2024屆上海市徐匯、松江、金山區(qū)內(nèi)蒙古阿拉善盟高三下學期第一次模擬考試數(shù)學試題_第1頁
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2024屆上海市徐匯、松江、金山區(qū)內(nèi)蒙古阿拉善盟高三下學期第一次模擬考試數(shù)學試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知,若對任意,關于x的不等式(e為自然對數(shù)的底數(shù))至少有2個正整數(shù)解,則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.2.古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯在公元前六世紀發(fā)現(xiàn)了第一、二個“完全數(shù)”6和28,進一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個“完全數(shù)”分別為496,8128,33550336,現(xiàn)將這五個“完全數(shù)”隨機分為兩組,一組2個,另一組3個,則6和28恰好在同一組的概率為A. B. C. D.3.一個陶瓷圓盤的半徑為,中間有一個邊長為的正方形花紋,向盤中投入1000粒米后,發(fā)現(xiàn)落在正方形花紋上的米共有51粒,據(jù)此估計圓周率的值為(精確到0.001)()A.3.132 B.3.137 C.3.142 D.3.1474.下列命題是真命題的是()A.若平面,,,滿足,,則;B.命題:,,則:,;C.“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件;D.命題“若,則”的逆否命題為:“若,則”.5.若,則下列不等式不能成立的是()A. B. C. D.6.已知為定義在上的奇函數(shù),且滿足當時,,則()A. B. C. D.7.已知變量x,y間存在線性相關關系,其數(shù)據(jù)如下表,回歸直線方程為,則表中數(shù)據(jù)m的值為()變量x0123變量y35.57A.0.9 B.0.85 C.0.75 D.0.58.在明代程大位所著的《算法統(tǒng)宗》中有這樣一首歌謠,“放牧人粗心大意,三畜偷偷吃苗青,苗主扣住牛馬羊,要求賠償五斗糧,三畜戶主愿賠償,牛馬羊吃得異樣.馬吃了牛的一半,羊吃了馬的一半.”請問各畜賠多少?它的大意是放牧人放牧時粗心大意,牛、馬、羊偷吃青苗,青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食(1斗=10升),三畜的主人同意賠償,但牛、馬、羊吃的青苗量各不相同.馬吃的青苗是牛的一半,羊吃的青苗是馬的一半.問羊、馬、牛的主人應該分別向青苗主人賠償多少升糧食?()A. B. C. D.9.已知,則()A. B. C. D.10.設函數(shù),則函數(shù)的圖像可能為()A. B. C. D.11.已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸為,將函數(shù)的圖象向右平行移動個單位長度后得到函數(shù)圖象,則函數(shù)的解析式為()A. B.C. D.12.《九章算術》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈,葭生其中,出水兩尺,引葭赴岸,適與岸齊,問水深,葭各幾何?”,其意思是:有一個直徑為一丈的圓柱形水池,池中心生有一顆類似蘆葦?shù)闹参?,露出水面兩尺,若把它引向岸邊,正好與岸邊齊,問水有多深,該植物有多高?其中一丈等于十尺,如圖若從該葭上隨機取一點,則該點取自水下的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.展開式中,含項的系數(shù)為______.14.已知平面向量,,且,則向量與的夾角的大小為________.15.設函數(shù),則滿足的的取值范圍為________.16.已知橢圓:的左,右焦點分別為,,過的直線交橢圓于,兩點,若,且的三邊長,,成等差數(shù)列,則的離心率為__________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在數(shù)列和等比數(shù)列中,,,.(1)求數(shù)列及的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前n項和.18.(12分)對于很多人來說,提前消費的認識首先是源于信用卡,在那個工資不高的年代,信用卡絕對是神器,稍微大件的東西都是可以選擇用信用卡來買,甚至于分期買,然后慢慢還!現(xiàn)在銀行貸款也是很風靡的,從房貸到車貸到一般的現(xiàn)金貸.信用卡“忽如一夜春風來”,遍布了各大小城市的大街小巷.為了解信用卡在市的使用情況,某調(diào)查機構借助網(wǎng)絡進行了問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中隨機抽取了100人進行抽樣分析,得到如下列聯(lián)表(單位:人)經(jīng)常使用信用卡偶爾或不用信用卡合計40歲及以下15355040歲以上203050合計3565100(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為市使用信用卡情況與年齡有關?(2)①現(xiàn)從所抽取的40歲及以下的網(wǎng)民中,按“經(jīng)常使用”與“偶爾或不用”這兩種類型進行分層抽樣抽取10人,然后,再從這10人中隨機選出4人贈送積分,求選出的4人中至少有3人偶爾或不用信用卡的概率;②將頻率視為概率,從市所有參與調(diào)查的40歲以上的網(wǎng)民中隨機抽取3人贈送禮品,記其中經(jīng)常使用信用卡的人數(shù)為,求隨機變量的分布列、數(shù)學期望和方差.參考公式:,其中.參考數(shù)據(jù):0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.63519.(12分)已知函數(shù)的圖象向左平移后與函數(shù)圖象重合.(1)求和的值;(2)若函數(shù),求的單調(diào)遞增區(qū)間及圖象的對稱軸方程.20.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若對任意恒成立,求的取值范圍.21.(12分)某客戶準備在家中安裝一套凈水系統(tǒng),該系統(tǒng)為二級過濾,使用壽命為十年如圖所示兩個二級過濾器采用并聯(lián)安裝,再與一級過濾器串聯(lián)安裝.其中每一級過濾都由核心部件濾芯來實現(xiàn)在使用過程中,一級濾芯和二級濾芯都需要不定期更換(每個濾芯是否需要更換相互獨立).若客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯,則一級濾芯每個160元,二級濾芯每個80元.若客戶在使用過程中單獨購買濾芯則一級濾芯每個400元,二級濾芯每個200元.現(xiàn)需決策安裝凈水系統(tǒng)的同時購買濾芯的數(shù)量,為此參考了根據(jù)100套該款凈水系統(tǒng)在十年使用期內(nèi)更換濾芯的相關數(shù)據(jù)制成的圖表,其中表1是根據(jù)100個一級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的頻數(shù)分布表,圖2是根據(jù)200個二級過濾器更換的濾芯個數(shù)制成的條形圖.表1:一級濾芯更換頻數(shù)分布表一級濾芯更換的個數(shù)89頻數(shù)6040圖2:二級濾芯更換頻數(shù)條形圖以100個一級過濾器更換濾芯的頻率代替1個一級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率,以200個二級過濾器更換濾芯的頻率代替1個二級過濾器更換濾芯發(fā)生的概率.(1)求一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16的概率;(2)記表示該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的二級濾芯總數(shù),求的分布列及數(shù)學期望;(3)記分別表示該客戶在安裝凈水系統(tǒng)的同時購買的一級濾芯和二級濾芯的個數(shù).若,且,以該客戶的凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)購買各級濾芯所需總費用的期望值為決策依據(jù),試確定的值.22.(10分)已知,其中.(1)當時,設函數(shù),求函數(shù)的極值.(2)若函數(shù)在區(qū)間上遞增,求的取值范圍;(3)證明:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

構造函數(shù)(),求導可得在上單調(diào)遞增,則,問題轉(zhuǎn)化為,即至少有2個正整數(shù)解,構造函數(shù),,通過導數(shù)研究單調(diào)性,由可知,要使得至少有2個正整數(shù)解,只需即可,代入可求得結果.【詳解】構造函數(shù)(),則(),所以在上單調(diào)遞增,所以,故問題轉(zhuǎn)化為至少存在兩個正整數(shù)x,使得成立,設,,則,當時,單調(diào)遞增;當時,單調(diào)遞增.,整理得.故選:B.【點睛】本題考查導數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應用,考查不等式成立問題中求解參數(shù)問題,考查學生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.2、B【解析】

推導出基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),由此能求出6和28恰好在同一組的概率.【詳解】解:將五個“完全數(shù)”6,28,496,8128,33550336,隨機分為兩組,一組2個,另一組3個,基本事件總數(shù),6和28恰好在同一組包含的基本事件個數(shù),∴6和28恰好在同一組的概率.故選:B.【點睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.3、B【解析】

結合隨機模擬概念和幾何概型公式計算即可【詳解】如圖,由幾何概型公式可知:.故選:B【點睛】本題考查隨機模擬的概念和幾何概型,屬于基礎題4、D【解析】

根據(jù)面面關系判斷A;根據(jù)否定的定義判斷B;根據(jù)充分條件,必要條件的定義判斷C;根據(jù)逆否命題的定義判斷D.【詳解】若平面,,,滿足,,則可能相交,故A錯誤;命題“:,”的否定為:,,故B錯誤;為真,說明至少一個為真命題,則不能推出為真;為真,說明都為真命題,則為真,所以“命題為真”是“命題為真”的必要不充分條件,故C錯誤;命題“若,則”的逆否命題為:“若,則”,故D正確;故選D【點睛】本題主要考查了判斷必要不充分條件,寫出命題的逆否命題等,屬于中檔題.5、B【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)對選項逐一判斷即可.【詳解】選項A:由于,即,,所以,所以,所以成立;選項B:由于,即,所以,所以,所以不成立;選項C:由于,所以,所以,所以成立;選項D:由于,所以,所以,所以,所以成立.故選:B.【點睛】本題考查不等關系和不等式,屬于基礎題.6、C【解析】

由題設條件,可得函數(shù)的周期是,再結合函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)將轉(zhuǎn)化為函數(shù)值,即可得到結論.【詳解】由題意,,則函數(shù)的周期是,所以,,又函數(shù)為上的奇函數(shù),且當時,,所以,.故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)的周期性,由題設得函數(shù)的周期是解答本題的關鍵,屬于基礎題.7、A【解析】

計算,代入回歸方程可得.【詳解】由題意,,∴,解得.故選:A.【點睛】本題考查線性回歸直線方程,解題關鍵是掌握性質(zhì):線性回歸直線一定過中心點.8、D【解析】

設羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,易知成等比數(shù)列,,結合等比數(shù)列的性質(zhì)可求出答案.【詳解】設羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,則成等比數(shù)列,且公比,則,故,,.故選:D.【點睛】本題考查數(shù)列與數(shù)學文化,考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了學生的運算求解能力,屬于基礎題.9、B【解析】

利用誘導公式以及同角三角函數(shù)基本關系式化簡求解即可.【詳解】,本題正確選項:【點睛】本題考查誘導公式的應用,同角三角函數(shù)基本關系式的應用,考查計算能力.10、B【解析】

根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)排除,再計算排除得到答案.【詳解】定義域為:,函數(shù)為偶函數(shù),排除,排除故選【點睛】本題考查了函數(shù)圖像,通過函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性,特殊值排除選項是常用的技巧.11、C【解析】

根據(jù)輔助角公式化簡三角函數(shù)式,結合為函數(shù)的一條對稱軸可求得,代入輔助角公式得的解析式.根據(jù)三角函數(shù)圖像平移變換,即可求得函數(shù)的解析式.【詳解】函數(shù),由輔助角公式化簡可得,因為為函數(shù)圖象的一條對稱軸,代入可得,即,化簡可解得,即,所以將函數(shù)的圖象向右平行移動個單位長度可得,則,故選:C.【點睛】本題考查了輔助角化簡三角函數(shù)式的應用,三角函數(shù)對稱軸的應用,三角函數(shù)圖像平移變換的應用,屬于中檔題.12、C【解析】

由題意知:,,設,則,在中,列勾股方程可解得,然后由得出答案.【詳解】解:由題意知:,,設,則在中,列勾股方程得:,解得所以從該葭上隨機取一點,則該點取自水下的概率為故選C.【點睛】本題考查了幾何概型中的長度型,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】

變換得到,展開式的通項為,計算得到答案.【詳解】,的展開式的通項為:.含項的系數(shù)為:.故答案為:.【點睛】本題考查了二項式定理的應用,意在考查學生的計算能力和應用能力.14、【解析】

由,解得,進而求出,即可得出結果.【詳解】解:因為,所以,解得,所以,所以向量與的夾角的大小為.都答案為:.【點睛】本題主要考查平面向量的運算,平面向量垂直,向量夾角等基礎知識;考查運算求解能力,屬于基礎題.15、【解析】

當時,函數(shù)單調(diào)遞增,當時,函數(shù)為常數(shù),故需滿足,且,解得答案.【詳解】,當時,函數(shù)單調(diào)遞增,當時,函數(shù)為常數(shù),需滿足,且,解得.故答案為:.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式,意在考查學生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運用.16、【解析】

設,,,根據(jù)勾股定理得出,而由橢圓的定義得出的周長為,有,便可求出和的關系,即可求得橢圓的離心率.【詳解】解:由已知,的三邊長,,成等差數(shù)列,設,,,而,根據(jù)勾股定理有:,解得:,由橢圓定義知:的周長為,有,,在直角中,由勾股定理,,即:,∴離心率.故答案為:.【點睛】本題考查橢圓的離心率以及橢圓的定義的應用,考查計算能力.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),(2)【解析】

(1)根據(jù)與可求得,再根據(jù)等比數(shù)列的基本量求解即可.(2)由(1)可得,再利用錯位相減求和即可.【詳解】解:(1)依題意,,設數(shù)列的公比為q,由,可知,由,得,又,則,故,又由,得.(2)依題意.,①則,②①-②得,即,故.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的基本量求解以及錯位相減求和等.屬于中檔題.18、(1)不能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為市使用信用卡情況與年齡有關;(2)①;②分布列見解析,,【解析】

(1)計算再對照表格分析即可.(2)①根據(jù)分層抽樣的方法可得經(jīng)常使用信用卡的有人,偶爾或不用信用卡的有人,再根據(jù)超幾何分布的方法計算3人或4人偶爾或不用信用卡的概率即可.②利用二項分布的特點求解變量的分布列、數(shù)學期望和方差即可.【詳解】(1)由列聯(lián)表可知,,因為,所以不能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為市使用信用卡情況與年齡有關.(2)①依題意,可知所抽取的10名40歲及以下網(wǎng)民中,經(jīng)常使用信用卡的有(人),偶爾或不用信用卡的有(人).則選出的4人中至少有3人偶爾或不用信用卡的概率.②由列聯(lián)表,可知40歲以上的網(wǎng)民中,抽到經(jīng)常使用信用卡的頻率為,將頻率視為概率,即從市市民中任意抽取1人,恰好抽到經(jīng)常使用信用卡的市民的概率為.由題意得,則,,,.故隨機變量的分布列為:0123故隨機變量的數(shù)學期望為,方差為.【點睛】本題主要考查了獨立性檢驗以及超幾何分布與二項分布的知識點,包括分類討論以及二項分布的數(shù)學期望與方差公式等.屬于中檔題.19、(1),;(2),,.【解析】

(1)直接利用同角三角函數(shù)關系式的變換的應用求出結果.(2)首先把函數(shù)的關系式變形成正弦型函數(shù),進一步利用正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用求出結果.【詳解】(1)由題意得,,(2)由,解得,所以對稱軸為,.由,解得,所以單調(diào)遞增區(qū)間為.,【點睛】本題考查的知識要點:三角函數(shù)關系式的恒等變換,正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應用,主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力,屬于基礎題型.20、(1);(2).【解析】

(1)通過討論的范圍,分為,,三種情形,分別求出不等式的解集即可;(2)通過分離參數(shù)思想問題轉(zhuǎn)化為,根據(jù)絕對值不等式的性質(zhì)求出最值即可得到的范圍.【詳解】(1)當時,原不等式等價于,解得,所以,當時,原不等式等價于,解得,所以此時不等式無解,當時,原不等式等價于,解得,所以綜上所述,不等式解集為.(2)由,得,當時,恒成立,所以;當時,.因為當且僅當即或時,等號成立,所以;綜上的取值范圍是.【點睛】本題考查了解絕對值不等式問題,考查絕對值不等式的性質(zhì)以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.21、(1)0.024;(2)分布列見解析,;(3)【解析】

(1)由題意可知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯,兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯,而由一級濾芯更換頻數(shù)分布表和二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,再由乘法原理可求出概率;(2)由二級濾芯更換頻數(shù)條形圖可知,一個二級過濾器需要更換濾芯的個數(shù)為4,5,6的概率分別為0.2,0.4,0.4,而的可能取值為8,9,10,11,12,然后求出概率,可得到的分布列及數(shù)學期望;(3)由,且,可知若,則,或若,則,再分別計算兩種情況下的所需總費用的期望值比較大小即可.【詳解】(1)由題意知,若一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16,則該套凈水系統(tǒng)中一個一級過濾器需要更換8個濾芯,兩個二級過濾器均需要更換4個濾芯,設“一套凈水系統(tǒng)在使用期內(nèi)需要更換的各級濾芯總個數(shù)恰好為16”為事件,因為一個一級過濾器需要更換8個濾芯的概率為0.6,二級過濾器需要更換4個濾芯的概率為0.2,所以.(2)由柱狀圖知,一個二級過濾器需要更換濾芯

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