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河南省安陽(yáng)市2025屆數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知拋物線的焦點(diǎn)為,對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為,為上任意一點(diǎn),若,則()A.30° B.45° C.60° D.75°2.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之稱,登泰山的路線有四條:紅門(mén)盤(pán)道徒步線路,桃花峪登山線路,天外村汽車登山線路,天燭峰登山線路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的線路時(shí),發(fā)現(xiàn)三人走的線路均不同,且均沒(méi)有走天外村汽車登山線路,三人向其他旅友進(jìn)行如下陳述:甲:我走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路,乙走桃花峪登山線路;乙:甲走桃花峪登山線路,丙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路;丙:甲走天燭峰登山線路,乙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路;事實(shí)上,甲、乙、丙三人的陳述都只對(duì)一半,根據(jù)以上信息,可判斷下面說(shuō)法正確的是()A.甲走桃花峪登山線路 B.乙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路C.丙走桃花峪登山線路 D.甲走天燭峰登山線路3.下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是(1)對(duì)于命題使得,則都有;(2)已知,則(3)已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是2,樣本點(diǎn)的中心為(4,5),則回歸直線方程為;(4)“”是“”的充分不必要條件.A.1 B.2 C.3 D.44.己知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,點(diǎn)分別在拋物線上,且,直線交于點(diǎn),,垂足為,若的面積為,則到的距離為()A. B. C.8 D.65.已知曲線且過(guò)定點(diǎn),若且,則的最小值為().A. B.9 C.5 D.6.若函數(shù)在時(shí)取得最小值,則()A. B. C. D.7.設(shè),則()A. B. C. D.8.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為,直線與其相交于,兩點(diǎn),若中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,則此雙曲線的方程是A. B.C. D.9.函數(shù)在上為增函數(shù),則的值可以是()A.0 B. C. D.10.已知函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),,若不等式有解,則的取值范圍是()A. B.C. D.11.雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.12.的展開(kāi)式中的系數(shù)為()A.5 B.10 C.20 D.30二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)、,其中為左焦點(diǎn).點(diǎn)為兩曲線在第一象限的交點(diǎn),、分別為曲線、的離心率,若是以為底邊的等腰三角形,則的取值范圍為_(kāi)_______.14.在平面五邊形中,,,,且.將五邊形沿對(duì)角線折起,使平面與平面所成的二面角為,則沿對(duì)角線折起后所得幾何體的外接球的表面積是______.15.若函數(shù),則使得不等式成立的的取值范圍為_(kāi)________.16.已知函數(shù),若恒成立,則的取值范圍是___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù)(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,若且A為銳角,a=3,sinC=2sinB,求△ABC的面積.18.(12分)已知為坐標(biāo)原點(diǎn),單位圓與角終邊的交點(diǎn)為,過(guò)作平行于軸的直線,設(shè)與終邊所在直線的交點(diǎn)為,.(1)求函數(shù)的最小正周期;(2)求函數(shù)在區(qū)間上的值域.19.(12分)已知函數(shù)在上的最大值為3.(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若銳角中角所對(duì)的邊分別為,且,求的取值范圍.20.(12分)已知中,,,是上一點(diǎn).(1)若,求的長(zhǎng);(2)若,,求的值.21.(12分)已知函數(shù)(為常數(shù))(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;(Ⅱ)若為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)設(shè)的最小值為,正數(shù),滿足,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
如圖所示:作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于,則,故,得到答案.【詳解】如圖所示:作垂直于準(zhǔn)線交準(zhǔn)線于,則,在中,,故,即.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中角度的計(jì)算,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.2、D【解析】
甲乙丙三人陳述中都提到了甲的路線,由題意知這三句中一定有一個(gè)是正確另外兩個(gè)錯(cuò)誤的,再分情況討論即可.【詳解】若甲走的紅門(mén)盤(pán)道徒步線路,則乙,丙描述中的甲的去向均錯(cuò)誤,又三人的陳述都只對(duì)一半,則乙丙的另外兩句話“丙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路”,“乙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路”正確,與“三人走的線路均不同”矛盾.故甲的另一句“乙走桃花峪登山線路”正確,故丙的“乙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路”錯(cuò)誤,“甲走天燭峰登山線路”正確.乙的話中“甲走桃花峪登山線路”錯(cuò)誤,“丙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路”正確.綜上所述,甲走天燭峰登山線路,乙走桃花峪登山線路,丙走紅門(mén)盤(pán)道徒步線路故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了判斷與推理的問(wèn)題,重點(diǎn)是找到三人中都提到的內(nèi)容進(jìn)行分類討論,屬于基礎(chǔ)題型.3、C【解析】
由題意,(1)中,根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系,即可判定是正確的;(2)中,根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì),即可判定是正確的;(3)中,由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程,即可判定是正確;(4)中,基本不等式和充要條件的判定方法,即可判定.【詳解】由題意,(1)中,根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系,可知命題使得,則都有,是錯(cuò)誤的;(2)中,已知,正態(tài)分布曲線的性質(zhì),可知其對(duì)稱軸的方程為,所以是正確的;(3)中,回歸直線的斜率的估計(jì)值是2,樣本點(diǎn)的中心為(4,5),由回歸直線方程的性質(zhì)和直線的點(diǎn)斜式方程,可得回歸直線方程為是正確;(4)中,當(dāng)時(shí),可得成立,當(dāng)時(shí),只需滿足,所以“”是“”成立的充分不必要條件.【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題的真假判定及應(yīng)用,其中解答中熟記含有量詞的否定、正態(tài)分布曲線的性質(zhì)、回歸直線方程的性質(zhì),以及基本不等式的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用,逐項(xiàng)判定是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
作,垂足為,過(guò)點(diǎn)N作,垂足為G,設(shè),則,結(jié)合圖形可得,,從而可求出,進(jìn)而可求得,,由的面積即可求出,再結(jié)合為線段的中點(diǎn),即可求出到的距離.【詳解】如圖所示,作,垂足為,設(shè),由,得,則,.過(guò)點(diǎn)N作,垂足為G,則,,所以在中,,,所以,所以,在中,,所以,所以,,所以.解得,因?yàn)?,所以為線段的中點(diǎn),所以F到l的距離為.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的幾何性質(zhì)及平面幾何的有關(guān)知識(shí),屬于中檔題.5、A【解析】
根據(jù)指數(shù)型函數(shù)所過(guò)的定點(diǎn),確定,再根據(jù)條件,利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點(diǎn)為,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,即時(shí)取得最小值.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及基本不等式求最值,意在考查轉(zhuǎn)化與變形,基本計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題型.6、D【解析】
利用輔助角公式化簡(jiǎn)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的最值,求得在函數(shù)取得最小值時(shí)的值.【詳解】解:,其中,,,故當(dāng),即時(shí),函數(shù)取最小值,所以,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式,正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】試題分析:,.故C正確.考點(diǎn):復(fù)合函數(shù)求值.8、D【解析】
根據(jù)點(diǎn)差法得,再根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得,解方程組得,,即得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為,由題意可得,設(shè),,則的中點(diǎn)為,由且,得,,即,聯(lián)立,解得,,故所求雙曲線的方程為.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用點(diǎn)差法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程,考查基本求解能力,屬于中檔題.9、D【解析】
依次將選項(xiàng)中的代入,結(jié)合正弦、余弦函數(shù)的圖象即可得到答案.【詳解】當(dāng)時(shí),在上不單調(diào),故A不正確;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞減,故B不正確;當(dāng)時(shí),在上不單調(diào),故C不正確;當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,故D正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查正弦、余弦函數(shù)的單調(diào)性,涉及到誘導(dǎo)公式的應(yīng)用,是一道容易題.10、C【解析】
先求導(dǎo)得(),由于函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),,轉(zhuǎn)化為方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根,根據(jù),,,求出的取值范圍,而有解,通過(guò)分裂參數(shù)法和構(gòu)造新函數(shù),通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值,即可得出的取值范圍.【詳解】由題可得:(),因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn),,所以方程有兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)根,于是有解得.若不等式有解,所以因?yàn)?設(shè),,故在上單調(diào)遞增,故,所以,所以的取值范圍是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值來(lái)求參數(shù)取值范圍,以及運(yùn)用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)法,還考查分析和計(jì)算能力,有一定的難度.11、A【解析】
將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,其漸近線方程為,化簡(jiǎn)整理即得漸近線方程.【詳解】雙曲線得,則其漸近線方程為,整理得.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用.12、C【解析】
由知,展開(kāi)式中項(xiàng)有兩項(xiàng),一項(xiàng)是中的項(xiàng),另一項(xiàng)是與中含x的項(xiàng)乘積構(gòu)成.【詳解】由已知,,因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)為,所以展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)式定理展開(kāi)式中的特定項(xiàng),解決這類問(wèn)題要注意通項(xiàng)公式應(yīng)寫(xiě)準(zhǔn)確,本題是一道基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
設(shè),由橢圓和雙曲線的定義得到,根據(jù)是以為底邊的等腰三角形,得到,從而有,根據(jù),得到,再利用導(dǎo)數(shù)法求的范圍.【詳解】設(shè),由橢圓的定義得,由雙曲線的定義得,所以,因?yàn)槭且詾榈走叺牡妊切危?,即,因?yàn)?,所以,因?yàn)?,所以,所以,即,而,因?yàn)?,所以在上遞增,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓,雙曲線的定義和幾何性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.14、【解析】
設(shè)的中心為,矩形的中心為,過(guò)作垂直于平面的直線,過(guò)作垂直于平面的直線,得到直線與的交點(diǎn)為幾何體外接球的球心,結(jié)合三角形的性質(zhì),求得球的半徑,利用表面積公式,即可求解.【詳解】設(shè)的中心為,矩形的中心為,過(guò)作垂直于平面的直線,過(guò)作垂直于平面的直線,則由球的性質(zhì)可知,直線與的交點(diǎn)為幾何體外接球的球心,取的中點(diǎn),連接,,由條件得,,連接,因?yàn)椋瑥亩?,連接,則為所得幾何體外接球的半徑,在直角中,由,,可得,即外接球的半徑為,故所得幾何體外接球的表面積為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,以及多面體的外接球的表面積的計(jì)算,其中解答中熟記空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,求得外接球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力與運(yùn)算求解能力,屬于中檔試題.15、【解析】
分,兩種情況代入討論即可求解.【詳解】,當(dāng)時(shí),,符合;當(dāng)時(shí),,不滿足.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的計(jì)算,考查了分類討論的思想.16、【解析】
求導(dǎo)得到,討論和兩種情況,計(jì)算時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,不符合,排除,得到答案?!驹斀狻恳?yàn)?,所以,因?yàn)?,所?當(dāng),即時(shí),,則在上單調(diào)遞增,從而,故符合題意;當(dāng),即時(shí),因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,且,所以存在唯一的,使得.令,得,則在上單調(diào)遞減,從而,故不符合題意.綜上,的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)利用降次公式、輔助角公式化簡(jiǎn)解析式,根據(jù)三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,求得的單調(diào)遞增區(qū)間.(2)先由求得,利用正弦定理得到,結(jié)合余弦定理列方程,求得,由此求得三角形的面積.【詳解】(1)函數(shù),,由,得.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)因?yàn)榍覟殇J角,所以.由及正弦定理可得,又,由余弦定理可得,解得,.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角恒等變換,考查三角函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求法,考查正弦定理、余弦定理解三角形,考查三角形的面積公式,屬于中檔題.18、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù)題意,求得,,因而得出,利用降冪公式和二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù),最后利用,求出的最小正周期;(2)由(1)得,再利用整體代入求出函數(shù)的值域.【詳解】(1)因?yàn)椋?,所以,,所以函?shù)的最小正周期為.(2)因?yàn)?,所以,所以,故函?shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的周期和值域,運(yùn)用到向量的坐標(biāo)運(yùn)算、降冪公式和二倍角的正弦公式,考查化簡(jiǎn)和計(jì)算能力.19、(1),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2).【解析】
(1)運(yùn)用降冪公式和輔助角公式,把函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)解析式形式,根據(jù)已知,可以求出的值,再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由(1)結(jié)合已知,可以求出角的值,通過(guò)正弦定理把問(wèn)題的取值范圍轉(zhuǎn)化為兩邊對(duì)角的正弦值的比值的取值范圍,結(jié)合已知是銳角三角形,三角形內(nèi)角和定理,最后求出的取值范圍.【詳解】解:(1)由已知,所以因此令得因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2)由已知,∴由得,因此所以因?yàn)闉殇J角三角形,所以,解得因此,那么【點(diǎn)睛】本題考查了降冪公式、輔助角公式,考查了正弦定理,考查了正弦型三角函數(shù)的單調(diào)性,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.20、(1)(2)【解析】
(1)運(yùn)用三角形面積公式求出的長(zhǎng)度,然后再運(yùn)用余弦定理求出的長(zhǎng).(2)運(yùn)用正弦定理分別表示出和,結(jié)合已知條件計(jì)算出結(jié)果.【詳解】(1)由在中,由余弦定理可得(2)由已知得在中,由正弦定理可知在中,由正弦定理可知故【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、三角形
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