專題8.7 拋物線（舉一反三）（新高考專用）（學生版） 2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

專題8.7拋物線【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1拋物線的定義及其應用】 3【題型2拋物線的標準方程】 4【題型3拋物線的焦點坐標及準線方程】 4【題型4拋物線的軌跡方程】 5【題型5拋物線上的點到定點的距離及最值】 5【題型6拋物線上的點到定點和焦點距離的和、差最值】 5【題型7拋物線的焦半徑公式】 6【題型8拋物線的幾何性質(zhì)】 6【題型9拋物線中的三角形（四邊形）面積問題】 71、拋物線考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)掌握拋物線的定義、幾何圖形、標準方程(2)掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率)(3)了解拋物線的簡單應用2023年新高考I卷：第22題，12分2023年新高考Ⅱ卷：第10題，5分2023年全國乙卷（文數(shù)）：第13題，5分2023年北京卷：第6題，4分2024年新高考Ⅱ卷：第10題，6分2024年北京卷：第11題，5分拋物線是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，拋物線及其性質(zhì)是高考數(shù)學的熱點問題.從近幾年的高考情況來看，主要考查拋物線的定義、標準方程、幾何性質(zhì)、面積問題等內(nèi)容，在選擇、填空、解答題都可能出現(xiàn)，解題思路和解題步驟相對固定，強調(diào)通性通法，選擇、填空題中難度不大，解答題中難度偏大，一般以第一小問考查拋物線的方程或軌跡問題，需要靈活求解.【知識點1拋物線及其性質(zhì)】1．拋物線的定義(1)定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫作拋物線.點F叫作拋物線的焦點，直線l叫作拋物線的準線.(2)集合語言表示設點M(x,y)是拋物線上任意一點，點M到直線l的距離為d，則拋物線就是點的集合P={M||MF|=d}.2．拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)標準

方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)圖形頂點(0,0)(0,0)軸對稱軸y=0對稱軸x=0焦點準線離心率e=1e=1開口開口向右開口向左開口向上開口向下焦半徑范圍x≥0x≤0y≥0y≤03．拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異拋物線與橢圓、雙曲線幾何性質(zhì)的差異：

①它們都是軸對稱圖形，但橢圓和雙曲線又是中心對稱圖形；

②頂點個數(shù)不同，橢圓有4個頂點，雙曲線有2個頂點，拋物線只有1個頂點；

③焦點個數(shù)不同，橢圓和雙曲線各有2個焦點，拋物線只有1個焦點；

④離心率取值范圍不同，橢圓的離心率范圍是0<e<1,雙曲線的離心率范圍是e>1，拋物線的離心率是e=1；

⑤橢圓和雙曲線都有兩條準線，而拋物線只有一條準線；

⑥橢圓是封閉式曲線，雙曲線和拋物線都是非封閉式曲線.【知識點2拋物線標準方程的求解方法】1．拋物線標準方程的求解待定系數(shù)法：求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置、開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)p，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程.【知識點3拋物線的焦半徑公式】1．焦半徑公式設拋物線上一點P的坐標為，焦點為F.(1)拋物線：，；(2)拋物線：，；(3)拋物線：，；(4)拋物線：，.注：在使用焦半徑公式時，首先要明確拋物線的標準方程的形式，不同的標準方程對應于不同的焦半徑公式.【知識點4與拋物線有關(guān)的最值問題的解題策略】1．與拋物線有關(guān)的最值問題的兩個轉(zhuǎn)化策略(1)轉(zhuǎn)化策略一：將拋物線上的點到準線的距離轉(zhuǎn)化為該點到焦點的距離，構(gòu)造出“兩點之間線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問題得以解決.(2)轉(zhuǎn)化策略二：將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決.【方法技巧與總結(jié)】1．通徑：過焦點與對稱軸垂直的弦長等于2p.2．拋物線上一點P到焦點的距離，也稱為拋物線的焦半徑.【題型1拋物線的定義及其應用】【例1】（2024·貴州貴陽·二模）拋物線y2=4x上一點M與焦點間的距離是10，則M到x軸的距離是（

）A．4 B．6 C．7 D．9【變式1-1】（2024·河北·模擬預測）已知點P為平面內(nèi)一動點，設甲：P的運動軌跡為拋物線，乙：P到平面內(nèi)一定點的距離與到平面內(nèi)一定直線的距離相等，則（

）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【變式1-2】（2024·北京大興·三模）已知拋物線y2=4x的焦點為F，過F且斜率為?1的直線與直線x=?1交于點A，點M在拋物線上，且滿足MAA．1 B．2 C．2 D．2【變式1-3】（2024·福建莆田·模擬預測）若拋物線C的焦點到準線的距離為3，且C的開口朝左，則C的標準方程為（

）A．y2=?6x B．y2=6x C．【題型2拋物線的標準方程】【例2】（2024·山東菏澤·模擬預測）已知點Aa,2為拋物線x2=2pyp>0上一點，且點A到拋物線的焦點F的距離為3，則A．12 B．1 C．2 【變式2-1】（2024·陜西安康·模擬預測）過點2,?3，且焦點在y軸上的拋物線的標準方程是（

）A．x2=?3y B．x2=?43【變式2-2】（2024·新疆·三模）已知拋物線y2=2px(p>0)上任意一點到焦點F的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，則拋物線的標準方程為（A．y2=x B．y2=2x C．【變式2-3】（2024·寧夏石嘴山·三模）如圖，過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線l交拋物線于兩點A、B，交其準線于C，AE與準線垂直且垂足為E，若BC=2A．y2=3xC．y2=9x【題型3拋物線的焦點坐標及準線方程】【例3】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·二模）已知拋物線C的方程為

x=?116yA．(-4,0) B．?140 C．(-2,0)【變式3-1】（2024·黑龍江大慶·模擬預測）已知拋物線C:y=6x2，則C的準線方程為（A．y=?32 B．y=32 C．【變式3-2】（2024·河南·三模）拋物線y2=?28x的焦點坐標為（A．0,?14 B．0,?7 C．?14,0 D．?7,0【變式3-3】（2024·福建廈門·模擬預測）若拋物線y2=mx的準線經(jīng)過雙曲線x2?yA．?4 B．4 C．?8 【題型4拋物線的軌跡方程】【例4】（2024·湖南衡陽·三模）已知點F(2,0)，動圓P過點F，且與x=?2相切，記動圓圓心P點的軌跡為曲線Γ，則曲線Γ的方程為（

）A．y2=2x B．y2=4x C．【變式4-1】（23-24高二上·北京延慶·期末）到定點F(1,0)的距離比到y(tǒng)軸的距離大1的動點且動點不在xA．y2=8x B．y2=4x C．【變式4-2】（23-24高二上·重慶·期末）已知點Px,y滿足(x?1)2+y2A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓【變式4-3】（23-24高二上·寧夏石嘴山·階段練習）一個動圓與定圓F：x+22+y2=1A．y2=8x B．y2=4x C．y2【題型5\t"/gzsx/zj165994/_blank"\o"拋物線上的點到定點的距離及最值"拋物線上的點到定點的距離及最值】【例5】（2024·全國·模擬預測）已知A是拋物線C：y2=4x上的點，N4,0，則ANA．2 B．22 C．4 D．【變式5-1】（2024高三·全國·專題練習）已知P是拋物線y2=2x上的點，Q是圓x?52+yA．2 B．22 C．23【變式5-2】（2024·湖南益陽·三模）已知M是拋物線y2=4x上一點，圓C1:x?12+y?22=1關(guān)于直線y=x?1對稱的圓為C2A．22?1 B．2?1 C．11【變式5-3】（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）已知拋物線C:y2=8x的焦點為F，M為C上的動點，N為圓A:x2+y2+2x+8y+16=0上的動點，設點MA．1 B．22 C．332【題型6\t"/gzsx/zj165994/_blank"\o"拋物線上的點到定點和焦點距離的和、差最值"拋物線上的點到定點和焦點距離的和、差最值】【例6】（2024·四川成都·模擬預測）設點A(2,3)，動點P在拋物線C:y2=4x上，記P到直線x=?2的距離為d，則APA．1 B．3 C．10?1 D．【變式6-1】（2024·湖南常德·一模）已知拋物線方程為:y2=16x，焦點為F.圓的方程為x?52+y?12=1，設PA．6 B．7 C．8 D．9【變式6-2】（2024·全國·模擬預測）在直角坐標系xOy中，已知點F1,0，E?2,0，M2,2，動點P滿足線段PE的中點在曲線y2=2x+2A．2 B．3 C．4 D．5【變式6-3】（2024·陜西西安·一模）設P為拋物線C：y2=4x上的動點，A2,6關(guān)于P的對稱點為B，記P到直線x=?1、x=?4的距離分別d1、d2A．33+2 B．233+2 C．3【題型7\t"/gzsx/zj165994/_blank"\o"拋物線的焦半徑公式"拋物線的焦半徑公式】【例7】（2024·青海西寧·一模）已知F是拋物線C:x2=4y的焦點，點M在C上，且M的縱坐標為3，則MFA．22 B．23 C．4【變式7-1】（2024·河南·模擬預測）已知拋物線C:y2=2pxp>0上的點m,2到原點的距離為22，焦點為F，準線l與x軸的交點為M，過C上一點P作PQ⊥l于Q，若∠FPQ=A．13 B．12 C．33【變式7-2】（2024·新疆·三模）已知拋物線C：y2=x的焦點為F，在拋物線C上存在四個點P，M，Q，N，若弦PQ與弦MN的交點恰好為F，且PQ⊥MN，則1PQA．22 B．1 C．2 【變式7-3】（2024·北京西城·三模）點F拋物線y2=2x的焦點，A，B，C為拋物線上三點，若FA+FB+A．2 B．23 C．3 D．【題型8拋物線的幾何性質(zhì)】【例8】（2024·重慶·模擬預測）A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的不同兩點，點F是拋物線的焦點，且△OAB的重心恰為F，若|AF|=5，則p=（A．1 B．2 C．3 D．4【變式8-1】（23-24高二下·福建廈門·期末）等邊三角形的一個頂點位于原點，另外兩個頂點在拋物線y2=2x上，則這個等邊三角形的邊長為（A．2 B．23 C．4 D．【變式8-2】（23-24高三下·北京·階段練習）設拋物線C的焦點為F，點E是C的準線與C的對稱軸的交點，點P在C上，若∠PEF=30°，則sin∠PFE=（

A．34 B．33 C．22【變式8-3】（23-24高二下·重慶·階段練習）已知x軸上一定點Aa,0a>0，和拋物線y2=2pxp>0上的一動點M，若AMA．0,p2 B．0,p C．0,3p【題型9拋物線中的三角形（四邊形）面積問題】【例9】（2024·江西新余·二模）已知點Q2,?2在拋物線C：y2=2px上，F(xiàn)為拋物線的焦點，則△OQF（OA．12 B．1 C．2 【變式9-1】（23-24高二上·廣東廣州·期末）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，直線l與C相交于A、B兩點，與y軸相交于點E．已知AF=5，BF=3，若△AEF的面積是△BEF面積的2倍，則拋物線A．y2=2x B．y2=4x C．【變式9-2】（23-24高二上·廣東廣州·期末）設F為拋物線y2=4x的焦點，A,B,C為該拋物線上不同的三點，且FA+FB+FC=0,O為坐標原點，若△OFA、△OFB、△OFC的面積分別為SA．3 B．4 C．5 D．6【變式9-3】（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知拋物線C：y2=8x，點P為拋物線上任意一點，過點P向圓D：x2+y2?4x+3=0作切線，切點分別為AA．1 B．2 C．3 D．5一、單選題1．（2024·江西·模擬預測）若拋物線x2=8y上一點x0,y0到焦點的距離是該點到A．12 B．1 C．322．（2024·四川·模擬預測）已知拋物線C:x2=8y的焦點為F,P是拋物線C上的一點，O為坐標原點，OP=43A．4 B．6 C．8 D．103．（23-24高二下·甘肅白銀·期中）若圓C與x軸相切且與圓x2+y2=4A．x2=4y+4 C．x2=4y4．（2024·北京海淀·三模）已知拋物線y2=4x的焦點為F、點M在拋物線上，MN垂直y軸于點N，若MF=6，則△MNFA．8 B．45 C．55 5．（2024·西藏林芝·模擬預測）已知拋物線y2=8x上一點P到準線的距離為d1，到直線l:4x?3y+12=0的距離為d2，則A．1 B．2 C．3 D．46．（2024·四川雅安·三模）已知過圓錐曲線的焦點且與焦點所在的對稱軸垂直的弦被稱為該圓錐曲線的通徑，清代數(shù)學家明安圖在《割圓密率捷法》中，也稱圓的直徑為通徑.已知圓(x?2)2+(y+1)2=4的一條直徑與拋物線xA．12 B．1 C．2 7．（2024·山西運城·三模）已知拋物線C:y2=4x的焦點為F，動點M在C上，點B與點A1,?2關(guān)于直線l:y=x?1對稱，則A．22 B．12 C．338．（2024·江西九江·二模）已知拋物線C:y2=2px過點A1,2，F(xiàn)為C的焦點，點P為C上一點，A．C的準線方程為x=?2B．△AFO的面積為1C．不存在點P，使得點P到C的焦點的距離為2D．存在點P，使得△POF為等邊三角形二、多選題9．（2024·湖南長沙·二模）已知拋物線C與拋物線y2=4x關(guān)于y軸對稱，則下列說法正確的是（A．拋物線C的焦點坐標是?1,0B．拋物線C關(guān)于y軸對稱C．拋物線C的準線方程為x=1D．拋物線C的焦點到準線的距離為410．（2024·湖北襄陽·二模）拋物線C:x2=2py的焦點為F，P為其上一動點，當P運動到(t,1)時，|PF|=2，直線l與拋物線相交于A、BA．拋物線的方程為：xB．拋物線的準線方程為：y=?1C．當直線l過焦點F時，以AF為直徑的圓與x軸相切D．AF11．（2024·廣東廣州·模擬預測）已知拋物線C：x2=2y的焦點為F，準線為l，點A，B在C上（A在第一象限），點Q在l上，以AB為直徑的圓過焦點F，QB=λBF（A．若λ=3，則BF=34 B．若C．△AFB的面積最小值為14 D．△AQB的面積大于三、填空題12．（2024·陜西寶雞·三模）拋物線y2=2px(p>0)過點A(2,2)，則點A到拋物線準線的距離為13．（2024·西藏林芝·模擬預測）拋物線x2=