2025屆廣東省佛山市華南師范大學(xué)附中南海實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末考試模擬試題含解析

2025屆廣東省佛山市華南師范大學(xué)附中南海實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．從2020年起，北京考生的高考成績(jī)由語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3門(mén)統(tǒng)一高考成績(jī)和考生選考的3門(mén)普通高中學(xué)業(yè)水平考試等級(jí)性考試科目成績(jī)構(gòu)成，等級(jí)性考試成績(jī)位次由高到低分為A、B、C、D、E，各等級(jí)人數(shù)所占比例依次為：A等級(jí)15%，B等級(jí)40%，C等級(jí)30%，D等級(jí)14%，E等級(jí)1%．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從參加歷史等級(jí)性考試的學(xué)生中抽取200人作為樣本，則該樣本中獲得B等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為（）A.30 B.60C.80 D.282．函數(shù)，其部分圖象如圖所示，則（）A. B.C. D.3．半徑為2，圓心角為的扇形的面積為（）A. B.C. D.24．土地沙漠化的治理，對(duì)中國(guó)乃至世界來(lái)說(shuō)都是一個(gè)難題，我國(guó)創(chuàng)造了治沙成功案例——毛烏素沙漠.某沙漠經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的治理，已有1000公頃植被，假設(shè)每年植被面積以20%的增長(zhǎng)率呈指數(shù)增長(zhǎng)，按這種規(guī)律發(fā)展下去，則植被面積達(dá)到4000公頃至少需要經(jīng)過(guò)的年數(shù)為（）（參考數(shù)據(jù)：?。〢.6 B.7C.8 D.95．定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若關(guān)于的方程在上至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.6．關(guān)于，，下列敘述正確的是（）A.若，則是的整數(shù)倍B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)D.函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù).7．已知函數(shù)，則A.最大值為2，且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.周期為，且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C.最大值為2，且圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)D.周期為，且圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)8．已知全集,集合,則A. B.C. D.9．下列四個(gè)圖形中，不是以x為自變量的函數(shù)的圖象是（）A B.C. D.10．圓與圓的位置關(guān)系是（）A.外切 B.內(nèi)切C.相交 D.外離二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的函數(shù)：____________.（1），若則（2）12．圓關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________.13．給出下列命題：①函數(shù)是偶函數(shù)；②方程是函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸方程；③在銳角中，；④函數(shù)的最小正周期為；⑤函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心是，，其中正確命題的序號(hào)是________.14．某地為踐行綠水青山就是金山銀山的理念，大力開(kāi)展植樹(shù)造林．假設(shè)一片森林原來(lái)的面積為畝，計(jì)劃每年種植一些樹(shù)苗，且森林面積的年增長(zhǎng)率相同，當(dāng)面積是原來(lái)的倍時(shí)，所用時(shí)間是年（1）求森林面積的年增長(zhǎng)率；（2）到今年為止，森林面積為原來(lái)的倍，則該地已經(jīng)植樹(shù)造林多少年？（3）為使森林面積至少達(dá)到畝，至少需要植樹(shù)造林多少年（精確到整數(shù)）？（參考數(shù)據(jù)：，）15．如圖，已知四棱錐P－ABCD，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD．給出下列命題：①PB⊥AC；②平面PAB與平面PCD的交線與AB平行；③平面PBD⊥平面PAC；④△PCD為銳角三角形．其中正確命題的序號(hào)是________16．一個(gè)棱長(zhǎng)為2cm的正方體的頂點(diǎn)都在球面上，則球的體積為_(kāi)______cm3.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知（1）若，求的值；（2）若，且，求的值18．二次函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)解不等式f(x)＞2x＋5.19．已知，，且，，求的值20．如圖,天津之眼，全稱(chēng)天津永樂(lè)橋摩天輪，是世界上唯一一個(gè)橋上瞰景摩天輪，是天津的地標(biāo)之一.永樂(lè)橋分上下兩層，上層橋面預(yù)留了一個(gè)長(zhǎng)方形開(kāi)口，供摩天輪輪盤(pán)穿過(guò)，摩天輪的直徑為110米，外掛裝48個(gè)透明座艙，在電力的驅(qū)動(dòng)下逆時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)一圈大約需要30分鐘.現(xiàn)將某一個(gè)透明座艙視為摩天輪上的一個(gè)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，距離下層橋面的高度為113米，點(diǎn)在最低點(diǎn)處開(kāi)始計(jì)時(shí).（1）試確定在時(shí)刻(單位:分鐘)時(shí)點(diǎn)距離下層橋面的高度(單位:米)；（2）若轉(zhuǎn)動(dòng)一周內(nèi)某一個(gè)摩天輪透明座艙在上下兩層橋面之間的運(yùn)行時(shí)間大約為5分鐘，問(wèn)上層橋面距離下層橋面的高度約為多少米？21．已知函數(shù).（1）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用定義證明；（2）判斷奇偶性，并求在區(qū)間上的值域.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】根據(jù)分層抽樣的概念即得【詳解】由題可知該樣本中獲得B等級(jí)的學(xué)生人數(shù)為故選：C2、C【解析】利用圖象求出函數(shù)的解析式，即可求得的值.【詳解】由圖可知，，函數(shù)的最小正周期為，則，所以，，由圖可得，因?yàn)楹瘮?shù)在附近單調(diào)遞增，故，則，，故，所以，，因此，.故選：C.3、D【解析】利用扇形的面積公式即得.【詳解】由題可得.故選：D4、C【解析】根據(jù)題意列出不等式，利用對(duì)數(shù)換底公式，計(jì)算出結(jié)果.【詳解】經(jīng)過(guò)年后，植被面積為公頃，由，得.因?yàn)椋?，又因?yàn)?，故植被面積達(dá)到4000公頃至少需要經(jīng)過(guò)的年數(shù)為8.故選：C5、C【解析】把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的圖象與直線至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，再數(shù)形結(jié)合，求解作答.【詳解】函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，關(guān)于的方程在上至少有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，等價(jià)于函數(shù)在上的圖象與直線至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，函數(shù)的圖象是恒過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線，函數(shù)在上的圖象與直線，如圖，觀察圖象得：當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，將此時(shí)的直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線的位置，直線(除時(shí)外)與函數(shù)在上的圖象最多一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)或或a不存在，將時(shí)的直線(含)繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到直線(不含直線)的位置，旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的直線與函數(shù)在上的圖象至少有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圖象法判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)f(x)的圖象，觀察與x軸公共點(diǎn)個(gè)數(shù)或者將函數(shù)變形為易于作圖的兩個(gè)函數(shù)，作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，觀察它們的公共點(diǎn)個(gè)數(shù).6、B【解析】由題意利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一判斷各個(gè)結(jié)論是否正確，從而得出結(jié)論.【詳解】對(duì)于A，的周期為,若，則是的整數(shù)倍,故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，B正確；對(duì)于C,當(dāng)時(shí)，，不是函數(shù)最值，函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，則不單調(diào)，D錯(cuò)誤故選：B.7、A【解析】，∵，∴，則的最大值為；∵，∴周期；當(dāng)時(shí)，圖象關(guān)于某一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴當(dāng)，求出，即圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故選A考點(diǎn)：三角函數(shù)的性質(zhì)．8、C【解析】由集合,根據(jù)補(bǔ)集和并集定義即可求解.【詳解】因?yàn)?即集合由補(bǔ)集的運(yùn)算可知根據(jù)并集定義可得故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)集和并集的簡(jiǎn)單運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】根據(jù)函數(shù)中每一個(gè)自變量有且只有唯一函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，結(jié)合函數(shù)圖象判斷符合函數(shù)定義的圖象即可.【詳解】由函數(shù)定義：定義域內(nèi)的每一個(gè)x都有唯一函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，A、B、D選項(xiàng)中的圖象都符合；C項(xiàng)中對(duì)于大于零的x而言，有兩個(gè)不同的函數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，不符合函數(shù)定義.故選：C10、C【解析】圓心為和，半徑為和，圓心距離為，由于，故兩圓相交.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、，答案不唯一【解析】由條件（1），若則.可知函數(shù)為R上增函數(shù)；由條件（2）.可知函數(shù)可能為指數(shù)型函數(shù).【詳解】令，則為R上增函數(shù)，滿足條件（1）.又，故即成立.故答案為：，（，等均滿足題意）12、【解析】?jī)蓤A關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),則兩圓的圓心關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),且兩圓半徑相同,由此求解即可【詳解】由題,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,即圓心,半徑為,設(shè)對(duì)稱(chēng)圓的圓心為,則,解得,所以對(duì)稱(chēng)圓的方程為,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查圓關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)的圓,屬于基礎(chǔ)題13、①②③【解析】由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得函數(shù)，判斷①正確；求出函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸（），當(dāng)時(shí)，，判斷②正確；在銳角中，由化簡(jiǎn)得到，判斷③正確；直接求出函數(shù)的最小正周期為，判斷④錯(cuò)誤；直接求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心是，判斷⑤錯(cuò)誤.【詳解】①因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故①正確；②因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸（），即（），當(dāng)時(shí)，，故②正確；③在銳角中，，即，所以，故③正確；④函數(shù)的最小正周期為，故④錯(cuò)誤；⑤令，解得，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心是，故⑤錯(cuò)誤.故答案為：①②③【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、誘導(dǎo)公式與三角恒等變換，是中檔題.14、（1）；（2）5年；（3）17年.【解析】（1）設(shè)森林面積的年增長(zhǎng)率為，則，解出，即可求解；（2）設(shè)該地已經(jīng)植樹(shù)造林年，則，解出的值，即可求解；（3）設(shè)為使森林面積至少達(dá)到畝，至少需要植樹(shù)造林年，則，再結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)森林面積的年增長(zhǎng)率為，則，解得【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)該地已經(jīng)植樹(shù)造林年，則，，解得，故該地已經(jīng)植樹(shù)造林5年【小問(wèn)3詳解】解：設(shè)為使森林面積至少達(dá)到畝，至少需要植樹(shù)造林年，則，，，，即取17，故為使森林面積至少達(dá)到畝，至少需要植樹(shù)造林17年15、②③【解析】設(shè)AC∩BD=O，由題意證明AC⊥PO，由已知可得AC⊥PA，與在同一平面內(nèi)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直矛盾說(shuō)明①錯(cuò)誤；由線面平行的判定和性質(zhì)說(shuō)明②正確；由線面垂直的判定和性質(zhì)說(shuō)明③正確；由勾股定理即可判斷，說(shuō)明④錯(cuò)誤【詳解】設(shè)AC∩BD=O,如圖，①若PB⊥AC，∵AC⊥BD，則AC⊥平面PBD，∴AC⊥PO，又PA⊥平面ABCD，則AC⊥PA，在平面PAC內(nèi)過(guò)P有兩條直線與AC垂直，與在同一平面內(nèi)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直矛盾，①錯(cuò)誤；②∵CD∥AB，則CD∥平面PAB，∴平面PAB與平面PCD的交線與AB平行，②正確；③∵PA⊥平面ABCD，∴平面PAC⊥平面ABCD，又BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC，則平面PBD⊥平面PAC，③正確；④∵PD2=PA2+AD2，PC2=PA2+AC2，AC2=AD2+CD2，AD=CD，∴PD2+CD2=PC2，∴④△PCD為直角三角形，④錯(cuò)誤，故答案為：②③16、【解析】因?yàn)橐粋€(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，它的棱長(zhǎng)為2，所以正方體的外接球的直徑就是正方體的對(duì)角線的長(zhǎng)度：2所以球的半徑為：所求球的體積為=故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)可得，然后利用二倍角公式求解即可；（2）由條件可得，，然后根據(jù)求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，所?8、(1);(2)【解析】(1)設(shè)二次函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c，利用待定系數(shù)法即可求出f（x）；(2)利用一元二次不等式的解法即可得出【詳解】(1).設(shè)二次函數(shù)f（x）＝ax2+bx+c，∵函數(shù)f（x）滿足f（x+1）﹣f（x）＝2x，f(x＋1)－f(x)=-=2ax+a+b=2x，解得．且f（0）＝1．c=1∴f（x）＝x2﹣x+1(2)不等式f（x）＞2x+5，即x2﹣x+1＞2x+5，化為x2﹣3x﹣4＞0化為（x﹣4）（x+1）＞0，解得x＞4或x＜﹣1∴原不等式的解集為【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式和一元二次不等式的解法，熟練掌握其方法是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.19、【解析】先利用同角三角函數(shù)關(guān)系式分別求出sinα、cosβ，再由兩角差余弦函數(shù)公式能求出β﹣α的值【詳解】因?yàn)椋?，所以又，，所以，所以，所以【點(diǎn)睛】本題考查兩角差的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意同角三角函數(shù)關(guān)系式和兩角差余弦函數(shù)公式的合理運(yùn)用20、（1）米.（2）米.【解析】（1）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，以為始邊，為終邊的角為，計(jì)算得到答案.（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，上層橋面距離下層橋面的高度為點(diǎn)在分鐘時(shí)距離下層橋面的高度，計(jì)算得到答案.【詳解】（1）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系.由題可知在分鐘內(nèi)所轉(zhuǎn)過(guò)的角為，因?yàn)辄c(diǎn)在最低點(diǎn)處開(kāi)始計(jì)時(shí)，所以以為始邊，為終邊的角為，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則（），故在分鐘時(shí)點(diǎn)距離下層橋面的高度為（米）.（2）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，上層橋面距離下層橋面的高度為點(diǎn)在分鐘時(shí)距離下層橋面的高度.當(dāng)時(shí)，故上層橋