全國(guó)百校聯(lián)盟2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題含解析

全國(guó)百校聯(lián)盟2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀(guān)題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是（）A.至少有一個(gè)黑球與都是黑球B.至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球C.恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)黑球D.至少有一個(gè)黑球與都是紅球2．是數(shù)列，，，－17，中的第幾項(xiàng)()A第項(xiàng) B.第項(xiàng)C.第項(xiàng) D.第項(xiàng)3．已知三維數(shù)組，，且，則實(shí)數(shù)（）A.-2 B.-9C. D.24．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A. B.C. D.5．如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，已知，，，，則（）A. B.C. D.6．直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)為（）A.1 B.C.2 D.37．等差數(shù)列前項(xiàng)和，已知，，則的值是（）.A. B.C. D.8．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為8，且一個(gè)焦點(diǎn)是圓的圓心，則該橢圓的左頂點(diǎn)為（）A B.C. D.9．某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒．若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少需要等待18秒才出現(xiàn)綠燈的概率為（）A B.C. D.10．等差數(shù)列中，若，則（）A.42 B.45C.48 D.5111．設(shè)P為橢圓C：上一點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，且，則（）A. B.C. D.12．已知實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足則的最大值為（）A.-1 B.0C.1 D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為8，取正方形ABCD各邊的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，作第2個(gè)正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的中點(diǎn)I，J，K，L，作第3個(gè)正方形IJKL.依此方法一直繼續(xù)下去.①?gòu)恼叫蜛BCD開(kāi)始，第7個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為_(kāi)__；②如果這個(gè)作圖過(guò)程可以一直繼續(xù)下去，那么作到第n個(gè)正方形，這n個(gè)正方形的面積之和為_(kāi)__.14．在長(zhǎng)方體中，設(shè)，，則異面直線(xiàn)與所成角的大小為_(kāi)_____15．中國(guó)三大名樓之一的黃鶴樓因其獨(dú)特的建筑結(jié)構(gòu)而聞名，其外觀(guān)有五層而實(shí)際上內(nèi)部有九層，隱喻“九五至尊”之意，為迎接2022年春節(jié)的到來(lái)，有網(wǎng)友建議在黃鶴樓內(nèi)部掛燈籠進(jìn)行裝飾，若在黃鶴樓內(nèi)部九層塔樓共掛1533盞燈籠，且相鄰的兩層中，下一層的燈籠數(shù)是上一層燈籠數(shù)的兩倍，則內(nèi)部塔樓的頂層應(yīng)掛______盞燈籠16．已知函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_____.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面四邊形為角梯形，，，，O為的中點(diǎn)，，.（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成夾角的余弦值.18．（12分）已知圓內(nèi)有一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)l交圓C于A，B兩點(diǎn).（1）當(dāng)P為弦的中點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)l的方程；（2）若直線(xiàn)l與直線(xiàn)平行，求弦的長(zhǎng).19．（12分）(1)已知命題p：；命題q：，若“”為真命題，求x的取值范圍(2)設(shè)命題p：；命題q：，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍20．（12分）已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線(xiàn)上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是5.（1）求該拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程和的值；（2）若過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與該拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，求證：為定值.21．（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為，，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.（1）求橢圓的方程；（2）直線(xiàn)與橢圓相交于A，兩點(diǎn)，求弦長(zhǎng).22．（10分）求滿(mǎn)足下列條件的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為4，實(shí)半軸長(zhǎng)是虛半軸長(zhǎng)的2倍；（2）焦點(diǎn)在y軸上，漸近線(xiàn)方程為，焦距長(zhǎng)為

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】列舉每個(gè)事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義，逐項(xiàng)判斷.【詳解】A：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，如：兩個(gè)都是黑球，這兩個(gè)事件不是互斥事件，故錯(cuò)誤；B：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有一個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，故錯(cuò)誤；C：事件：“恰好有一個(gè)黑球”與事件：“恰有兩個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，但從口袋中任取兩個(gè)球時(shí)還有可能是兩個(gè)都是紅球，兩個(gè)事件是互斥事件但不是對(duì)立事件，故正確D：事件：“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生，但一定會(huì)有一個(gè)發(fā)生，這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，故錯(cuò)誤；故選：C2、C【解析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解【詳解】設(shè)數(shù)列，，，，是首項(xiàng)為，公差d＝－4的等差數(shù)列{}，，令，得故選：C3、D【解析】由空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解【詳解】∵，，，，，，且，∴，解得故選：D4、C【解析】根據(jù)空間里面點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)即可求解.【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：C.5、A【解析】利用空間向量加法法則直接求解【詳解】連接BD，如圖，則故選：A6、C【解析】利用直線(xiàn)和圓相交所得的弦長(zhǎng)公式直接計(jì)算即可.【詳解】由題意可得圓的圓心為，半徑，則圓心到直線(xiàn)的距離，所以由直線(xiàn)和圓相交所得的弦長(zhǎng)公式可得弦長(zhǎng)為：.故選：C.7、C【解析】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，故，故，故選8、D【解析】根據(jù)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是圓的圓心，求得c，再根據(jù)橢圓的短軸長(zhǎng)為8求得b即可.【詳解】圓的圓心是，所以橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，即c=3，又橢圓的短軸長(zhǎng)為8，即b=4，所以橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，所以橢圓的左頂點(diǎn)為，故選：D9、B【解析】由幾何概型公式求解即可.【詳解】紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒，則至少需要等待18秒才出現(xiàn)綠燈的概率為，故選：B10、C【解析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】依題意是等差數(shù)列，，.故選：C11、B【解析】根據(jù)橢圓的定義寫(xiě)出，再根據(jù)條件即可解得答案.【詳解】根據(jù)P為橢圓C：上一點(diǎn)，則有，又，所以，故選：B.12、D【解析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線(xiàn)方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，即可得到結(jié)果【詳解】由約束條件畫(huà)出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)在軸上的截距最小，取得最大值2.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.1②.【解析】根據(jù)題意，正方形邊長(zhǎng)成等比數(shù)列，正方形的面積等于邊長(zhǎng)的平方可得，然后根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式即可求解.【詳解】設(shè)第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，第n個(gè)正方形的面積為，則第n個(gè)正方形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為，所以第n+1個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，，∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，∴，即第7個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1；∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故答案為：1；.14、##【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法即可求出異面直線(xiàn)與所成的角.【詳解】以為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則,所以，因?yàn)?，所以，即，所以異面直線(xiàn)與所成的角為.故答案為：90°.15、【解析】根據(jù)給定條件，各層燈籠數(shù)從上到下排成一列構(gòu)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，各層燈籠數(shù)從上到下排成一列構(gòu)成等比數(shù)列，公比，前9項(xiàng)和為1533，于是得，解得，所以?xún)?nèi)部塔樓的頂層應(yīng)掛3盞燈籠.故答案為：316、【解析】利用導(dǎo)數(shù)求得為增函數(shù)，根據(jù)，求得，進(jìn)而求得，得出即在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率，再利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，即可求解【詳解】由題意，點(diǎn)在曲線(xiàn)上，可得，又由函數(shù)，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，且，所以，因?yàn)椋?，即在點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為2，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)的切線(xiàn)方程為，即.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求解曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)方程，其中解答中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式，結(jié)合直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）連接，可通過(guò)證明，得平面；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量和平面的法向量，通過(guò)向量的夾角公式可得答案.【小問(wèn)1詳解】如圖，連接，在中，由可得.因?yàn)椋?，所以，，因?yàn)?，，，所以，所?又因?yàn)?，平面，，所以平?【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，，，兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.由，有，則，設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，則，，可得平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為，由，，有，取，則，，可得平面的一個(gè)法向量為.由，，，可得平面與平面所成夾角的余弦值為.18、（1）（2）【解析】（1）由題意，，求出直線(xiàn)l的斜率，利用點(diǎn)斜式即可求解；（2）由題意，利用點(diǎn)斜式求出直線(xiàn)l的方程，然后由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出弦心距，最后根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求解.小問(wèn)1詳解】解：由題意，圓心，P為弦的中點(diǎn)時(shí)，由圓的性質(zhì)有，又，所以，所以直線(xiàn)l的方程為，即；【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)橹本€(xiàn)l與直線(xiàn)平行，所以，所以直線(xiàn)的方程為，即，因?yàn)閳A心到直線(xiàn)的距離，又半徑，所以由弦長(zhǎng)公式得.19、（1）（2）【解析】根據(jù)復(fù)合命題的真值表知：p真q假；非q是非p的充分不必要條件，等價(jià)于p是q的充分不必要條件，等價(jià)于p是q的真子集【詳解】命題p：，即；命題，即；由于“”為真命題，則p真q假，從而由q假得，，所以x的取值范圍是命題p：，即命題q：，即由于是的充分不必要條件，則p是q的充分不必要條件即有，【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合命題及其真假屬基礎(chǔ)題20、（1），（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于5，利用拋物線(xiàn)的定義求得p，進(jìn)而得到拋物線(xiàn)方程，然后將點(diǎn)代入拋物線(xiàn)求解；（2）方法一：設(shè)直線(xiàn)方程為：，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，利用數(shù)量積的運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，分直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，檢驗(yàn)即可；當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)方程為：，與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】解：∵拋物線(xiàn)焦點(diǎn)在軸上，且過(guò)點(diǎn)，∴設(shè)拋物線(xiàn)方程為，由拋物線(xiàn)定義知，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于5，即點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于5，則，，∴拋物線(xiàn)方程為，又點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，，，∴所求拋物線(xiàn)方程為，.【小問(wèn)2詳解】方法一：由于直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，可設(shè)直線(xiàn)方程為：，由得，設(shè)，，則，，所以，即為定值；方法二：由于直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，易得直線(xiàn)的方程為，則由可得，，，所以；②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)可設(shè)直線(xiàn)方程為：，由得