數學自我小測：向量的正交分解與向量的直角坐標運算

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精自我小測1．如圖,設e1,e2為互相垂直的單位向量，則向量a－b可表示為()A．e1－3e2B．－2e1－4e2C．2e2－e1D．3e1－e22．若向量a＝（1,1），b＝(1，－1），c＝（－1,2），則c＝（）A．－a＋bB．a－bC．a－bD．－a＋b3．△ABC的兩個頂點為A(4，8），B(－3,6），若AC的中點在x軸上，BC的中點在y軸上,則點C的坐標為(）A．（－8，3）B．(－3，4）C．（3，－8）D．(－4，3）4．已知在?ABCD中，＝(3，7），＝(－2，3），對角線AC，BD交于點O，則的坐標為（)A．B．C．D．5．設點A，B，C，D的坐標依次為(－1,0)，（3，1)，(4，3)，（0，2）,則四邊形ABCD的形狀為________．(填“平行四邊形”“菱形”)6．平面上有A（2，－1），B(1，4)，D（4，－3）三點,點C在直線AB上，且＝，連接DC延長至點E,使｜｜＝｜｜，則點E的坐標為________．7．已知邊長為1的正方形ABCD．若點A與坐標原點重合,邊AB，AD分別落在x軸，y軸的正方向上，則向量4＋－3的坐標為__________．8．已知點O（0，0),A（1，2）,B(4,5）及＝＋t，求：（1）t為何值時，P在x軸上？P在y軸上？P在第二象限？(2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應的t值；若不能,請說明理由．9．已知向量u＝（x，y）與v＝(y,2y－x）的對應關系用v＝f（u)表示．(1）證明：對于任意向量a，b及常數m，n，恒有f(ma＋nb）＝mf(a）＋nf（b)成立；(2）設a＝(1,1），b＝(1,0），求向量f(a）及f(b)的坐標；（3）求使f(c)＝（p，q)（p，q為常數)的向量c的坐標．

參考答案1．答案：A2．答案：B3．答案：C4．解析:如圖所示，=+=（—2，3）+（3，7）=(1,10），所以==．所以MBEDEquation.DSMT4錯誤！未定義書簽。=．答案:C5．解析：如圖所示,＝(0,2)－(－1，0)＝(1,2)，＝(4，3)－(3，1)＝(1,2），所以＝．又＝(3,1)－（－1,0)＝(4，1)，所以｜｜＝，||＝，所以｜｜≠｜|，所以四邊形ABCD為平行四邊形．答案:平行四邊形6．解析:因為＝，所以－＝(－），即＝（3,－6）．又因為＝－，設E(x，y)，則得答案：7．解析：如圖，各頂點的坐標為A(0，0），B（1,0），C(1，1），D（0,1）,所以＝(1,0)，＝（0,1），＝(1，1）．所以4＋－3＝（1，－2）．答案：(1,－2）8．解：（1)設P（x，y），由＝＋t得（x，y)＝(1,2)＋t(3，3)，即若P在x軸上，則yP＝0,即2＋3t＝0，所以t＝－．若P在y軸上，則xP＝0，即1＋3t＝0，所以t＝－．若P在第二象限，則?－<t<－．（2)若四邊形OABP能構成平行四邊形，則＝，即（1＋3t，2＋3t）＝（3，3）．所以這是不可能的．故不能成為平行四邊形．9．解：(1）證明：設a＝（a1，a2）,b＝(b1，b2)，則ma＋nb＝（ma1＋nb1,ma2＋nb2），所以f(ma＋nb)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1），mf(a）＋nf（b)＝m（a2，2a2－a1）＋n(b2，2b2－b1)＝(ma2＋nb2,2ma2＋2nb2－ma1－nb1）．所以f(ma＋nb)＝mf(a)＋nf（b）,即對于任意向量a，b及常數m，n,恒有f(ma＋nb）＝mf(a)＋nf（b)．(2)f(a）＝f((1，1)）＝(1，2×1－1)＝（1，1)，f