專題7.1 基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題7.1基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征】 5【題型2空間幾何體的表面積】 6【題型3空間幾何體的體積】 7【題型4斜二測畫法及其應(yīng)用】 8【題型5最短路徑問題】 9【題型6空間幾何體的截面問題】 91、基本立體圖形、簡單幾何體的表面積與體積考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)認識柱、錐、臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，能運簡單物體的結(jié)構(gòu)(2)知道球、棱(圓)柱、棱(圓)錐、棱(圓)臺的表面積和體積的計算公式，并能解決簡單的實際問題(3)能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形的直觀圖2023年新高考I卷：第12題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第14題，12分2023年全國乙卷（理數(shù)）：第8題，5分2024年新高考I卷：第5題，5分2024年全國甲卷（文數(shù)）：第14題，5分、（理數(shù)）：第14題，5分立體幾何是高考的熱點內(nèi)容.空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與斜二測畫法是立體幾何的基礎(chǔ)，空間幾何體的表面積和體積是高考的重點與熱點，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；有時作為解答題的一個構(gòu)成部分考查幾何體的表面積與體積，難度中等；在復(fù)習(xí)時，要加強幾何體表面積和體積的解題訓(xùn)練.【知識點1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征】1．多面體的結(jié)構(gòu)特征棱柱棱錐棱臺定義有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺.圖形及表示棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'

(或六棱柱AD').棱錐S-ABCD(或四棱錐S-AC)棱臺ABCD-A'B'C'D'結(jié)構(gòu)特征(1)底面互相平行且全等；

(2)側(cè)面都是平行四邊形；

(3)側(cè)棱都相等，且互相平行.(1)底面是多邊形；

(2)側(cè)面都是三角形；

(3)側(cè)面有一個公共頂點.(1)上、下底面互相平行，且是相似圖形；

(2)各側(cè)棱的延長線交于一點；(3)各側(cè)面為梯形.分類棱柱的底面是幾邊形就叫幾棱柱，例如，三棱柱、四棱柱……棱錐的底面是幾邊形就叫幾棱錐，例如，三棱錐、四棱錐……由幾棱錐截得的就叫幾棱臺，例如，由三棱錐截得的棱臺叫三棱臺.2．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征圓柱圓錐圓臺球定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐.用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺.半圓以它的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球.圖形及表示圓柱OO'圓錐SO圓臺OO'球O結(jié)構(gòu)特征(1)圓柱兩個底面是圓面而不是圓.

(2)圓柱有無數(shù)條母線，圓柱的任意兩條母線互相平行(與軸平行)且相等.

(3)平行于底面的截面是與底面大小相同的圓面，過軸的截面(軸截面)是全等的矩形.(1)底面是圓面.

(2)有無數(shù)條母線，長度相等且交于頂點.

(3)平行于底面的截面是與底面大小不同的圓面，過軸的截面(軸截面)是全等的等腰三角形.(1)上、下底面是互相平行且不相等的圓面.

(2)有無數(shù)條母線，等長且延長線交于一點.

(3)平行于底面的截面是與兩底面大小都不等的圓面，過軸

的截面(軸截面)是全等的等腰梯形.(1)球的表面叫做球面，所以球面是旋轉(zhuǎn)形成的曲面.另外，球面也可看成空間中，到定點(球心)的距離等于定長(半徑)的所有點的集合.

(2)球的截面都是圓面.棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體，棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體，棱臺與圓臺統(tǒng)稱為臺體.3．空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的判斷技巧(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定.(2)通過反例對結(jié)構(gòu)特征進行辨析，即要說明個命題是錯誤的，只要舉出一個反例即可.【知識點2斜二測畫法和展開圖的常用結(jié)論】1．斜二測畫法的常用結(jié)論：(1)在斜二測畫法中，要確定關(guān)鍵點及關(guān)鍵線段.“平行于x軸的線段平行性不變，長度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長度減半.”(2)按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：.2．幾何體的表面展開圖的常用結(jié)論：幾何體的表面展開圖可以有不同的形狀，應(yīng)多實踐，觀察并大膽想象立體圖形與表面展開圖的關(guān)系，一定先觀察立體圖形的每一個面的形狀.【知識點3簡單幾何體的表面積與體積】1．多面體的側(cè)面積、表面積和體積多面體圖形側(cè)面積與表面積體積棱柱直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形，

S直棱柱側(cè)=Ch(C為底面周長，h為高)，

S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底為底面面積)V柱=S底h(S底為底面面積，h為高)棱錐正棱錐的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰三角形，S正棱錐側(cè)=Ch'(C為底面周長，h'為斜高)，S正棱錐表=S正棱錐側(cè)+S底(S底為底面面積)(S底為底面面積，h為高)棱臺正棱臺的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰梯形，S正棱臺側(cè)=(C+C')h'(C'、C分別為上、下底面的周長，h'為斜高)，S正棱臺表=S正棱臺側(cè)+S+S′(S′、S分別為上、下底面面積)(S'、S分別為上、下底面面積，h為棱臺的高)2．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積、表面積和體積旋轉(zhuǎn)體圖形側(cè)面積與表面積體積圓柱圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，S圓柱側(cè)=2πrl，表面積S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)體積V=S底h(S底為底面面積，h為高)圓錐圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，S圓錐側(cè)=πrl，表面積

S=πr2+πrl=πr(r+l)體積V=S底h(S底為底面面積，h為高)圓臺圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，S圓臺側(cè)=π(r1+r2)l，

表面積體積(S'、S分別為上、下底面面積，h為圓臺的高)球半徑為R的球的表面積S=4πR2半徑為R的球的體積【知識點4最短路徑問題】1．最短路徑問題的解題策略(1)解題思想：化曲為直，化折為直，立體展開成平面.(2)方法總結(jié)：解決空間幾何體表面最短路徑問題關(guān)鍵是把立體圖形平面化，即把立體圖形沿著某一條直線展開，轉(zhuǎn)化為平面問題之后，借助“兩點之間，線段最短”，構(gòu)造三角形，借助解三角形的方法求解.【知識點5空間幾何體表面積與體積的常見求法】1．常見的求幾何體體積的方法

(1)公式法：直接代入公式求解.

(2)等體積法：四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.

(3)補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，三棱柱補成四棱柱等.

(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.

2．求組合體的表面積與體積的方法

求組合體的表面積的問題，首先應(yīng)弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個面的面積應(yīng)該怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個面的面積，最后相加或相減.求體積時也要先弄清各組成部分，求出各簡單幾何體的體積，再相加或相減.【方法技巧與總結(jié)】1．與體積有關(guān)的幾個結(jié)論(1)一個組合體的體積等于它的各部分體積的和或差.(2)底面面積及高都相等的兩個同類幾何體的體積相等(祖暅原理).2．直觀圖與原平面圖形面積間的關(guān)系：，.【題型1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征】【例1】（23-24高一下·浙江·期中）下列四個命題中正確的是（

）A．每個面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐B．所有棱長都相等的四棱柱是正方體C．以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱D．以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐【變式1-1】（23-24高一下·廣東湛江·期末）下列說法正確的是（

）A．棱柱中兩個互相平行的平面一定是棱柱的底面B．棱柱的側(cè)面都是全等的平行四邊形C．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱D．用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺【變式1-2】（2024·遼寧撫順·三模）已知圓錐的底面圓的半徑為1，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為π2的扇形，則該圓錐的母線長為（

A．52 B．3 C．72【變式1-3】（23-24高一下·廣東清遠·期末）下列說法中，正確的是（

）A．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐B．一個多面體至少有4個面C．有兩個面相互平行，其余各面都是平行四邊形的多面體是棱柱D．用一個平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺【題型2空間幾何體的表面積】【例2】（2024·河南濮陽·模擬預(yù)測）正四棱臺ABCD?A1BA．8 B．12 C．24 D．48【變式2-1】（2024·江蘇無錫·模擬預(yù)測）蒙古包是我國蒙古族牧民居住的房子，適于牧業(yè)生產(chǎn)和游牧生活．如圖所示的蒙古包由圓柱和圓錐組合而成，其中圓柱的高為2m，底面半徑為4m,O是圓柱下底面的圓心．若圓錐的側(cè)面與以O(shè)為球心，半徑為4

A．85πm2 B．165πm2【變式2-2】（2024·四川成都·二模）在所有棱長均相等的直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，∠BAD=60°，點P在四邊形A．16+43 B．8+23 C．4+3【變式2-3】（2024·重慶·模擬預(yù)測）民間娛樂健身工具陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺在山西夏縣的新石器時代遺址中發(fā)現(xiàn)．如圖，是一個陀螺的立體結(jié)構(gòu)圖（上端是圓柱，下端是圓錐），已知底面圓的直徑AB=8，圓柱體部分的高BC=5，圓錐體部分的高CD=3，則這個陀螺的表面積為（

）A．60π B．76π C．92π【題型3空間幾何體的體積】【例3】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）菏澤市博物館里，有一條深埋600多年的元代沉船，對于研究元代的發(fā)展提供了不可多得的實物資料.沉船出土了豐富的元代瓷器，其中的白地褐彩龍風(fēng)紋罐（如圖）的高約為36cm，把該瓷器看作兩個相同的圓臺拼接而成（如圖），圓臺的上底直徑約為20cm，下底直徑約為40cmA．4200πcm3 B．8400πcm3 C．【變式3-1】（2024·天津河西·三模）如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，平面EB1CA．1∶1 B．4∶3 C．6∶5 D．7∶5【變式3-2】（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）某圓臺的下底面周長是上底面周長的4倍，母線長為10，該圓臺的側(cè)面積為100π，則該圓臺的體積為（

A．184π B．208π C．224π【變式3-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知軸截面為正三角形的圓錐，被平行于底面的平面所截，截得的上、下兩個幾何體的表面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若S1A．1:7 B．9:112C．3:11?【題型4斜二測畫法及其應(yīng)用】【例4】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，△O′A′B′是水平放置的△OAB用斜二測畫法畫出的直觀圖（圖中虛線分別與x′軸和y′軸平行），

A．82 B．122 C．24【變式4-1】（2024·山東濟南·一模）已知正三角形邊長為2，用斜二測畫法畫出該三角形的直觀圖，則所得直觀圖的面積為（

）A．24 B．64 C．22【變式4-2】（23-24高一下·湖北黃岡·期末）如圖，水平放置的四邊形ABCD的斜二測直觀圖為矩形A′B′C′D′A．62 B．122 C．8【變式4-3】（23-24高一下·安徽池州·期中）一水平放置的平面四邊形OABC的直觀圖O′A′B′C′如圖所示，其中O′A′=O′C′A．322 B．32 C．3【題型5最短路徑問題】【例5】（23-24高一下·山西運城·階段練習(xí)）已知三棱錐P?ABC的底面ABC是邊長為1的等邊三角形，PA⊥平面ABC且PA=3，一只螞蟻從△ABC的中心沿表面爬至點P，則其爬過的路程最小值為（

A．36 B．393 C．43【變式5-1】（23-24高三下·河北衡水·階段練習(xí)）如圖，已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面邊長為lcm，高為5cmA．12 B．13 C． D．15【變式5-2】（23-24高二上·浙江·階段練習(xí)）正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，M是面BCC1BA．2 B．3+1 C．2+2 【變式5-3】（23-24高一下·山東青島·期末）如圖，圓錐的母線長為3，底面半徑為1，一只螞蟻從點P處沿著該圓錐側(cè)面爬行一周后回到點P處，則螞蟻爬行的最短路線長為（

）

A．3 B．3 C．23 D．【題型6空間幾何體的截面問題】【例6】（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）已知SO1=2，底面半徑O1A=4的圓錐內(nèi)接于球O，則經(jīng)過S和OA．252π B．253π C．【變式6-1】（2024·江西·模擬預(yù)測）已知在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=BB1=2BC，點P，Q，T分別在棱BB1，CA．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【變式6-2】（2024·海南·模擬預(yù)測）當(dāng)飛機超音速飛行時，聲波會形成一個以飛機前端為頂點，飛機的飛行方向為軸的圓錐（如圖），稱為“馬赫錐”.馬赫錐的軸截面頂角θ與飛機的速度v、音速c滿足關(guān)系式sinθ2=cv

A．100πm2 B．300πm2 C．【變式6-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱A1B1，DA．62 B．32 C．305一、單選題1．（2024·湖北·模擬預(yù)測）用斜二測畫法畫出的水平放置的△ABC的直觀圖如圖所示，其中D′是B′C′的中點，且A′D′//yA．2 B．2 C．22 2．（2024·四川達州·二模）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為AB中點，

A．三角形 B．矩形 C．梯形 D．菱形3．（2024·貴州黔南·二模）某學(xué)生為制作圓臺形容器，利用如圖所示的半圓環(huán)（其中小圓和大圓的半徑分別是2cm和4cm）鐵皮材料，通過卷曲使得AB邊與DC邊對接制成圓臺形容器的側(cè)面，則該圓臺的高為（A．32cm B．1cm C．34．（2024·山東·二模）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體可能是（

）．A．三棱柱 B．圓柱 C．三棱錐 D．圓錐5．（2024·河南駐馬店·二模）已知某正六棱柱的體積為63，其外接球體積為205πA．63+18 B．33+18 C．6．（2024·四川資陽·二模）已知球O的體積為500π3，點A到球心O的距離為3，則過點A的平面α被球O所截的截面面積的最小值是（A．9π B．12π C．16π7．（2024·貴州·模擬預(yù)測）為了美化廣場環(huán)境，縣政府計劃定購一批石墩．已知這批石墩可以看作是一個圓臺和一個圓柱拼接而成，其軸截面如下圖所示，其中AB=2CE=2EF=40cm，AC=102cmA．10000π3cm3 B．11000π38．（2024高三·全國·專題練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，已知P，M分別為線段BD1，

A．1+22 B．4+222 C．二、多選題9．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）下列說法中，錯誤的為（

）A．有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐；B．有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺；C．底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；D．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐不可能是正六棱錐．10．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知球O是正三棱錐A?BCD的外接球，BC=3,AB=23，點E在線段BD上，且BD=3BE．過點E作球的截面，則所得截面圓的面積可能是（

A．π B．2π C．3π 11．（2024·山東·模擬預(yù)測）如圖，有一個棱臺形的容器ABCD?A1B1C1D1（上底面A．AB．該四棱臺的側(cè)面積為3C．若將一個半徑為0.9mD．若一只螞蟻從點A出發(fā)沿著容器外壁爬到點C1，則其爬行的最短路程為三、填空題12．（2024·浙江·三模）已知圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為5，側(cè)面積為30π，則圓臺的高為13．（2023·遼寧錦州·模擬預(yù)測）已知用斜二測畫法畫梯形OABC的直觀圖O′A′B′C′如圖所示，O′A′=3