直線l的方程為（）A. B.C. D.8．圍棋起源于中國，據先秦典籍世本記載：“堯造圍棋，丹朱善之”，至今已有四千多年歷史．圍棋不僅能抒發(fā)意境、陶冶情操、修身養(yǎng)性、生慧增智，而且還與天象易理、兵法策略、治國安邦等相關聯(lián)，蘊含著中華文化的豐富內涵．在某次國際圍棋比賽中，規(guī)定甲與乙對陣，丙與丁對陣，兩場比賽的勝者爭奪冠軍，根據以往戰(zhàn)績，他們之間相互獲勝的概率如下：甲乙丙丁甲獲勝概率乙獲勝概率丙獲勝概率丁獲勝概率則甲最終獲得冠軍的概率是（）A.0.165 B.0.24C.0.275 D.0.369．已知數列為等比數列，若，，則的值為（）A.8 B.C.16 D.±1610．橢圓的長軸長為（）A. B.C. D.11．雙曲線：的一條漸近線與直線垂直，則它的離心率為（）A. B.C. D.12．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，下頂點為，直線與橢圓的另一個交點為，若為等腰三角形，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．與圓外切于原點，且被y軸截得的弦長為8的圓的標準方程為__________14．直線與直線平行，則m的值是__________15．已知春季里，甲地每天下雨的概率為，乙地每天下雨的概率大于0，且甲、乙兩地下雨相互獨立，則春季的一天里，已知乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為___________.16．在平行六面體中，點P是AC與BD的交點，若，且，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，且，，，，，為的中點（1）求證：平面；（2）在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說明理由18．（12分）已知離心率為的橢圓經過點.（1）求橢圓的方程；（2）若不過點的直線交橢圓于兩點，求面積的最大值.19．（12分）如圖，在四棱錐中，側面底面ABCD，側棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，（1）求證：平面ACF；（2）在線段PB上是否存在一點H，使得CH與平面ACF所成角的正弦值為？若存在，求出線段PH的長度；若不存在，請說明理由20．（12分）已知拋物線的焦點為，點在第一象限且為拋物線上一點，點在點右側，且△恰為等邊三角形（1）求拋物線的方程；（2）若直線與交于兩點，向量的夾角為（其中為坐標原點），求實數的取值范圍.21．（12分）已知函數（a是常數）.（1）當時，求的單調區(qū)間與極值；（2）若，求a的取值范圍.22．（10分）在平面直角坐標系中，已知圓，點P在圓上，過點P作x軸的垂線，垂足為是的中點，當P在圓M上運動時N形成的軌跡為C（1）求C的軌跡方程；（2）若點，試問在x軸上是否存在點M，使得過點M的動直線交C于兩點時，恒有？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】在中結合已知條件，用焦距2c表示、，再利用橢圓定義計算作答.【詳解】令橢圓的半焦距為c，因是上一點，軸，，在中，，，由橢圓定義知，則，所以橢圓的離心率等于.故選：A2、B【解析】根據空間向量的線性運算即可求解.【詳解】解：由題知，故選：B.3、B【解析】結合重心的知識以及空間向量運算求得正確答案.【詳解】設是中點，.故選：B4、B【解析】根據導數運算求得正確答案.【詳解】、、運算正確.，B選項錯誤.故選：B5、B【解析】由題可得，然后結合條件可得，即求.【詳解】設于點，準線交軸于點G，則，又，∴，又于點且，∴BE∥AD，∴，即，∴，∴等于.故選：B.6、A【解析】由題目條件可得，即，然后利用復數的運算法則化簡.【詳解】因為，所以，則故復數的虛部為.故選：A.【點睛】本題考查復數的相關概念及復數的乘除運算，按照復數的運算法則化簡計算即可，較簡單.7、B【解析】聯(lián)立已知兩條直線方程求出交點，再根據兩直線平行則斜率相同求出斜率即可.【詳解】由得兩直線交點為(－1，0)，直線l斜率與相同，為，則直線l方程為y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0.故選：B.8、B【解析】先求出甲第一輪勝出的概率，再求出甲第二輪勝出的概率，即可得出結果.【詳解】甲最終獲得冠軍的概率，故選：B.9、A【解析】利用等比數列的通項公式即可求解.【詳解】因為為等比數列，設的公比為，則，，兩式相除可得，所以，所以，故選：A.10、D【解析】由橢圓方程可直接求得.【詳解】由橢圓方程知：，長軸長為.故選：D.11、A【解析】先利用直線的斜率判定一條漸近線與直線垂直，求出，再利用雙曲線的離心率公式和進行求解.【詳解】因為直線的斜率為，所以雙曲線的一條漸近線與直線垂直，所以，即，則雙曲線的離心率.故選：A.卷II（非選擇題12、B【解析】由橢圓定義可得各邊長，利用三角形相似，可得點坐標，再根據點在橢圓上，可得離心率.【詳解】如圖所示：因為為等腰三角形，且，又，所以，所以，過點作軸，垂足為，則，由，，得，因為點在橢圓上，所以，所以，即離心率，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、；【解析】設所求圓的圓心為，根據兩圓外切于原點可知兩圓心與原點共線，再根據弦長列出方程組求出即可.【詳解】設所求圓的圓心為，因為圓的圓心為，與原點連線的斜率為，又所求圓與已知圓外切于原點，，①所以所求圓的半徑滿足，又被y軸截得的弦長為8，②由①②解得，所以圓的方程為.故答案為：14、【解析】利用直線的平行條件即得.詳解】∵直線與直線平行，∴，∴.故答案為：.15、##0.5【解析】根據條件概率求概率的方法即可求得答案.【詳解】設A表示“甲地每天下雨”，B表示“乙地每天下雨”，乙地每天下雨的概率為p，則，因為甲乙兩地下雨相互獨立，所以，于是在乙地下雨的條件下，甲地也下雨的概率為.故答案為：.16、【解析】由向量的運算法則，求得，根據，結合向量的數量積的運算，即可求解.【詳解】由題意可得，，則，故.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）存在，.【解析】(1)建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和直線的單位向量，從而可證明線面平行.(2)令，，設，求出，結合已知條件可列出關于的方程，從而可求出的值.【詳解】證明：過作于點，則，以為原點，，，所在的直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標系則，，，

，，，∵為的中點．∴．則，，，設平面的法向量為，則令，則，，∴．∴，即，又平面．∴平面解：令，，設，∴．∴，∴

.由知，平面的法向量為.∵直線與平面所成角的正弦值為，∴，化簡得，即，∵，∴，故【點睛】本題考查了利用空間向量證明線面平行，考查了平面法向量的求解，屬于中檔題.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據，可設，，求出，得到橢圓的方程，代入點的坐標，求出，即可得出結果.（2）設出點，的坐標，直線與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理求出弦長，由點到直線的距離公式，三角形的面積公式及基本不等式可得結論.【詳解】（1）因為，所以設，，則，橢圓的方程為.代入點的坐標得，，所以橢圓的方程為.（2）設點，的坐標分別為，，由，得，即，，，，.，點到直線的距離，的面積，當且僅當，即時等號成立.所以當時，面積的最大值為.【點睛】本題主要考查了橢圓的標準方程和性質，直線與橢圓相交問題.屬于中檔題.19、（1）證明見解析（2）存在，的長為或，理由見解析.【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面.（2）設，求出，根據與平面所成角的正弦值列方程，由此求得，進而求得的長.小問1詳解】依題意，在四棱錐中，側面底面ABCD，側棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，，以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，設平面法向量為，則，故可設，由于，所以平面.【小問2詳解】存在，理由如下：設，，，，依題意與平面所成角的正弦值為，即，，解得或.，即的長為或，使與平面所成角的正弦值為.20、（1）（2）【解析】（1）根據△恰為等邊三角形由題意知：得到，再利用拋物線的定義求解；（2）聯(lián)立，結合韋達定理，根據的夾角為，由求解.【小問1詳解】解：由題意知：，由拋物線的定義知：，由，解得，所以拋物線方程為；【小問2詳解】設，由，得，則，，則，，因為向量的夾角為，所以，，則，且，所以，解得，所以實數的取值范圍.21、（1）函數在上單調遞增，在上單調遞減，極小值是，無極大值.（2）【解析】（1）由當，得到，求導，再由，求解；（2）將，轉化為成立，令，求其最大值即可.【小問1詳解】解：當時，，定義域為，所以，當時，，當時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以時，取得極小值是，無極大值.【小問2詳解】因為，即成立.設，則，當時，，當時,，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，即.22、（1）；（2）不存在，理由見解析.【解析】(1)設，根據中點坐標公式用N的坐標表示P的坐標，將P的坐標代入圓M的方程化簡即可得N的軌跡方程；(2)假設存在，設M為(m，0)，設直線l斜率為k，表示其方程，l方程和橢圓方程聯(lián)立，根據韋