數(shù)學自我小測：數(shù)列的遞推公式（選學）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精自我小測1．數(shù)列｛an｝滿足a1＝1，an＝an－1＋n（n≥2）,則a5為()A．13B．14C．15D．162．在數(shù)列{an｝中，a1＝1，an＋1＝aeq\o\al(2,n）－1（n≥1），則a1＋a2＋a3＋a4＋a5等于（)A．－1B．1C．0D．23．已知在數(shù)列｛an}中，a1＝b（b為任意正數(shù)），an＋1＝－eq\f（1，an＋1）(n＝1，2，3，…),能使an＝b的n的數(shù)值可以是（）A．14B．15C．16D．174．若數(shù)列{an｝滿足：an＋1＝1－eq\f(1，an）,且a1＝2，則a2015等于（）A．1B．2C．eq\r（2)D．eq\f（1，2)5．已知數(shù)列｛an｝中，a1＝2，an＝an－1＋2（n≥2），則通項公式為（）A．3nB．2nC．nD．eq\f(1,2）n6．已知在數(shù)列{an}中，an＝2n＋1．在數(shù)列｛bn}中，b1＝a1，當n≥2時，bn＝，則b4＝________，b5＝________．7．已知a1＝1,an＋1＝eq\f(2an，an＋2）(n∈N＋)，依次寫出{an}的前5項為________,歸納出an＝________．8．若數(shù)列{an｝滿足eq\f（an＋2，an＋1）＋eq\f（an＋1，an)＝k（k為常數(shù)），則稱數(shù)列｛an}為等比和數(shù)列,k稱為公比和．已知數(shù)列{an｝是以3為公比和的等比和數(shù)列,其中a1＝1，a2＝2，則a2012＝________．9．已知a，b為兩個正數(shù)，且a〉b,設(shè)a1＝eq\f(a＋b,2），b1＝eq\r（ab)，當n≥2，n∈N＋時,an＝eq\f（an－1＋bn－1，2）,bn＝eq\r（an－1bn－1)．(1)求證：數(shù)列{an｝是遞減數(shù)列,數(shù)列｛bn}是遞增數(shù)列;（2)求證：an＋1－bn＋1<eq\f（1,2)（an－bn)．10．已知數(shù)列｛an}滿足a1＝2,an＋1＝an＋lneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1＋\f(1，n)）),寫出該數(shù)列的前四項并求數(shù)列的通項公式．參考答案1．解析：由an＝an－1＋n（n≥2)，得an－an－1＝n,則a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，把各式相加得a5－a1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a5＝14＋a1＝14＋1＝15．答案：C2．解析：由已知an+1＝aeq\o\al(2，n)－1＝(an＋1）（an－1)，∴a2＝0，a3＝－1，a4＝0，a5＝－1,∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1．答案：A3．解析：∵a1＝b，an+1＝－eq\f(1,an＋1）,∴a2＝－eq\f（1，b＋1），a3＝－eq\f(b＋1，b)，a4＝b．∴｛an｝的項是以3為周期重復出現(xiàn)的．由于a1＝a4＝b，∴a7＝a10＝a13＝a16＝b．故選C．答案：C4．解析：由an+1＝1－eq\f(1，an），a1＝2，得a2＝1－eq\f（1，2）＝eq\f(1，2)，a3＝1－2＝－1,a4＝2，…，由此可見，數(shù)列{an｝的項是以3為周期重復出現(xiàn)的,故a2015＝a3×671+2＝a2＝eq\f（1，2），故選D．答案：D5．答案:B6．解析：題目中的關(guān)系式也是遞推關(guān)系式，不同的是兩個不同的數(shù)列中的項的關(guān)系,可以逐個推導．∵an＝2n＋1，bn＝abn－1(n≥2)，∴b1＝a1＝3，b2＝＝a3＝7，b3＝＝a7＝15,b4＝＝a15＝31，b5＝＝a31＝63．答案：31637．解析：已知題中已給出{an｝的第1項即a1＝1，根據(jù)遞推公式：an+1＝eq\f(2an,an＋2)，將n＝2，3，4，5依次代入可得這個數(shù)列的前5項，∴a2＝eq\f(2，3)，a3＝eq\f（1，2）＝eq\f（2，4)，a4＝eq\f（2,5)，a5＝eq\f(1，3)＝eq\f（2,6)．∴an＝eq\f(2,n＋1）．答案：1，eq\f（2,3)，eq\f(1,2），eq\f(2,5），eq\f(1,3)eq\f(2,n＋1)8．答案:210069．證明：（1)易知對任意n∈N+，an〉0,bn>0．由a≠b，可知eq\f(a＋b，2)>eq\r（ab），即a1〉b1．同理，eq\f（a1＋b1,2)〉eq\r(a1b1），即a2〉b2．可知對任意n∈N+，an>bn．所以an+1－an＝eq\f（an＋bn，2)－an＝eq\f（bn－an，2）〈0,所以數(shù)列{an｝是遞減數(shù)列．又bn+1－bn＝eq\r（anbn）－bn＝eq\r(bn）(eq\r（an)－eq\r(bn）)>0,所以數(shù)列｛bn}是遞增數(shù)列．(2）an+1－bn+1＝eq\f（an＋bn,2)－eq\r（anbn)〈eq\f（an＋bn,2）－eq\r（bnbn)＝eq\f(1,2）(an－bn）．∴an+1－bn+1＜eq\f(1，2）(an－bn)．10．解：∵a1＝2，an+1＝an＋lneq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋\f(1，n）)),∴a2＝a1＋ln(1＋1)＝2＋ln2，a3＝a2＋lneq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1，2)）)＝2＋ln2＋lneq\f(3,2)＝2＋ln3,a4＝a3＋lneq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1，3)）)＝2＋ln3＋lneq\f（4，3)＝2＋ln4．由an+1＝an＋lneq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1＋\f（1,n)))可得：an+1－an＝lneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(1＋\f(1，n)））＝lneq\f(n＋1，n），∴an＝(an－an－1)＋（an－1－an－2）＋（an－2－an－3）＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1）＋a1＝lneq\f(n,n－1)＋lneq\f(n－1,n－2）＋lneq\f（n－2,n－3）＋…＋lneq