考點(diǎn)09 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)（1月）（期末復(fù)習(xí)熱點(diǎn)題型）（人教A版2019）（解析版）

考點(diǎn)09橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)一、單選題1．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為A．2 B．4C． D．【試題來源】河南省開封市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期五縣聯(lián)考期中（文）【答案】D【解析】即，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．故選D．2．已知橢圓：和橢圓：的離心率相同，則A． B．C． D．【試題來源】河南省豫北名校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期12月質(zhì)量檢測(cè)（文）【答案】C【解析】由題意有，可得，有，有，有．故選C．3．橢圓的短軸長(zhǎng)為A． B．10C．8 D．6【試題來源】四川省成都市第七中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】C【解析】橢圓，可知焦點(diǎn)在軸上，，，所以，所以橢圓的短軸長(zhǎng)為8．故選C．4．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為A． B．C． D．【試題來源】山東省臨沂市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】A【解析】由可得，因此，且焦點(diǎn)在軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為．故選A．5．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)分別為A．5，3 B．3，5C．10．6 D．6，10【試題來源】山東省濟(jì)南回民中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】C【解析】橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式為，，，故選C．6．若點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之和為2，則點(diǎn)的軌跡是A．橢圓 B．直線C．線段 D．線段的中垂線．【試題來源】四川省綿陽(yáng)市綿陽(yáng)南山中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期11月月考（文）【答案】C【解析】，，，因?yàn)辄c(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離之和為2，的軌跡是線段，故選C．7．已知的周長(zhǎng)是20，且頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，C的坐標(biāo)為，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是A． B．C． D．【試題來源】吉林省通化市輝南縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二第二次月考（文）【答案】C【解析】由題意可知，則點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸且中心為原點(diǎn)的橢圓，且點(diǎn)不在軸上，，即，故選C.8．若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【試題來源】2020-2021學(xué)年【補(bǔ)習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（文）（人教A版）【答案】A【解析】方程化為，因?yàn)槭墙裹c(diǎn)在軸上的橢圓，所以，解得，故選A．9．橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為、，過橢圓上的點(diǎn)作向量使得，且為正三角形，則該橢圓的離心率為A． B．C． D．【試題來源】2021屆高三湘豫名校聯(lián)考（2020年11月）（文）【答案】D【解析】為正三角形，點(diǎn)必在軸上，且，，又，，又點(diǎn)在橢圓上，，化簡(jiǎn)得，解得，又，．故選D．【名師點(diǎn)睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于，，的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為，的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)．10．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)橢圓上，且，則A． B．C． D．【試題來源】河北省滄州市七校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】C【解析】在橢圓中，，由橢圓的定義可得，所以，．故選C．11．橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)在橢圓上，若，則的面積為A．24 B．28C．40 D．48【試題來源】四川省綿陽(yáng)市涪城區(qū)東辰國(guó)際學(xué)校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中（理）【答案】A【分析】本題首先可根據(jù)橢圓定義得出以及，然后根據(jù)得出為直角三角形，即可求出的面積．【解析】因?yàn)闄E圓方程為，所以由橢圓的定義可知，，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋詾橹苯侨切危瑒t，故選A．12．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸上一點(diǎn)，點(diǎn)是直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為A． B．C． D．【試題來源】河南省豫北名校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期11月質(zhì)量檢測(cè)（文）【答案】D【解析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以，如圖所示，所以，設(shè)，，則，所以，故選D．13．若橢圓的左焦點(diǎn)為，則A．2 B．3C． D．9【試題來源】湖北省武漢市華科附聯(lián)考體2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】C【解析】根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可知焦點(diǎn)在軸，所以，，，因?yàn)?，解得．故選C.14．橢圓上任一點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為A． B．C．2 D．【試題來源】河南省開封市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期五縣聯(lián)考期中（理）【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中，由，可得，又由，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為．故選B．15．已知，分別是橢圓的左、右兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，，若為等邊三角形，則的值為A．3 B．C． D．【試題來源】黑吉兩省十校2020-2021學(xué)年高二（上）期中（理）【答案】B【解析】由題意可得，，則．又為等邊三角形，得直線與軸垂直，，則，，則，可得，即，求得．故選B.16．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為，若為等邊三角形，則該橢圓的離心率為A． B．C． D．【試題來源】四川省成都市第七中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】A【解析】橢圓的上頂點(diǎn)為，左、右兩焦點(diǎn)分別為，，若為等邊三角形，由橢圓的對(duì)稱性知，即，又，可得，．故選A．17．方程的化簡(jiǎn)結(jié)果是A． B．C． D．【試題來源】安徽省蚌埠第三中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期11月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（理）【答案】B【解析】設(shè)，，，則由得，且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，這里，，，所以，所以該橢圓方程為．故方程的化簡(jiǎn)結(jié)果是．故選B.18．設(shè)是圓：上的一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡方程為A． B．C． D．【試題來源】山東省臨沂市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】B【解析】因?yàn)榫€段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，所以，而，所以，又，，即是到定點(diǎn)距離和為定長(zhǎng)6的動(dòng)點(diǎn)，所以且長(zhǎng)軸在y軸上，故的軌跡方程為，故選B.19．已知橢圓的短軸長(zhǎng)是焦距的2倍，則橢圓的離心率為A． B．C． D．【試題來源】北京市昌平區(qū)第一中學(xué)2020—2021學(xué)年度高二年級(jí)上學(xué)期期中考試【答案】D【解析】因?yàn)闄E圓的短軸長(zhǎng)是焦距的2倍，所以，因?yàn)?，所以，可得，所以橢圓的離心率為，故選D．20．設(shè)橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，P是C上一點(diǎn)，若，且，則橢圓C的方程為A． B．C． D．【試題來源】?jī)?nèi)蒙古包頭市回民中學(xué)2020-2021學(xué)年第一學(xué)期高二期中考試（理）【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，P是C上一點(diǎn)，由橢圓的定義得，又，所以，又，則，所以在中，由余弦定理得，即，整理得，解得，則，所以橢圓C的方程為，故選D.21．已知橢圓，傾斜角為的直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，AB的中點(diǎn)是則橢圓的離心率是A． B．C． D．【試題來源】福建省寧德市部分達(dá)標(biāo)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)合考試【答案】B【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角為45，所以直線的斜率為1，又的中點(diǎn)是，所以直線的方程為，即．聯(lián)立，可得．設(shè)，，則，又，整理得，即，可得．故選B．22．橢圓：的焦點(diǎn)在軸上，其離心率為，則A．橢圓的短軸長(zhǎng)為 B．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4C．橢圓的焦距為4 D．【試題來源】遼寧省葫蘆島市協(xié)作校2020-2021學(xué)年高三12月聯(lián)考【答案】B【分析】由離心率可求出，結(jié)合橢圓的性質(zhì)可求出橢圓的短軸長(zhǎng)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，焦距．【解析】由橢圓的性質(zhì)可知，橢圓的短軸長(zhǎng)為，圓的離心率，則，，所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，橢圓的焦距，故選B．23．橢圓的右焦點(diǎn)到直線的距離是A． B．C．1 D．【試題來源】山東省濟(jì)南第十一中學(xué)2020-2021學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二年級(jí)【答案】B【解析】在橢圓中，，則，所以橢圓的右焦點(diǎn)為，則橢圓的右焦點(diǎn)到直線的距離為，故選B．24．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率為，則橢圓的焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離為A． B．C．或 D．以上都不對(duì)【試題來源】吉林省長(zhǎng)春市第二十九中學(xué)2020-2021學(xué)年第一學(xué)期高二第二學(xué)程考試（理）【答案】C【解析】因?yàn)闄E圓的短軸長(zhǎng)為，所以，因?yàn)殡x心率為，所以，所以橢圓的焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離為或，故選C.25．已知橢圓的長(zhǎng)軸在y軸上，若焦距為4，則m等于A．3 B．5C．7 D．8【試題來源】吉林省通化市輝南縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二第二次月考（文）【答案】D【解析】由題意知，所以，所以，故選D．26．已知橢圓：()，為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，為橢圓的左焦點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡是A．圓 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線【試題來源】2020-2021學(xué)年【補(bǔ)習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（文）（人教A版）【答案】B【解析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)是，坐標(biāo)原點(diǎn)為，由橢圓的定義得，則，則點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，故選B．27．已知、是橢圓：()長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，、是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線、的斜率分別為、，若的最小值為，則橢圓的離心率為A． B．C． D．【試題來源】2020-2021學(xué)年【補(bǔ)習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（文）（人教A版）【答案】D【解析】如圖所示：設(shè)，則，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因?yàn)榈淖钚≈禐椋?，設(shè)，則，所以，所以，故選D．28．已知，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)、是橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且，則的取值范圍為A． B．C． D．【試題來源】浙江省寧波市北侖中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】B【解析】如圖，延長(zhǎng)射線、分別與橢圓相交于、兩點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱性可知，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，顯然則點(diǎn)的坐標(biāo)為．①若直線的斜率不存在，則點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，有②若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，消去后整理為，有，，，，，，因?yàn)椋?，則的取值范圍為．故選B.29．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且，則橢圓的離心率為A． B．C． D．【試題來源】【新教材精創(chuàng)】提高練-人教B版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)【答案】D【分析】解方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)得到關(guān)于的方程，解方程即得解．【解析】由，消可得得，解得，分別代入得，，，，，，，，，，，，，把代入式并整理得，兩邊同除以并整理得，解得，．故選D.【名師點(diǎn)睛】求橢圓的離心率常用的方法有：（1）公式法（求出代入離心率的公式得解）；（2）方程法（分析得到關(guān)于離心率的方程解方程得解）．30．已知橢圓，點(diǎn)在橢圓上，以為圓心的圓與軸相切與橢圓的焦點(diǎn)，與軸相交于，，若為正三角形，則橢圓的離心率為A． B．C． D．【試題來源】浙江省金華市義烏市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試【答案】D【解析】不妨設(shè)在第一象限，以為圓心的圓與軸相切于橢圓右焦點(diǎn)，則，又在橢圓上，則，圓的半徑，為正三角形，，，即，解得．故選D．31．已知橢圓的焦距為2，右頂點(diǎn)為，過原點(diǎn)與軸不重合的直線交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，若直線經(jīng)過的右焦點(diǎn)，則的方程為A． B．C． D．【試題來源】湖北省部分省級(jí)示范高中2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考【答案】C【解析】由題知，設(shè)點(diǎn)，則，又右焦點(diǎn)，且有直線經(jīng)過點(diǎn)，所以，，所以，解得，所以：，所以橢圓方程為．故選C.32．已知直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與圓交于C、D兩點(diǎn)．若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是A． B．C． D．【試題來源】2018屆福建省漳州市高三畢業(yè)班第三次調(diào)研（文）【答案】C【解析】直線，即為，可得直線恒過定點(diǎn)，圓的圓心為，半徑為1，且，為直徑的端點(diǎn)，由，可得的中點(diǎn)為，設(shè)，，，，則，，兩式相減可得，由．，可得，由，即有，則橢圓的離心率，．故選C.33．已知橢圓的右焦點(diǎn)為F(3，0)，過點(diǎn)F的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)．若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，），則G的方程為A． B．C． D．【試題來源】2020-2021學(xué)年【補(bǔ)習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（文）（人教A版）【答案】D【解析】設(shè)，則=2，=－2，，①，②①－②得，所以===，又==，所以=，又9==，解得=9，=18，所以橢圓方程為，故選D34．焦點(diǎn)在軸上的橢圓的方程為()，則它的離心率的取值范圍為A． B．C． D．【試題來源】2020-2021學(xué)年【補(bǔ)習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（文）（人教A版）【答案】C【解析】橢圓()焦點(diǎn)在軸上，故，即，解得，又，，故，其中對(duì)勾函數(shù)在上遞減，上遞增，故，，故，則．故選C．【名師點(diǎn)睛】求橢圓離心率（或取值范圍）常見方法：（1）直接法：由a，b，c的值或者關(guān)系，直接計(jì)算離心率；（2）構(gòu)建齊次式：利用已知條件和橢圓的幾何關(guān)系構(gòu)建關(guān)于a，b，c的方程和不等式，利用和轉(zhuǎn)化成關(guān)于的方程和不等式，通過解方程和不等式即求得離心率的值或取值范圍．35．若、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上的任意一點(diǎn)，且的內(nèi)切圓的周長(zhǎng)為，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A． B．C． D．不確定【試題來源】2020-2021學(xué)年【補(bǔ)習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（文）（人教A版）【答案】A【解析】由得，，得，，所以，，因?yàn)榈膬?nèi)切圓的周長(zhǎng)為，所以內(nèi)切圓的半徑，設(shè)，則，即，得，所以滿足條件是短軸的個(gè)端點(diǎn)，故選A．二、多選題1．已知橢圓C：，則下列結(jié)論正確的是A．長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 B．焦距為C．焦點(diǎn)坐標(biāo)為 D．離心率為【試題來源】廣東省深圳市皇御苑學(xué)校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】CD【解析】由橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，所以，所以長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，短軸長(zhǎng)為，離心率．故選CD.2．橢圓的焦距，短軸長(zhǎng)和長(zhǎng)軸長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列，其中長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于10，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為A． B．C． D．【試題來源】廣東省深圳市皇御苑學(xué)校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】AD【解析】設(shè)橢圓的焦距，短軸長(zhǎng)和長(zhǎng)軸長(zhǎng)分別為2c，2b，2a．由條件得解得．若焦點(diǎn)在橫軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，若焦點(diǎn)在縱軸上橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．故選AD．3．已知橢圓的焦距為6，短軸為長(zhǎng)軸的，直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，弦的中點(diǎn)為，則直線的方程為A． B．C． D．【試題來源】河北省曲陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考【答案】AD【解析】由已知可得橢圓的，又長(zhǎng)軸為短軸的，故橢圓方程為或，設(shè)弦的兩端點(diǎn)為，，當(dāng)橢圓方程為時(shí)，則有，兩式相減得，整理得，所以弦所在的直線的斜率為，其方程為，整理得；當(dāng)橢圓方程為時(shí)，則有，兩式相減得，整理得，所以弦所在的直線的斜率為，其方程為，整理得．故選AD．4．如圖所示，某探月衛(wèi)星沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)處變軌進(jìn)入以月球球心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行，之后衛(wèi)星在點(diǎn)處第二次變軌進(jìn)入仍以為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行，且軌道Ⅱ的右頂點(diǎn)為軌道Ⅰ的中心．設(shè)橢圓Ⅰ與Ⅱ的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)分別為和，半焦距分別為和，離心率分別為，，則下列結(jié)論正確的是A． B．C． D．橢圓Ⅱ比橢圓Ⅰ更扁【試題來源】山東省臨沂市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】ABC【解析】對(duì)于、由，，所以，所以選項(xiàng)正確；對(duì)于、由，，得到：，所以選項(xiàng)正確；對(duì)于、由，，得，即，所以選項(xiàng)正確；對(duì)于、根據(jù)選項(xiàng)知，，所以，即橢圓Ⅰ比橢圓Ⅱ更扁些，選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選．5．已知橢圓：，關(guān)于橢圓下述正確的是A．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為B．橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和C．橢圓的離心率等于D．若過橢圓的焦點(diǎn)且與長(zhǎng)軸垂直的直線與橢圓交于，則【試題來源】山東省青島膠州市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試【答案】ACD【解析】由已知橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，所以．長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，A正確；兩焦點(diǎn)為，B錯(cuò)誤；離心率為，C正確；代入橢圓方程得，解得，所以，D正確．故選ACD．6．已知曲線A．若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上B．若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上C．若，則是圓，其半徑為D．若，，則是兩條直線【試題來源】山東省濟(jì)南市市中區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】AD【解析】對(duì)于A，若，則可化為，因?yàn)?，所以，即曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故A正確，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則可化為，此時(shí)曲線表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，故C不正確；對(duì)于D，若，則可化為，，此時(shí)曲線表示平行于軸的兩條直線，故D正確；故選AD．7．關(guān)于、的方程，（其中）對(duì)應(yīng)的曲線可能是A．焦點(diǎn)在軸上的橢圓 B．焦點(diǎn)在軸上的橢圓C．焦點(diǎn)在軸上的雙曲線 D．圓【試題來源】河北省石家莊市第二十七中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期段考一（10月）【答案】ABCD【解析】分以下幾種情況討論：①當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，此時(shí)，方程表示的曲線為圓；④當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，方程表示的曲線為焦點(diǎn)在軸上的橢圓．故選ABCD．8．為使橢圓的離心率為，正數(shù)的值可以是A． B．C． D．【試題來源】江蘇省淮安市陽(yáng)光學(xué)校2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考【答案】CD【解析】當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)在軸上，此時(shí)，，所以，所以，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，焦點(diǎn)在軸上，此時(shí)，，所以，所以，解得，符合題意；綜上所述：正數(shù)的值可以時(shí)或，故選CD.9．下列說法正確的有A．方程表示兩條直線B．橢圓的焦距為4，則C．曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱D．橢圓：的焦距是2【試題來源】山東省棗莊市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】AC【解析】A．方程，即和表示兩條直線，故A正確；B．若方程表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，則，解得，若方程表示焦點(diǎn)在軸的橢圓時(shí)，則，解得，所以或，故B不正確；C．若點(diǎn)滿足方程，則點(diǎn)也滿足方程，所以曲線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，故C正確；D．橢圓：，，則，所以焦距是4，故D不正確．故選AC.10．已知橢圓：，是該橢圓在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，的角平分線交軸于點(diǎn)，且滿足，則該橢圓的離心率可能是A． B．C． D．【試題來源】湖北省武漢市華科附聯(lián)考體2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】BCD【解析】，可得，所以，是的平分線，，又，，，，可得，故都有可能，故選BCD．【名師點(diǎn)睛】求解與橢圓性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，既使不畫出圖形，思考時(shí)也要聯(lián)想到圖形，求離心率問題應(yīng)先將用有關(guān)的一些量表示出來，再利用其中的一些關(guān)系構(gòu)造出關(guān)于的方程或不等式，從而求出的值或范圍．三、填空題1．橢圓上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該橢圓離心率的最大值為__________．【試題來源】廣東省中山市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第二次統(tǒng)測(cè)【答案】【解析】因?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以B也在橢圓上，設(shè)左焦點(diǎn)為，根據(jù)橢圓的定義：，因?yàn)椋?，O是直角三角形斜邊的中點(diǎn)，所以，所以，所以，由于，所以當(dāng)時(shí)，離心率的最大值為，故答案為．2．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是橢圓過焦點(diǎn)的弦，則的周長(zhǎng)是__________．【試題來源】湖南省部分重點(diǎn)高中2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考【答案】16【解析】由橢圓的定義知所以．故答案為16．3．已知橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且與坐標(biāo)軸不平行的直線與橢圓交于點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是__________．【試題來源】北京市昌平區(qū)第一中學(xué)2020—2021學(xué)年度高二年級(jí)上學(xué)期期中考試【答案】8【解析】的周長(zhǎng)為，故答案為8．4．橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)是，則__________．【試題來源】江蘇省蘇州市高新區(qū)第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】10【解析】由題可得橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，解得．故答案為10．5．已知方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則的取值范圍是__________．【試題來源】山東省德州市德城區(qū)第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)在軸上的橢圓的方程的特征列出不等關(guān)系，求解不等關(guān)系可得結(jié)果．【解析】由題意得，解可得或；解可得或；綜上可得的取值范圍是．故答案為．【名師點(diǎn)睛】方程表示橢圓則有：；方程表示雙曲線則有：．6．橢圓的離心率為__________．【試題來源】山東省濟(jì)南回民中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】【解析】因?yàn)闄E圓方程為，所以，所以離心率，故答案為．7．已知橢圓，左焦點(diǎn)，右頂點(diǎn)，上頂點(diǎn)，滿足，則橢圓的離心率為__________．【試題來源】四川省成都市第七中學(xué)2020-2021學(xué)年高三期中（文）【答案】【解析】由可得，，即，則，解得或（舍），故答案為.8．已知橢圓的離心率等于，則實(shí)數(shù)__________．【試題來源】山東省青島膠州市2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試【答案】或【解析】當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸時(shí)，，，，所以，解得，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸時(shí)，，，，所以，解得．故答案為或.9．已知、是橢圓上的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且，則的面積為__________．【試題來源】2020-2021學(xué)年【補(bǔ)習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（文）（人教A版）【答案】【解析】由得，，所以，，所以，設(shè)，，所以，所以，因?yàn)?，所以所以，所以，所以的面積為．故答案為．10．若、為橢圓：()長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)，垂直于軸的直線與橢圓交于點(diǎn)、，且，則橢圓的離心率為__________．【試題來源】2020-2021學(xué)年【補(bǔ)習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（文）（人教A版）【答案】【解析】設(shè)、，因?yàn)?，，所以，所以，所以．故答案為【名師點(diǎn)睛】求橢圓離心率的關(guān)鍵是得到關(guān)于的等量關(guān)系式，根據(jù)以及斜率公式可得到所要的等量關(guān)系式．11．如圖所示，橢圓：()的左右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn)為第一象限內(nèi)橢圓上的一點(diǎn)，若，則直線的斜率為__________．【試題來源】2020-2021學(xué)年【補(bǔ)習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（文）（人教A版）【答案】【解析】，即，設(shè)，則，設(shè)直線的斜率為()，則直線的方程為，即，又，則，即，則，解得(舍去)或，又，則，解得，則．故答案為.12．已知橢圓經(jīng)過函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，若橢圓C的離心率，則C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍是__________．【試題來源】湖南省部分重點(diǎn)高中2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考【答案】【解析】因?yàn)榭苫癁?，所以曲線的對(duì)稱中心為，把代入方程，得，整理得．因?yàn)?，所以，從而．故答案為．【名師點(diǎn)睛】本題考查求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的范圍．解題關(guān)鍵是建立長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與離心率的關(guān)系式，求出函數(shù)對(duì)稱中心代入橢圓方程，利用進(jìn)行轉(zhuǎn)化是是解題的基本方法．13．已知橢圓的上焦點(diǎn)為，是橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最大值為__________．【試題來源】廣東省廣州市天河區(qū)天河中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期第二次月考【答案】【分析】先設(shè)橢圓的下焦點(diǎn)為，由橢圓的定義知，利用，即可得到的最大值．【解析】如圖所示：設(shè)橢圓的下焦點(diǎn)為，，，，又，即，，又，當(dāng)且僅當(dāng)，，共線且在線段上時(shí)等號(hào)成立，，，，的最大值為．故答案為．14．已知、為橢圓：的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且內(nèi)切圓的周長(zhǎng)等于，若滿足條件的點(diǎn)恰好有兩個(gè)，則__________．【試題來源】2020-2021學(xué)年【補(bǔ)習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（理）（人教A版）【答案】【解析】由題意得內(nèi)切圓的半徑，設(shè)，因此的面積為，設(shè)，則，因?yàn)闈M足條件的點(diǎn)恰好有兩個(gè)，所以為橢圓短軸端點(diǎn)，即，所以，而，所以，所以．故答案為．15．已知橢圓：()的離心率為，若以原點(diǎn)為圓心、橢圓短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________．【試題來源】2020-2021學(xué)年【補(bǔ)習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（文）（人教A版）【答案】【解析】圓方程為，與直線相切，所以，則，所以，故橢圓方程為．故答案為．四、雙空題1．已知，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為__________；若，則的最小值為__________．【試題來源】浙江省寧波市北侖中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】94【解析】由可得，，則，由橢圓定義可知，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)．．，又（當(dāng)且僅當(dāng)在線段上時(shí)取等號(hào)），．故答案為9；4．2．橢圓的焦距是__________，離心率是__________．【試題來源】浙江省寧波市北侖中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中【答案】【解析】由題知橢圓，，，．所以焦距是，離心率為．故答案為，.3．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且，動(dòng)點(diǎn)與連線的斜率之積為，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為__________，面積的取值范圍是__________．【試題來源】【新東方】杭州新東方數(shù)學(xué)試卷414【答案】【解析】因?yàn)榈淖鴺?biāo)為，且，可得，設(shè)，所以，（），由題意得，整理可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為；直線MN的斜率，設(shè)平行與MN的橢圓切線方程為，與橢圓聯(lián)立可得（），即，，解得，所以該切線與直線MN的距離，，所以面積的最大值，所以隨著P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，的面積取值范圍為．故答案為；．4．橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，若，的斜率為，則__________，離心率__________．【試題來源】【新東方】杭州新東方數(shù)學(xué)試卷409【答案】【解析】設(shè)，代入橢圓方程并作差得，即，將，代入上式得．由消去得，所以，因?yàn)?，所以即，所以，將代入，得，所以，此時(shí)橢圓為，橢圓的離心率，故答案為；.5．已知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，焦距為2，則橢圓的短軸長(zhǎng)為__________，標(biāo)準(zhǔn)方程為__________．【試題來源】【新東方】杭州新東方數(shù)學(xué)試卷409【答案】【解析】（1）由題得，所以橢圓的短軸長(zhǎng)為；（2）因?yàn)?，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．6．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上，若線段的中點(diǎn)在軸上，則__________，__________．【試題來源】【新東方】杭州新東方數(shù)學(xué)試卷403【答案】【解析】因?yàn)榫€段的中點(diǎn)在軸上，所以可得軸，即，所以，所以，所以，故答案為；.7．橢圓的離心率為__________，長(zhǎng)軸長(zhǎng)__________．【試題來源】【新東方】杭州新東方數(shù)學(xué)試卷403【答案】6【解析】由題意，則，所以離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為．故答案為；6．8．橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為__________；若，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，且，則的內(nèi)切圓半徑為__________．【試題來源】?jī)?nèi)蒙古包頭市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二第一學(xué)期期中考試（文）【答案】8【解析】由知，，所以，，，所以，，根據(jù)橢圓的定義可得，，所以的周長(zhǎng)為．因?yàn)?，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，則，所以，解得．故答案為；．9．橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是__________，離心率是__________．【試題來源】浙江省浙北G2（嘉興一中、湖州中學(xué)）2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考【答案】6【解析】由橢圓方程得，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，，離心率為．故答案為6；．10．（1）方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是__________；（2）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為，，點(diǎn)P是曲線C上任意一點(diǎn)，且直線PA與PB的斜率之積為，則曲線C的方程是__________．【試題來源】寧夏石嘴山市第三中學(xué)2020-2021學(xué)年高二上學(xué)期期中考試【答案】【解析】（1）因?yàn)榉匠碳幢硎窘裹c(diǎn)在x軸上的橢圓，所以．（2）設(shè)，則，．故答案為；五、解答題1．已知圓，經(jīng)過橢圓的左、右焦點(diǎn)，且與橢圓C在第一象限的交點(diǎn)為A，且，E，A三點(diǎn)共線，直線l交橢圓C于兩點(diǎn)M，N，且．（1）求橢圓C的方程；（2）當(dāng)?shù)拿娣e取到最大值時(shí)，求直線l的方程．【試題來源】江西省贛州市部分重點(diǎn)中學(xué)2021屆高三上學(xué)期期中考試（文）【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）由，令得，，由點(diǎn)，，共線，知為中點(diǎn)，則，，，，所求橢圓方程為；（2）可知，由，可得直線l的斜率為，設(shè)直線的方程為，，，由，得，由，得，，，，又點(diǎn)A到直線l的距離為，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，綜上，直線l的方程為或．2．已知橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為原點(diǎn)到直線的距離為（1）求橢圓的方程；（2）已知定點(diǎn)，是否存在過的直線，使與橢圓交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過橢圓的左頂點(diǎn)?若存在，求出的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．【試題來源】吉林省通化市輝南縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二第二次月考（文）【答案】（1）；（2）存在，或．【解析】（1）直線的一般方程為．依題意，解得，故橢圓的方程為.假若存在這樣的直線，當(dāng)斜率不存在時(shí)，以為直徑的圓顯然不經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn)，所以可設(shè)直線的斜率為則直線的方程為．由，得，由，得，記的坐標(biāo)分別為，則，而．要使以為直徑的圓過橢圓的左頂點(diǎn)，則，且，，所以．所以，整理解得或，所以存在過的直線，使與橢圓交于兩點(diǎn)，且以為直徑的圓，方程為或．【名師點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是找到，列出，考查了分析能力、計(jì)算能力．3．已知橢圓的短軸長(zhǎng)為2，離心率為，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若線段的垂直平分線通過點(diǎn)，證明：．【試題來源】吉林省通化市輝南縣第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二第二次月考（文）【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）由已知可得，解得．故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （2）證明：設(shè)，，聯(lián)立方程消去y得．當(dāng)，即時(shí)，．所以．又，即，即，即，化簡(jiǎn)整理得．【名師點(diǎn)睛】（1）解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．（2）涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．4．已知橢圓的上頂點(diǎn)為P，右頂點(diǎn)為Q，直線PQ與圓相切于點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）若不經(jīng)過點(diǎn)P的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且＝0，求證：直線l過定點(diǎn)．【試題來源】備戰(zhàn)2021年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)微專題【答案】（1）；（2）證明見解析．【解析】（1）由題意，圓的圓心坐標(biāo)為，又由點(diǎn)，可得，所以直線的斜率，所以直線的方程為，即，可得點(diǎn)，即，所以橢圓C的方程為．（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足條件．當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，消去y整理得，，得．①設(shè)，則．②由，得，又由，所以，③由②③得(舍)，或，滿足①．此時(shí)的方程為，故直線過定點(diǎn)．5．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，點(diǎn)是橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值是（1）求橢圓的方程；（2），，，是橢圓上不同的四點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，，的最小值．【試題來源】四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期11月月考（理）【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意得，又，解得，故所求的橢圓方程為．（2）由（1）得，由得．①當(dāng)直線與中有一條直線得斜率不存在時(shí)，②當(dāng)直線的斜率存在且為時(shí)，由消去得，設(shè)，則所以．同理可得，，令，則，當(dāng)即時(shí)取得最小值．綜上所述，的最小值為．6．已知橢圓：()的離心率為，過右焦點(diǎn)的直線與相交于、兩點(diǎn)．當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為．（1）求、的值；（2）上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)繞轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存在，求出所有點(diǎn)的坐標(biāo)與的方程；若不存在，說明理由．【試題來源】2020-2021學(xué)年【補(bǔ)習(xí)教材?寒假作業(yè)】高二數(shù)學(xué)（人教A版2019）【答案】（1），；（2）答案見解析．【解析】（1）橢圓的右焦點(diǎn)為，直線的斜率為時(shí)，則其方程為，即，原點(diǎn)到距離：，所以，又，所以，又，所以；（2）由（1）知橢圓的方程為，設(shè)弦的中點(diǎn)為，由可知，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，①若直線的斜率不存在，則軸，這時(shí)點(diǎn)與重合，，點(diǎn)不在橢圓上，故直線的斜率存在，設(shè)，，則，，所以，即，即，即由得，所以，②由①和②解得、，所以當(dāng)、時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程為，當(dāng)、時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的方程為．7．平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的直線交軌跡于不同兩點(diǎn)?，交軸于點(diǎn)，已知，，試問是否等于定值，并說明理由．【試題來源】四川省成都市實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2020-2021學(xué)年第一學(xué)期高二第二次階段性考試【答案】（1）；（2）是定值，．【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)到點(diǎn)的距離與到直線的距離之比為，所以，化簡(jiǎn)可得，曲線的方程為．