數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)論文范文

附件1：XXXX大學(xué)XXXXX畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）論文題目：定義域在解題中的應(yīng)用年級(jí)：20XX級(jí)專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)姓名：XXXXXX學(xué)號(hào)：XXXXXXXXXX指導(dǎo)教師：XXXXXXX完成日期：20XX年X月X日摘要函數(shù)作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要一部分，也是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。而函數(shù)定義域是構(gòu)成函數(shù)的三大要素之一，是在學(xué)習(xí)函數(shù)的第一步就會(huì)接觸到的。求定義域看起來(lái)十分容易，并很快就能熟悉地做對(duì)題。但學(xué)到后面，我們才發(fā)現(xiàn)并沒(méi)有深度掌握，尤其是對(duì)于復(fù)合函數(shù)的定義域，因?yàn)檫@需要我們基礎(chǔ)知識(shí)扎實(shí)，抽象思維能力，綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)能力較高。前輩們?cè)f(shuō)過(guò)“萬(wàn)丈高樓平地起”，因此，本文首先從基本概念開始，逐步向復(fù)合函數(shù)的定義域探析，并介紹了函數(shù)定義域的應(yīng)用范圍，求法，并研究求反函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，函數(shù)最值，奇偶性，單調(diào)性，圖像，三角函數(shù)，解不等式和方程中的應(yīng)用。在每個(gè)工程中用經(jīng)典例題加深理解，方能更好地運(yùn)用。關(guān)鍵詞：定義域；值域；單調(diào)函數(shù)；復(fù)合函數(shù)ABSTRACTAsanimportantpartofmiddleschoolmathematics,functionisalsothefoundationofhighschoolmathematics.Thedomainoffunctiondefinitionisoneofthethreeelementsthatconstituteafunction,whichwillbetouchedinthefirststepoflearningafunction.Findingthedomainlooksprettyeasy,andyou'llgetfamiliarwithitprettyquickly.However,afterlearningit,wefoundthatwedidnothaveadeepgraspofit,especiallyforthedefinitiondomainofcomplexfunctions,becausethisrequiresustohavesolidbasicknowledge,abstractthinkingabilityandhighcomprehensiveappliedmathematicsability.Predecessorshadsaidthat"greatoaksgrowfromlittleacorns",thispaperstartingfromthebasicconcept,graduallytothecompositefunctionofdomainanalysis,andintroducestheapplicationscopeoffunctiondomain,calculationmethods,andtheinversefunction,complexfunction,thefunctionmostvalue,parity,monotonicity,images,trigonometricfunction,theapplicationoftheinequalitiesandequations.Ineachproject,useclassicexamplestodeepenunderstandingsoastomakebetteruseofthem.Keywords:domain;Domain;Monotonefunction;Compositefunction目錄1.基本概念 52.求函數(shù)的定義域 53.求根據(jù)已知函數(shù)的定義域，求復(fù)合函數(shù)的定義域 64.根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義域，求原函數(shù)的定義域 75.函數(shù)定義域的運(yùn)用 75.1相同函數(shù)的判斷 75.2將函數(shù)解析表達(dá)式進(jìn)行變形或化簡(jiǎn) 86.定義域在函數(shù)中的應(yīng)用 86.1研究函數(shù)值域時(shí)定義域的應(yīng)用 96.2求反函數(shù)時(shí)定義域的應(yīng)用 96.3求復(fù)合函數(shù)時(shí)定義域的應(yīng)用 96.4研究函數(shù)最值時(shí)定義域的應(yīng)用 106.5判斷函數(shù)奇偶性時(shí)定義域的應(yīng)用 106.6討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)定義域的應(yīng)用 117.定義域在其他方面的應(yīng)用 117.1定義域在函數(shù)圖像中的應(yīng)用 117.2定義域在解三角函數(shù)中的應(yīng)用 117.3定義域在解不等式中的應(yīng)用 127.4定義域在解方程中的應(yīng)用 13引言定義域是一個(gè)基本而重要的數(shù)學(xué)概念，是函數(shù)自變量所能取值的集合，也是函數(shù)不可缺少的一個(gè)重要因素。在十七世紀(jì)伽利略就提出了函數(shù)的概念，用文字和比例的語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的關(guān)系。十八世紀(jì)，由萊布尼茨引入了函數(shù)的符號(hào)開始，一些專家學(xué)者就開始對(duì)函數(shù)的研究。函數(shù)定義域是非常簡(jiǎn)單，而在解題中若不加以注意，會(huì)使人誤人歧途。雖然上世紀(jì)起函數(shù)在中學(xué)的教材中就有很重要的地位，但是有關(guān)于函數(shù)定義域的求法依然存在各種各樣的錯(cuò)誤。若函數(shù)的定義域求錯(cuò)了，則函數(shù)最值，奇偶性，單調(diào)性，值域等一系列與定義域關(guān)聯(lián)的問(wèn)題一般也會(huì)發(fā)生改變，就避免不了一些不該發(fā)生的錯(cuò)誤。因此，我們?cè)诮鉀Q各種問(wèn)題時(shí)，要加強(qiáng)對(duì)定義域的理解和重視，先考慮函數(shù)的定義域，才能對(duì)函數(shù)問(wèn)題有更深層次的研究。于是我認(rèn)為關(guān)于定義域在解題中的應(yīng)用方面進(jìn)一步研究是有必要的。1.基本概念一，對(duì)于函數(shù)來(lái)說(shuō)，使函數(shù)有實(shí)際意義的自變量的集合，叫做函數(shù)的定義域。一般地常見定義域的求法是：若是整式表達(dá)式，則的定義域是全體實(shí)數(shù)。若是分式表達(dá)式，則的定義域是使分母不為零的所有實(shí)數(shù)。若是偶次根式表達(dá)式，則的定義域是使根號(hào)內(nèi)式子的值不小于零的一切實(shí)數(shù)奇次根式表達(dá)式的定義域是全體實(shí)數(shù)。若是指數(shù)函數(shù)且底數(shù)和指數(shù)都含有，則必須滿足指數(shù)和底數(shù)大于零且不等于。若是某一表達(dá)式的零次冪，則底數(shù)必須是非零數(shù)。若是對(duì)數(shù)函數(shù)表達(dá)式，自變量只出現(xiàn)在真數(shù)上時(shí)，要滿足真數(shù)上所有式子大于零且式子本身有意義即可；若自變量同時(shí)出現(xiàn)在底數(shù)與真數(shù)上時(shí)，要同時(shí)滿足真數(shù)大于零，底數(shù)要大于零且不等于。若是包含根號(hào)的分式且根號(hào)在分母上時(shí)，開偶次方的定義域是正數(shù)集開奇次方的定義域是非零實(shí)數(shù)集。若是三角函數(shù)式表達(dá)式，對(duì)于和，其定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)；對(duì)于，其定義域是不等于的一切實(shí)數(shù)；對(duì)于，其定義域?yàn)椴坏扔诘囊磺袑?shí)數(shù)；對(duì)于和，則其定義域是；對(duì)于，則其定義域是全體實(shí)數(shù)。涉及到實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)關(guān)系，其定義域必須結(jié)合實(shí)際來(lái)確定。若是由幾個(gè)部分組成的數(shù)學(xué)式子，則的定義域是使各部分有意義的自變量所代表的取值范圍的集合交集。若是分段函數(shù)，則的定義域是各段的并集。注：求定義域時(shí)，不要對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行變形，以免發(fā)生錯(cuò)誤。二，定義域的表示法：用不等式表示不等式法。用區(qū)間表示區(qū)間法。用集合表示集合法。用語(yǔ)言敘述來(lái)表示敘述法。2.求函數(shù)的定義域第一步：找出每個(gè)式子有意義的條件。第二步：根據(jù)每個(gè)式子的有意義條件列出不等式或不等式組。第三步：解不等式或不等式組，得的定義域。例：求函數(shù)的定義域。解：是分式與根式相結(jié)合的函數(shù)表達(dá)式，只有根號(hào)下的且才有意義。因此，的定義域?yàn)?。例：用長(zhǎng)為的鐵絲編成上下部為半圓，中間部分為矩形的框架，若，則求此框架圍成的面積關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出它的定義域。解：因?yàn)樗?，因此由題意且即，所以函數(shù)解析式是，定義域是。3.求根據(jù)已知函數(shù)的定義域，求復(fù)合函數(shù)的定義域若已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則求復(fù)合函數(shù)的定義域時(shí)，只需要解不等式，該不等式的解集為所求復(fù)合函數(shù)的定義域。例：求下列函數(shù)的定義域：已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域；已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域。解：令得即所以函數(shù)的定義域?yàn)?。由題得得所以函數(shù)的定義域?yàn)椤Ｗⅲ呵蠛瘮?shù)的定義域時(shí)，先分別求出與的定義域與,再求即可得所求函數(shù)的定義域。4.根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義域，求原函數(shù)的定義域若復(fù)合函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t求原函數(shù)的定義域時(shí)，根據(jù)求出函數(shù)的值域，即可得到原函數(shù)的定義域。例：若函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域。解：因?yàn)榈亩x域?yàn)榧丛谥校?，令，，則即在中，，所以的定義域?yàn)椤?.函數(shù)定義域的運(yùn)用5.1相同函數(shù)的判斷定義域，值域以及對(duì)應(yīng)法則都對(duì)應(yīng)相同的函數(shù)叫相同函數(shù)。若兩個(gè)函數(shù)的定義域，對(duì)應(yīng)法則相同，則值域是必然相同的。因此，判斷函數(shù)是否相同函數(shù)時(shí)，必須先判斷定義域，對(duì)應(yīng)法則完全一致，只完全一致，才叫相同函數(shù)。例：判斷下列函數(shù)是否相同函數(shù)：與；與；解：因?yàn)榈亩x域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，而的定義域?yàn)?，其兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以與不是相同函數(shù)。因?yàn)榈亩x域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，而的定義域也是全體實(shí)數(shù)，因此這兩個(gè)函數(shù)是相同函數(shù)。5.2將函數(shù)解析表達(dá)式進(jìn)行變形或化簡(jiǎn)例函數(shù)：是否能變形為。解：不能。因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)橛谑钱?dāng)時(shí)，可變形為。但是，在時(shí)，無(wú)意義，也就談不上恒等變形。例：已知，求。解：因?yàn)?，是以為自變量的函?shù)，為了求出對(duì)應(yīng)法則，應(yīng)把化成關(guān)于的代數(shù)式。6.定義域在函數(shù)中的應(yīng)用定義域是函數(shù)的主要元素之一，是研究函數(shù)的基礎(chǔ)，應(yīng)用范圍很廣泛。定義域有用，可是需會(huì)用。那怎樣應(yīng)用函數(shù)的定義域呢？6.1研究函數(shù)值域時(shí)定義域的應(yīng)用例：求下列函數(shù)的值域。解：因?yàn)槠涠x域?yàn)椋杂啥闹涤驗(yàn)?。因?yàn)?，所以即，所以，的值域?yàn)椤?.2求反函數(shù)時(shí)定義域的應(yīng)用為了兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，不僅僅是解析式而言，而且是原函數(shù)的定義域與值域分別是反函數(shù)的值域與定義域。求反函數(shù)時(shí)，原函數(shù)的定義域?qū)Ψ春瘮?shù)的解析式會(huì)有直接影響。例：求，的反函數(shù)。解：由得，又因?yàn)樗?，?.3求復(fù)合函數(shù)時(shí)定義域的應(yīng)用例：設(shè)，，求復(fù)合函數(shù)，并指出定義域。解：，定義域?yàn)榍?，又中，而?dāng)時(shí)，，所以中應(yīng)用。6.4研究函數(shù)最值時(shí)定義域的應(yīng)用在研究函數(shù)最值問(wèn)題時(shí)，先建立函數(shù)的解析式，畫函數(shù)圖像，求函數(shù)的最值，以及討論函數(shù)的其他性質(zhì)時(shí)，都要注意函數(shù)的定義域。例：已知，求的最值。解：因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，因而函數(shù)當(dāng)在定義域之外，所以在有限區(qū)間上。當(dāng)時(shí)，有最大值；當(dāng)時(shí)，有最小值。6.5判斷函數(shù)奇偶性時(shí)定義域的應(yīng)用函數(shù)的奇偶性是在整個(gè)定義域上討論的，無(wú)論奇函數(shù)還是偶函數(shù)，和都同時(shí)在內(nèi)，因此一定是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的。如果一個(gè)函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，則可判斷該函數(shù)是非奇非偶函數(shù)。例：判斷函數(shù)，的奇偶性。解：。雖然，但定義域不是原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間，所以不是偶函數(shù)，而是非奇非偶函數(shù)。6.6討論函數(shù)單調(diào)性時(shí)定義域的應(yīng)用討論函數(shù)的單調(diào)性，除了考慮增減區(qū)間外，還要考慮該函數(shù)的定義域?？傊?，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子區(qū)間。例：的單調(diào)遞減區(qū)間。解：由解得或的定義域是。的減區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。所以的減區(qū)間是，因此的單調(diào)遞減區(qū)間是。7.定義域在其他方面的應(yīng)用7.1定義域在函數(shù)圖像中的應(yīng)用函數(shù)圖像是函數(shù)的表現(xiàn)形式之一，因此函數(shù)圖像也只在定義域中存在，定義域外不存在，也不能畫圖像，這是因?yàn)楹瘮?shù)與自變量的制約。所以在做圖像之前應(yīng)先把定義域求出來(lái)。例：畫出函數(shù)的圖像。解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?7.2定義域在解三角函數(shù)中的應(yīng)用例：求下列函數(shù)的定義域：解：要使函數(shù)有意義，必須使，所有函數(shù)的定義域?yàn)槌阋酝獾娜w實(shí)數(shù)。注意：這里不能把約成，的定義域是全體實(shí)數(shù)，與是兩個(gè)不同的函數(shù)。因?yàn)槭菍?duì)數(shù)式，所以因此，函數(shù)的定義域是。7.3定義域在解不等式中的應(yīng)用例：已知且，解不等式。解：由原不等式：當(dāng)時(shí)，該函數(shù)是減函數(shù)，不等式的解應(yīng)滿足或。當(dāng)時(shí)，不等式的解應(yīng)滿足。綜上可知：當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為。當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為。7.4定義域在解方程中的應(yīng)用例：解方程。解：兩邊同乘以得：即解得或。當(dāng)時(shí)，，所以是增根。當(dāng)時(shí)，，所以是原方程的解。這道題中把乘上了原方程而得到了增根且這個(gè)增根就是乘式的零點(diǎn)?？傊诮忸}的過(guò)程中，若某一式子乘上原方程會(huì)出現(xiàn)增根且這增根是它的零點(diǎn)；若把原方程除以某一式子則會(huì)出現(xiàn)漏根現(xiàn)象且這個(gè)漏根也是除式的零點(diǎn)。因此這種跟補(bǔ)上就行了?？偨Y(jié)定義域是數(shù)學(xué)中非常重要的概念之一，且貫穿在中學(xué)數(shù)學(xué)的始終。定義域的定義，求法，表示法，應(yīng)用都很重要，應(yīng)重點(diǎn)研究。尤其是定義域在函數(shù)中的作用很重要，應(yīng)用很廣泛，且任何函數(shù)都可以被限制到定義域的子集上。本文主要通過(guò)具體的例子和定義介紹了它在相同函數(shù)的判斷，解析表達(dá)式進(jìn)行變形或化簡(jiǎn)中的運(yùn)用，同時(shí)定義域在求值域，反函數(shù)，最值，奇偶性，單調(diào)性，做圖像，三角函數(shù)，解不等式和解方程中的應(yīng)用等。函數(shù)的定義域是函數(shù)的主要性質(zhì)之一，在實(shí)際問(wèn)題中，還必須考慮所代表的具體的量允許值的范圍。定義域主要是在函數(shù)中比較重要，比較廣泛應(yīng)用，任何函數(shù)都可以被限制到其定義域的子集上，在這里主要講的是定義域在函數(shù)中的應(yīng)用.不管是簡(jiǎn)單函數(shù)，還是復(fù)合函數(shù)，定義域是指其中的的取值集合.但實(shí)際上定義域的應(yīng)用不止是這些，還有好多方面的應(yīng)用，由于我知識(shí)水平有限，而在本文中只講了上面這些方面的應(yīng)用。本文主要用例舉法來(lái)介紹了定義域在函數(shù)，式，方程，不等式中的應(yīng)用.參考文獻(xiàn)劉玉翹,王元陽(yáng).代數(shù)函數(shù)與解題[M].天津科學(xué)技術(shù)出版社，1987年11月錢永耀.高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)[M].遼寧人民出版社，1982年6月阿布拉江·阿布都瓦克.初等代數(shù)上下[M].喀什師范學(xué)院，2008年10月名知白，侯文超.高中數(shù)學(xué)教學(xué)八十講[M].北京師范大學(xué)出版社，1982年12月程曉亮，劉影.初等數(shù)學(xué)研究[M].北京大學(xué)出版社，2011年1月[蘇聯(lián)]齊普金.中學(xué)數(shù)學(xué)手冊(cè)[M].知識(shí)出版社，1983年5月李長(zhǎng)明，周煥山.初等數(shù)學(xué)研究[M].高等教育出版社，199