專(zhuān)題8.1 直線的方程（舉一反三）（新高考專(zhuān)用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)練（新高考專(zhuān)用）

專(zhuān)題8.1直線的方程【八大題型】【新高考專(zhuān)用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1直線的傾斜角與斜率】 3【題型2直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍】 4【題型3求直線的方程】 7【題型4直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題】 8【題型5三線能?chē)扇切蔚膯?wèn)題】 10【題型6兩直線的夾角問(wèn)題】 12【題型7軌跡問(wèn)題——直線】 13【題型8直線方程的綜合應(yīng)用】 151、直線的方程考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式(2)根據(jù)確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)2024年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第10題，5分從近幾年的高考情況來(lái)看，高考對(duì)直線方程的考查比較穩(wěn)定，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度不大；復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)熟練掌握直線的傾斜角與斜率、直線方程的求法.【知識(shí)點(diǎn)1直線的方程】1．直線的傾斜角(1)傾斜角的定義①當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．②當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.(2)直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.2．直線的斜率(1)直線的斜率把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即k＝tanα.(2)斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖示傾斜角(范圍)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范圍)k＝0k>0不存在k<0(3)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).3．直線的方向向量設(shè)A，B為直線上的兩點(diǎn)，則就是這條直線的方向向量.4．辨析直線方程的五種形式方程形式直線方程局限性選擇條件點(diǎn)斜式不能表示與x軸垂直的直線①已知斜率；②已知

一點(diǎn)斜截式y(tǒng)=kx+b不能表示與x軸垂直的直線①已知在y軸上的截距；②已知斜率兩點(diǎn)式不能表示與x軸、

y軸垂直的直線①已知兩個(gè)定點(diǎn)；②已知兩個(gè)截距截距式不能表示與x軸垂直、與y軸垂直、過(guò)原點(diǎn)的直線①已知兩個(gè)截距；②已知直線與兩條坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積一般式Ax+By+C=0

(A,B不全為0)表示所有的直線求直線方程的最后結(jié)果均可以化為一般式方程【知識(shí)點(diǎn)2求直線方程的一般方法】1．求直線方程的一般方法(1)直接法

直線方程形式的選擇方法：

①已知一點(diǎn)常選擇點(diǎn)斜式；

②已知斜率選擇斜截式或點(diǎn)斜式；

③已知在兩坐標(biāo)軸上的截距用截距式；

④已知兩點(diǎn)用兩點(diǎn)式，應(yīng)注意兩點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等的情況.(2)待定系數(shù)法

先設(shè)出直線的方程，再根據(jù)已知條件求出未知系數(shù)，最后代入直線方程.

利用待定系數(shù)法求直線方程的步驟：①設(shè)方程；②求系數(shù)；③代入方程得直線方程.

若已知直線過(guò)定點(diǎn)，則可以利用直線的點(diǎn)斜式求方程，也可以利用斜截式、截距式等求解(利用點(diǎn)斜式或斜截式時(shí)要注意斜率不存在的情況).【方法技巧與總結(jié)】1．牢記口訣：“斜率變化分兩段，90°是分界線；遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論”.2．“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù).應(yīng)注意過(guò)原點(diǎn)的特殊情況是否滿足題意.3．斜率為k的直線的一個(gè)方向向量為(1,k).【題型1直線的傾斜角與斜率】【例1】（2024·陜西西安·二模）直線2x?23y?1=0的傾斜角α=（

）A．π6 B．π3 C．2π【解題思路】根據(jù)直線方程求出斜率，再由斜率得出傾斜角即可.【解答過(guò)程】由2x?23y?1=0可得，所以直線斜率k=tan又0≤α<π，所以α=故選：A.【變式1-1】（2024·安徽合肥·三模）已知直線l的一個(gè)方向向量為p=sinπ3,A．π6 B．π3 C．2π【解題思路】由方向向量的坐標(biāo)得出直線的斜率，再求傾斜角即可.【解答過(guò)程】由題意可得：直線l的斜率k=cosπ3sinπ故選：A.【變式1-2】（2024·新疆烏魯木齊·三模）直線l1，l2的斜率分別為1，2，l1，l2夾角為θ，則A．34 B．45 C．35【解題思路】根據(jù)直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系，由兩角差的正切公式以及同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系計(jì)算可得結(jié)果.【解答過(guò)程】設(shè)直線l1，l2的傾斜角分別為α,β，則tanα=1,因此tanθ=所以sin2θ=2故選：C.【變式1-3】（23-24高二上·湖南衡陽(yáng)·期末）已知直線l的傾斜角α滿足120°<α≤135°，則l的斜率A．?1,?33 C．?3,?1 【解題思路】根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性得到斜率k的取值范圍.【解答過(guò)程】函數(shù)k=tanα在又tan120°=?3，故k的取值范圍是?3故選：C.【題型2直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍】【例2】（2024·山西太原·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A(2,3)，B(?3,?2)與直線l:kx?y?k+1=0，且直線l與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍為（

）A．k≥2或k≤34 B．k≥34或k≤?14【解題思路】直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M(1,1)，求得MA、MB的斜率，再數(shù)形結(jié)合可得直線l的斜率k的取值范圍.【解答過(guò)程】解：已知點(diǎn)A(2,3)，B(?3,?2)與直線l:kx?y?k+1=0，且直線l與線段AB相交，直線l:kx?y?k+1=0，即直線l:k(x?1)?y+1=0，它經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M(1,1)，MA的斜率為3?12?1=2，MB的斜率為則直線l的斜率k的取值范圍為k≥2或k≤3故選：A.【變式2-1】（23-24高一下·浙江寧波·期末）已知點(diǎn)A2,3，B3,?1，若直線l過(guò)點(diǎn)P0,1且與線段AB相交，則直線l的斜率kA．k≤?23或k≥1 B．k≤?C．?23≤k≤0或k≥1【解題思路】根據(jù)兩點(diǎn)間斜率公式計(jì)算即可.【解答過(guò)程】直線PA的斜率為kPA=3?12?0=1結(jié)合圖象可得直線l的斜率k的取值范圍是?2故選：D.【變式2-2】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)A?1,1、B1,2、C0,?1，過(guò)點(diǎn)C的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線lA．?2,3 B．(?2,0)∪(0,3)C．?∞,?2【解題思路】過(guò)點(diǎn)C的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合，得到直線l的斜率k≤kAC或【解答過(guò)程】如圖，過(guò)點(diǎn)C的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k≤kAC或而kAC=?2,kBC=3，于是直線l所以直線l斜率k的取值范圍是(?∞故選：C.

【變式2-3】（2024高二·江蘇·專(zhuān)題練習(xí)）已知直線l:m+2x+m?1y+m?1=0，若直線l與連接A1,?2A．?π4,C．π4,3π【解題思路】先求出直線l所過(guò)定點(diǎn)P的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合可求出直線l的斜率的取值范圍，即可得出直線l的傾斜角的取值范圍.【解答過(guò)程】直線l的方程可化為mx+y+1聯(lián)立方程組x+y+1=02x?y?1=0，可得x=0,y=?1，所以直線l過(guò)定點(diǎn)P設(shè)直線l的斜率為k，直線l的傾斜角為α，則0≤α<π因?yàn)橹本€PA的斜率為?1??20?1=?1，直線PB因?yàn)橹本€l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0,?1，且與線段AB所以?1≤k≤1，即?1≤tan因?yàn)?≤α<π，所以0≤α≤π4故直線l的傾斜角的取值范圍是0,π故選：D．【題型3求直線的方程】【例3】（24-25高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）直線的一個(gè)方向向量為v=1,?3，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)0,2，則直線的方程為（A．3x?y+2=0 B．3x+y?2=0C．3x+y+2=0 D．3x?y?2=0【解題思路】方法一：由直線的方向量求出直線斜率，然后利用點(diǎn)斜式可求出直線方程；方法二：由已知可得直線的一個(gè)法向量為n=3,1，則設(shè)直線為3x+y+C=0，再將0,2代入求出【解答過(guò)程】方法一

∵直線的一個(gè)方向向量為v=1,?3，∴∴直線的方程為y=?3x+2，即3x+y?2=0．方法二

由題意知直線的一個(gè)法向量為n=∴直線的方程可設(shè)為3x+y+C=0，將點(diǎn)0,2代入得C=?2，故所求直線的方程為3x+y?2=0．故選：B.【變式3-1】（2024·廣東珠?！つM預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)P?1,2且與直線x+2y+3=0垂直的直線方程是（

A．x?2y+5=0 B．x+2y?3=0C．2x?y+4=0 D．2x+y=0【解題思路】求出所求直線的斜率，利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.【解答過(guò)程】直線x+2y+3=0的斜率為?12，故所求直線的斜率為所以，過(guò)點(diǎn)P?1,2且與直線x+2y+3=0垂直的直線方程是y?2=2即2x?y+4=0.故選：C.【變式3-2】（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）△ABC中，A3,2，B1,1，C2,3，則ABA．2x+y?7=0 B．2x?y?1=0C．x+2y?8=0 D．x?2y+4=0【解題思路】設(shè)AB邊上的高所在的直線為l，求出直線l的斜率，代入點(diǎn)斜式方程，整理即可得出答案.【解答過(guò)程】設(shè)AB邊上的高所在的直線為l，由已知可得，kAB=1?21?3=又l過(guò)C2,3，所以l的方程為y?3=?2整理可得，2x+y?7=0.故選：A.【變式3-3】（23-24高二下·貴州·階段練習(xí)）已知直線l傾斜角的余弦值為?55，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)，則直線l的方程為（A．2x+y?5=0 B．2x?y?3=0 C．x?2y=0 D．x+2y?4=0【解題思路】根據(jù)題意利用同角三角關(guān)系可得直線l的斜率k=?2，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程運(yùn)算求解.【解答過(guò)程】設(shè)直線l的傾斜角為θ∈0,π，則cosθ=?則直線l的斜率k=tan且直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)，所以直線l的方程為y?1=?2x?2，即2x+y?5=0故選：A.【題型4直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題】【例4】（23-24高二上·安徽六安·期末）直線kx?y+1?3k=0，當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過(guò)定點(diǎn)（

）A．3,1 B．0,1 C．0,0 D．2,1【解題思路】直線方程轉(zhuǎn)化為：x?3k?y+1=0，然后令x?3=0【解答過(guò)程】解：直線方程轉(zhuǎn)化為：x?3k?y+1=0令x?3=0?y+1=0，解得x=3,y=1所以直線過(guò)定點(diǎn)3,1，故選：A．【變式4-1】（2024高二上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知a，b滿足2a+b=1，則直線ax+3y+b=0必過(guò)定點(diǎn)（

）A．?13,C．12,1【解題思路】利用已知條件消去b，令a的系數(shù)為0即可.【解答過(guò)程】由2a+b=1，得b=1?2a，代入直線方程ax+3y+b=0中，得ax+3y+1?2a=0，即a(x?2)+3y+1=0，令x?2=03y+1=0，解得x=2所以該直線必過(guò)定點(diǎn)2,故選：D.【變式4-2】（23-24高二下·浙江·階段練習(xí)）若直線l:x+ky+3=0與直線x+y?3=0的交點(diǎn)位于第二象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（A．π3,5π6 B．π6,【解題思路】首先確定直線l所過(guò)定點(diǎn)及直線x+y?3=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，結(jié)合圖象可確定滿足題意的臨界狀態(tài)，結(jié)合直線斜率和傾斜角關(guān)系可求得結(jié)果.【解答過(guò)程】由題意知：直線l:x+ky+3=0恒過(guò)定點(diǎn)直線x+y?3=0與x,y軸分別交于點(diǎn)B3,0，C在平面直角坐標(biāo)系中作出直線x+y?3=0如下圖所示，結(jié)合圖象可知：若直線l與直線x+y?3=0交點(diǎn)位于第二象限，則臨界狀態(tài)為如圖所示的l1,l2位置，其中l(wèi)1過(guò)點(diǎn)AC∵kl1=3?00+3=3，k∴直線l傾斜角的取值范圍為π3故選：D.【變式4-3】（2024·吉林通化·模擬預(yù)測(cè)）若直線kx?y+2k?1=0恒過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)A也在直線mx+ny+2=0上，其中m,n均為正數(shù)，則mn的最大值為（

）A．14 B．12 C．1【解題思路】根據(jù)直線的定點(diǎn)可得A?2,?1，進(jìn)而可得2m+n=2【解答過(guò)程】因?yàn)閗x?y+2k?1=0，則kx+2令x+2=0y+1=0，解得x=?2即直線kx?y+2k?1=0恒過(guò)點(diǎn)A?2,?1又因?yàn)辄c(diǎn)A也在直線mx+ny+2=0上，則?2m?n+2=0，可得2m+n=2，且m,n>0，則2m+n=2≥22mn，即0<mn≤12所以mn的最大值為12故選：B.【題型5\t"/gzsx/zj165982/_blank"\o"三線能?chē)扇切蔚膯?wèn)題"三線能?chē)扇切蔚膯?wèn)題】【例5】（23-24高二上·湖南·期末）若三條不同的直線l1:ax+y+2=0，l2:x+y?1=0，l3A．{?1,1} B．{4,1} C．?12,1【解題思路】分線線平行和三線共點(diǎn)討論即可.【解答過(guò)程】若l1//l2，則?a=?1，解得a=1．若l1若l1，l2，l3交于一點(diǎn)，聯(lián)立方程組x+y?1=0代入ax+y+2=0，得?a+2+2=0，解得a=4，故a的取值集合為{4,?1,1}．故選：D.【變式5-1】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若三條直線l1:4x+y=3,l2:mx+y=0,A．2個(gè) B．3個(gè)C．4個(gè) D．6個(gè)【解題思路】分析可知至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點(diǎn)，則三條直線不能構(gòu)成三角形.【解答過(guò)程】∵三條直線不能構(gòu)成三角形∴至少有兩條直線平行或三條直線相交于同一點(diǎn).若l1∥l2，則m=4；若l1∥l3，則若l2∥l3，則?m若三條直線相交于同一點(diǎn)，直線l1和l2聯(lián)立：4x+y=3mx+y=0∴x=34?my=3mm?4直線l1和l3聯(lián)立：4x+y=3x?my=2∴x=3m+21+4my=?51+4m∵三條直線相交于同一點(diǎn)∴P、Q兩點(diǎn)重合∴34?m=3m+21+4m故實(shí)數(shù)m的取值最多有4個(gè).故選:C.【變式5-2】（23-24高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知三條直線ax+2y?1=0、3x+y+1=0、2x?y+1=0不能?chē)梢粋€(gè)三角形，則實(shí)數(shù)a的值為6或-4或?32【解題思路】分直線ax+2y?1=0與3x+y+1=0平行，ax+2y?1=0與2x?y+1=0平行，ax+2y?1=0過(guò)3x+y+1=0與2x?y+1=0的交點(diǎn)三種情況分別求解可得.【解答過(guò)程】由題知，當(dāng)直線ax+2y?1=0與3x+y+1=0平行，即a=2×6a≠?1×3，a=6當(dāng)ax+2y?1=0與2x?y+1=0平行，即?a=2×2a≠?1×2，a=?4由3x+y+1=02x?y+1=0解得x=?25y=15，當(dāng)直線ax+2y?1=0過(guò)點(diǎn)綜上，當(dāng)a=6或a=?4或a=?3故答案為：6或-4或?3【變式5-3】（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直線l1:3x?y+1=0,l2:x+y?5=0,l3:x?ay?3=0，若直線【解題思路】聯(lián)立方程組解得l1【解答過(guò)程】由3x?y+1=0x+y?5=0解得x=1y=4，所以l1l3:x?3若直線l1,l2,l3不能?chē)扇切?，只需l3經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,4，或當(dāng)l3經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,4時(shí)，1?4a?3=0，解得a=?當(dāng)l1與l3平行時(shí)，?3a=?1，解得當(dāng)l2與l3平行時(shí)，?a=1，解得故a的值為?1故答案為：?1【題型6兩直線的夾角問(wèn)題】【例6】（23-24高二下·上海嘉定·期末）直線l1:x?1=0與直線l2A．π2 B．π3 C．π4【解題思路】借助傾斜角與斜率的關(guān)系可得兩直線的傾斜角，即可得其夾角.【解答過(guò)程】設(shè)兩直線的傾斜角分別為α,β，由l1:x?1=0，則由l2:x?3y+2=0，則則兩直線夾角為α?β=故選：B.【變式6-1】（23-24高二上·福建福州·期中）已知傾斜角為θ的直線l與直線x+3y?3=0的夾角為60°，則θ的值為（A．30°或150° B．60°或0° C．90°或30° D．60°或180°【解題思路】設(shè)直線的傾斜角為φ，根據(jù)tanφ=?33【解答過(guò)程】x+3y?3=0，即設(shè)直線的傾斜角為φ，φ∈0,π，則tanφ=?夾角為60°，故θ=90°或θ=30°.故選：C.【變式6-2】（2024·上海長(zhǎng)寧·二模）直線2x?y?3=0與直線x?3y?5=0的夾角大小為π4【解題思路】先由斜率的定義求出兩直線的傾斜角，然后再利用兩角差的正切展開(kāi)式計(jì)算出夾角的正切值，最后求出結(jié)果.【解答過(guò)程】設(shè)直線2x?y?3=0與直線x?3y?5=0的傾斜角分別為α,β，則tanα=2,tanβ=所以α>β，因?yàn)閠anα?β所以α?β=π4，即兩條直線的夾角為故答案為：π4【變式6-3】（23-24高二上·上海奉賢·期中）直線y=ax?2與直線y=3x的夾角θ∈0,π6，則a【解題思路】利用兩條直線的夾角公式求解即可.【解答過(guò)程】由題知直線y=ax?2的斜率為k1=a，直線y=3因?yàn)橹本€y=ax?2與直線y=3x的夾角所以tanθ=k1解得a>3故答案為：33【題型7軌跡問(wèn)題——直線】【例7】（23-24高二下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）方程x2?4xA．兩條直線 B．四條直線 C．兩個(gè)點(diǎn) D．四個(gè)點(diǎn)【解題思路】求出x=±2即可得到圖形.【解答過(guò)程】因?yàn)閤2+4≥4，則x2?4x其表示的兩條圖形為兩條直線.故選：A.【變式7-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知Mx,y滿足方程|x?2y+3|=5(x+1)2+5A．直線 B．橢圓C．雙曲線 D．拋物線【解題思路】將方程轉(zhuǎn)化為|x?2y+3|5【解答過(guò)程】Mx,y滿足方程|x?2y+3|=即Mx,y滿足方程|x?2y+3|幾何意義為：點(diǎn)M到直線x-2y+3=0和到點(diǎn)（-1，1）的距離相等，又因?yàn)辄c(diǎn)（-1，1）在直線x-2y+3=0上，所以點(diǎn)M的軌跡為一條直線，故選：A.【變式7-2】（23-24高三·全國(guó)·課后作業(yè)）若過(guò)點(diǎn)P(1,1)且互相垂直的兩條直線l1,l2分別與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，則AB中點(diǎn)M的軌跡方程為【解題思路】設(shè)M(x,y)，則A(2x,0),B(0,2y)，連接PM，OM，根據(jù)|PM|=|OM|計(jì)算得到答案.【解答過(guò)程】設(shè)M(x,y)，則A(2x,0),B(0,2y)，連接PM，OMl1⊥l2，|PM|=|OM|，即故答案為：x+y?1=0.【變式7-3】（23-24高二上·上海徐匯·期中）若動(dòng)點(diǎn)A、B分別在直線l1:x?2y?6=0和l2:x?2y+4=0上移動(dòng)，則AB中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最小值為【解題思路】先求出AB中點(diǎn)的軌跡，判斷為直線，則其到原點(diǎn)的距離的最小值即為原點(diǎn)到該直線的距離.【解答過(guò)程】設(shè)A(x1,y1)由題可知y1=所以y=y又x=x所以y=即AB中點(diǎn)P的軌跡為直線x?2y?1=0.則P到原點(diǎn)的距離的最小值即為原點(diǎn)到直線x?2y?1=0的距離，d=?1故答案為：55【題型8直線方程的綜合應(yīng)用】【例8】（24-25高二上·上?！ふn后作業(yè)）設(shè)直線l的方程為(a+1)x+y+2?a=0(a∈R(1)若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l的方程；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使直線l不經(jīng)過(guò)第二象限？若存在，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解題思路】（1）確定a≠?1，再分別求出直線l在x,y軸上的截距，列出方程求解即得.（2）化直線方程為點(diǎn)斜式，由直線不過(guò)第二象限，列出不等式組并求解即得.【解答過(guò)程】（1）當(dāng)a=?1時(shí)，直線l平行于x軸，在x軸上無(wú)截距，不合題意，則a≠?1，直線l在x,y軸上的截距分別為a?2a+1依題意，a?2a+1=a?2，解得a=2或當(dāng)a=2時(shí)，直線l的方程為3x+y=0，當(dāng)a=0時(shí)，直線l的方程為x+y+2=0，所以直線l的方程為3x+y=0或x+y+2=0．（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使直線l不經(jīng)過(guò)第二象限，而直線l的方程化為y=?(a+1)x+a?2，則有?(a+1)≥0a?2≤0，解得a≤?1所以存在實(shí)數(shù)a使直線l不經(jīng)過(guò)第二象限，a的取值范圍為(?∞【變式8-1】（23-24高一下·北京順義·階段練習(xí)）已知三角形的頂點(diǎn)為A2,3，B0,?1，(1)求直線AC的方程；(2)若直線l過(guò)點(diǎn)B且與直線AC交于點(diǎn)E，BE=3，求直線l【解題思路】（1）由A2,3，B0,?1，即可求出直線（2）設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)t,12t+2，由兩點(diǎn)間的距離公式列出方程，解出t的值，根據(jù)B【解答過(guò)程】（1）因?yàn)橹本€AC的斜率為kAC所以直線AC的方程為：y?3=1即直線AC的方程為：x?2y+4=0.（2）因?yàn)辄c(diǎn)E在直線AC上，直線AC的方程為：x?2y+4=0，所以設(shè)E的坐標(biāo)為t,12t+2，∵∴t解得：t=0或t=?12∴E的坐標(biāo)為0,2或?12因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)B,E，當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，則x=0，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，kBE所以y+1=?34x∴直線l的方程為x=0或3x+4y+4=0.【變式8-2】（23-24高二下·上?！て谥校?shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形幾何學(xué)》一書(shū)中提出：任意三角形的外心?垂心?重心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)A2,0,B0,4(1)求三角形ABC外心D的坐標(biāo)；(2)求頂點(diǎn)C的坐標(biāo).【解題思路】（1）根據(jù)題意可得AB邊的垂直平分線的所在的直線方程為x?2y+3=0，結(jié)合題意聯(lián)立方程求解即可；（2）設(shè)Cm,n，根據(jù)題意結(jié)合重心坐標(biāo)公式可得m?n+4=0，由外心可得m【解答過(guò)程】（1）由題意可知：AB邊的中點(diǎn)坐標(biāo)為1,2，kABAB邊的垂直平分線的所在的直線方程為y?2=12x?1聯(lián)立方程x?2y+3=0x?y+2=0，解得所以△ABC的外心D的坐標(biāo)為?1,1.（2）設(shè)Cm,n，則△ABC的重心為2+m代入歐拉線方程得2+m3?4+n由（1）可知：△ABC的外心坐標(biāo)為D?1,1可知DC=DA，則整理得m2聯(lián)立方程m?n+4=0m2+n2當(dāng)m=0,n=4時(shí)，點(diǎn)B，C重合，舍去，所以頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是?4,0.【變式8-3】（23-24高二上·云南臨滄·階段練習(xí)）已知直線l:kx?y+2+k=0k∈R(1)若直線不經(jīng)過(guò)第三象限，求k的取值范圍；(2)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B,△AOB的面積為S（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求S的最小值和此時(shí)直線l的方程.【解題思路】（1）轉(zhuǎn)化為斜截式，根據(jù)直線不經(jīng)過(guò)第三象限得到不等式，求出答案；（2）表達(dá)出S=1【解答過(guò)程】（1）直線l:kx?y+2+k=0k∈R可化為y=kx+2+k要使直線不經(jīng)過(guò)第三象限，則k≤02+k≥0，解得?2≤k≤0∴k的取值范圍為?2,0.（2）由題意可得k>0,kx?y+2+k=0中，取y=0，得x=?k+2取x=0，得y=2+k，S=1當(dāng)且僅當(dāng)k=4k時(shí)，即此時(shí)S的最小值為4，直線l的方程為y=2x+4.一、單選題1．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）直線x?tanπ5A．π5 B．3π10 C．7【解題思路】先將直線變形成斜截式，再根據(jù)傾斜角的取值范圍結(jié)合直線斜率公式求得即可.【解答過(guò)程】由題意可將原直線方程變形為y=?tan由傾斜角的取值范圍0,π，所以傾斜角為4故選：D.2．（23-24高二上·廣東東莞·期末）若直線l的一個(gè)方向向量是1,?3，則直線l的傾斜角是（

A．30° B．60° C．120° D．150°【解題思路】根據(jù)方向向量得到斜率，進(jìn)而求出傾斜角.【解答過(guò)程】直線l的一個(gè)方向向量是1,?3，故斜率為設(shè)直線l的傾斜角是0°≤θ<180°，則tanθ=?故θ=120°.故選：C.3．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）直線l1，l2的傾斜角分別為α，β，則“α=β”是“tanα=A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)傾斜角的范圍，正切的性質(zhì)判斷“α=β”與“tanα=【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€l1，l2的傾斜角分別為α，所以α∈0,若tanα=tanβ若α=β=π2，則所以“α=β”是“tanα=故選：B.4．（2024·山東·二模）已知直線l與直線x?y=0平行，且在y軸上的截距是?2，則直線l的方程是（

）．A．x?y+2=0 B．x?2y+4=0C．x?y?2=0 D．x+2y?4=0【解題思路】依題意設(shè)直線l的方程為x?y+m=0，代入0,?2求出參數(shù)的值，即可得解.【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€l平行于直線x?y=0，所以直線l可設(shè)為x?y+m=0，因?yàn)樵趛軸上的截距是?2，則過(guò)點(diǎn)0,?2，代入直線方程得0??2解得m=?2，所以直線l的方程是x?y?2=0.故選：C.5．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知直線ax+by?2=0a>0,b>0經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,4，則4a+A．4 B．8 C．9 D．25【解題思路】依題意可得a+4b=2，再利用乘“1”法及基本不等式計(jì)算可得.【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€ax+by?2=0a>0,b>0經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,4所以a+4b=2，所以4≥1當(dāng)且僅當(dāng)16ba=ab，即故選：B.6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l1:y=2x和l2:y=kx+1與x軸圍成的三角形是等腰三角形，則A．?2 B．?43 C．5?1【解題思路】分為圍成的等腰三角形底邊在x軸上、底邊在直線l2上和底邊在直線l【解答過(guò)程】令直線l1,l2的傾斜角分別為當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在x軸上時(shí)，θ=π?α，當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在直線l2上時(shí)，θ=α2因?yàn)閠anα=2tanα2所以k=tanθ=tan當(dāng)圍成的等腰三角形底邊在直線l1上時(shí)，θ=2α，則k=故選：D．7．（23-24高二上·福建廈門(mén)·期中）已知兩點(diǎn)A?3,2，B2,1，過(guò)點(diǎn)P0,?1的直線l與線段AB（含端點(diǎn)）有交點(diǎn)，則直線lA．?∞,?1∪[1,+∞) B．[?1,1] 【解題思路】畫(huà)出圖像，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)傾斜角變化得到斜率的取值范圍.【解答過(guò)程】如圖所示，

直線PB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到PA的位置才能保證過(guò)點(diǎn)P0,?1的直線與線段AB從PB轉(zhuǎn)到PF過(guò)程中，傾斜角變大到π2此時(shí)斜率kPB=1?從PF旋轉(zhuǎn)到PA過(guò)程中，傾斜角從π2此時(shí)斜率kPA=2?綜上可得直線l的斜率的取值范圍為?∞故選：A.8．（2024·江西上饒·一模）作圓x2+yA．x+2?3y?2=0C．x?y+1?3=0 【解題思路】由題意畫(huà)出圖形，把正十二邊形的各點(diǎn)表示出來(lái)，結(jié)合選項(xiàng)一一判斷即可.【解答過(guò)程】如圖：可知A?2,0H3直線FG的方程y?0=0?12?3直線LK的方程y+1=?1+3?直線DE的方程為y=2?30?1經(jīng)檢驗(yàn)直線x?y+1?3故選：C.二、多選題9．（23-24高二下·黑龍江大慶·開(kāi)學(xué)考試）在平面直角坐標(biāo)系中，下列說(shuō)法不正確的是（）A．任意一條直線都有傾斜角和斜率B．直線的傾斜角越大，則該直線的斜率越大C．若一條直線的傾斜角為α，則該直線的斜率為tanD．與坐標(biāo)軸垂直的直線的傾斜角是0°或90°【解題思路】由題意利用直線的傾斜角和斜率的定義，逐一判斷即可.【解答過(guò)程】對(duì)于A，當(dāng)直線的傾斜角為90°時(shí)，直線沒(méi)有斜率，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)直線的傾斜角為45°時(shí)，斜率為1，當(dāng)直線的傾斜角為135°時(shí)，斜率為?1，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若一條直線的傾斜角為α=90°，則該直線的斜率不存在，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，直線的傾斜角是90°，當(dāng)直線與y軸垂直時(shí)，直線的傾斜角是0°，即與坐標(biāo)軸垂直的直線的傾斜角是0°或90°，故D正確.故選：ABC.10．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）若直線l過(guò)點(diǎn)1,2，且橫、縱截距的絕對(duì)值相等，則直線l的方程可以為（

）A．2x?y=0 B．x+y?3=0C．2x+y?4=0 D．x?y+1=0【解題思路】分直線過(guò)原點(diǎn)和直線不過(guò)原點(diǎn)，將點(diǎn)1,2代入求解.【解答過(guò)程】解：當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，橫縱截距為0，符合題意，此時(shí)直線方程為2x?y=0；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)橫縱截距分別為a,b(a=b或a=?b，a,b均不為0)，則直線方程為xa+yb=1則直線方程為x+y?3=0或x?y+1=0.故選：ABD.11．（23-24高一上·陜西延安·階段練習(xí)）對(duì)于直線l：x=my+1，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．直線l恒過(guò)定點(diǎn)(1,0) B．直線l斜率必定存在C．m=3時(shí)直線l的傾斜角為60° D．m=2時(shí)直線l在y【解題思路】求出直線過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷A，當(dāng)m=0時(shí)斜率不存在，即可判斷B，求出直線的斜率，從而得到傾斜角，即可判斷C，求出直線與y軸的交點(diǎn)，即可判斷D.【解答過(guò)程】直線l:x=my+1，令y=0，則x=1，所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)1,0，故A正確；當(dāng)m=0時(shí)，直線l斜率不存在，故B不正確；當(dāng)m=3時(shí)直線l:x=3y+1，即y=33所以直線l的傾斜角為30°，故C不正確；當(dāng)m=2時(shí)直線l:x=2y+1，令x=0，解得y=?12，即直線l在y軸上的截距為故選：BC．三、填空題12．（2024·上海嘉定·一模）直線x=1與直線3x?y+1=0的夾角大小為π6【解題思路】先求出直線的斜率，可得它們的傾斜角，從而求出兩條直線的夾角．【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€x=1的斜率不存在，傾斜角為π2直線3x?y+1=0的斜率為3，傾斜角為π故直線x=1與直線3x?y+1=0的夾角為π故答案為：π613．（2024·上海青浦·二模）已知直線l1的傾斜角比直線l2:y=xtan80°的傾斜角小20°，則l【解題思路】根據(jù)直線l2方程求出直線l2斜率為tan80°，由此確定直線l2傾斜角80【解答過(guò)程】由直線l2方程：y=xtan80°得所以l1的傾斜角為60°，即l1故答案為：3.14．（2024·陜西西安·一模）過(guò)點(diǎn)P(1,3)，在x軸上的截距和在y軸上的截距相等的直線方程為y=3x或x+y?4=0．【解題思路】按直線是否過(guò)原點(diǎn)，結(jié)合直線的截距式方程求解即得.【解答過(guò)程】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線y=3x在x軸上的截距和在y軸上的截距相等，則直線方程為y=3x；當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為xa+ya=1，則1所以所求直線方程為y=3x或x+y?4=0.故答案為：y=3x或x+y?4=0.四、解答題15．（23-24高二上·四川·階段練習(xí)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)Mm+3,3m+5(1)當(dāng)直線MN的傾斜角為銳角和鈍角時(shí)，分別求出m的取值范圍；(2)若直線MN的方向向量為a=1,?2023，求【解題思路】（1）由斜率為正或?yàn)樨?fù)求解；（2）由坐標(biāo)得方向向量，然后利用向量共線得結(jié)論．【解答過(guò)程】（1）直線MN的傾斜角為銳角時(shí)，k=3m+5?1m+3?(2m?1)>0直線MN的傾斜角為鈍角時(shí)，k=3m+5?1m+3?(2m?1)<0，解得m<?所以直線MN的傾斜角為銳角時(shí)，?43<m<4，為鈍角時(shí)，m<?（2）由已知MN=(m?4,?3m?4)，又直線MN的方向向量為a所以?2