專題6.1 數(shù)列的概念與簡單表示法（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題6.1數(shù)列的概念與簡單表示法【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)】 4【題型2累加法求通項(xiàng)公式】 6【題型3累乘法求通項(xiàng)公式】 8【題型4構(gòu)造法求通項(xiàng)公式】 10【題型5數(shù)列的周期性】 11【題型6數(shù)列的單調(diào)性】 13【題型7數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)】 15【題型8數(shù)列中的規(guī)律問題】 17【題型9數(shù)列的恒成立問題】 191、數(shù)列的概念與簡單表示法考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)(2)了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)2021年北京卷：第10題，4分?jǐn)?shù)列是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，屬于高考的必考內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，高考中對(duì)數(shù)列的概念的考查相對(duì)較少，考查題型以選擇題、填空題為主，難度不大，重點(diǎn)是考查數(shù)列的單調(diào)性、周期性與最值等內(nèi)容.【知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列的概念與基本知識(shí)】1．?dāng)?shù)列的定義一般地，把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列的第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)，常用符號(hào)表示，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，用表示第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)，用表示.其中第1項(xiàng)也叫做首項(xiàng).2．?dāng)?shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義舉例按項(xiàng)的

個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列1,2,3,…,n無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列1,0,1,0,1,0,…按項(xiàng)的

變化趨勢遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一

項(xiàng)的數(shù)列3,4,5,6,…,n+2遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一

項(xiàng)的數(shù)列-1,-2,-3,…,-n常數(shù)列各項(xiàng)相等的數(shù)列0,0,0,0,…擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一

項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列1,-2,3,-4,…3．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{}的第n項(xiàng)與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.4．?dāng)?shù)列的遞推公式(1)遞推公式的概念如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式.(2)對(duì)數(shù)列遞推公式的理解①與“不一定所有數(shù)列都有通項(xiàng)公式”一樣，并不是所有的數(shù)列都有遞推公式.

②遞推公式是給出數(shù)列的一種方法.事實(shí)上，遞推公式和通項(xiàng)公式一樣，都是關(guān)于項(xiàng)的序號(hào)n的恒等式.如果用符合要求的正整數(shù)依次去替換n，就可以求出數(shù)列的各項(xiàng).

③用遞推公式求出一個(gè)數(shù)列，必須給出：基礎(chǔ)——數(shù)列{}的第1項(xiàng)(或前幾項(xiàng))；

遞推關(guān)系——數(shù)列{}的任意一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)()(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系，并且這個(gè)關(guān)系可以用等式來表示.5．?dāng)?shù)列表示方法及其比較優(yōu)點(diǎn)缺點(diǎn)通項(xiàng)

公式法便于求出數(shù)列中任意指定的一項(xiàng)，利于對(duì)數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行研究一些數(shù)列用通項(xiàng)公式表示比較困難列表法內(nèi)容具體、方法簡單，給定項(xiàng)的序號(hào)，易得相應(yīng)項(xiàng)確切表示一個(gè)無窮數(shù)列或項(xiàng)數(shù)比較多的有窮數(shù)列時(shí)比較困難圖象法能直觀形象地表示出隨著序號(hào)的變化，相應(yīng)項(xiàng)的變化趨勢數(shù)列項(xiàng)數(shù)較多時(shí)用圖象表示比較困難遞推

公式法可以揭示數(shù)列的一些性質(zhì)，如前后幾項(xiàng)之間的關(guān)系不容易了解數(shù)列的全貌，計(jì)算也不方便6．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和數(shù)列{}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，記作，即=+++.

如果數(shù)列{}的前n項(xiàng)和與它的序號(hào)n之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.

=.【知識(shí)點(diǎn)2數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解策略】1．由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)：(1)已知Sn求an的常用方法是利用=轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項(xiàng)公式.(2)Sn與an關(guān)系問題的求解思路方向1：利用an=Sn-Sn-1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn-1的關(guān)系式，再求解.方向2：利用Sn-Sn-1=an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an-1的關(guān)系式，再求解.2．由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式：(1)累加法：形如an+1=an+f(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求和，特別注意能消去多少項(xiàng)，保留多少項(xiàng).(2)累乘法：形如an+1=an·f(n)的遞推關(guān)系式可化為的形式，可用累乘法，也可用代入求出通項(xiàng).(3)構(gòu)造法：①形如an+1=pan+q的遞推關(guān)系式可以化為(an+1+x)=p(an+x)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，求變量x是關(guān)鍵.②形如(A,B,C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時(shí)取倒數(shù)的方法構(gòu)造新數(shù)列求解.【知識(shí)點(diǎn)3數(shù)列的性質(zhì)有關(guān)問題的解題策略】1．?dāng)?shù)列周期性問題的解題策略：解決數(shù)列周期性問題，根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若干項(xiàng)，通過觀察歸納出數(shù)列的周期，進(jìn)而求出有關(guān)項(xiàng)的值或前n項(xiàng)和.2．求數(shù)列最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法(1)函數(shù)法：利用相關(guān)的函數(shù)求最值.若借助通項(xiàng)的表達(dá)式觀察出單調(diào)性，直接確定最大(小)項(xiàng)，否則，利用作差法.(2)利用確定最大項(xiàng)，利用確定最小項(xiàng).【方法技巧與總結(jié)】1．若數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，通項(xiàng)公式為，則=.2．在數(shù)列{}中，若最大，則；若最小，則.【題型1由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)】【例1】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn=2n?1?12，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為（

）A．a(chǎn)n=1C．a(chǎn)n=(?2)【解題思路】由an【解答過程】Sn=2n?1?當(dāng)n≥2,a所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a故選：D.【變式1-1】（2024·陜西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足k=1nak2k?1A．2024 B．2023 C．4047 D．4048【解題思路】利用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和公式求解.【解答過程】解：由題意可得a1當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，a1兩式相減得an2n?1=1綜上所述，a所以a2024故選：C．【變式1-2】（2024·四川·三模）已知數(shù)列an滿足2a1+2A．a(chǎn)n=1,n=1C．a(chǎn)n=n 【解題思路】由題中等式，可得2nan=n?2n?【解答過程】當(dāng)n=1時(shí)，有2a1=1?當(dāng)n≥2時(shí)，由2a1+兩式相減得2n此時(shí)，an=n+1所以an的通項(xiàng)公式為a故選：B.【變式1-3】（2024·江蘇·一模）已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足1a1a2+1A．13 B．1 C．32【解題思路】由已知和式求出通項(xiàng)1anan+1的通項(xiàng)，從而得出1a5a【解答過程】n=1時(shí)，1n≥2時(shí)，11a∴a∵∵a故選：D.【題型2累加法求通項(xiàng)公式】【例2】（23-24高二·全國·單元測試）已知數(shù)列an滿足a1=3，an+1=A．4+1n B．4?1n C．【解題思路】由an+1?a【解答過程】由題意可得an+1所以a2?a1=1?上式累加可得a=1?1又a1=3，所以故選：B.【變式2-1】（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)數(shù)列an中，a1=2，an+1A．n2?n+2 C．2n2 D．【解題思路】解法一：由an+1?an=2n【解答過程】由an+1+2nan+1?an法一:a2這n?1個(gè)式子累加，得an?a又當(dāng)n=1時(shí)，a1=2，符合上式，所以法二:由a1=2，得a2故選：A.【變式2-2】（2024·陜西咸陽·三模）在數(shù)列an中，a1=1，an+1=A．43 B．46 C．37 D．36【解題思路】由遞推公式an+1=an+2n?1用累加法公式a【解答過程】法一：由題得an=a所以a7法二：由題a1=1，所以a7故選：C.【變式2-3】（2023·山西·模擬預(yù)測）南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”．“三角垛”的最上層（即第一層）有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，第四層有10個(gè)球，…，設(shè)“三角垛”從第一層到第n層的各層球的個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an，則（

A．a(chǎn)6=16 C．2an+1=【解題思路】根據(jù)已知條件寫出遞推關(guān)系式，運(yùn)用累加法求得{an}通項(xiàng)公式，賦值可判斷A項(xiàng)、B項(xiàng)、D項(xiàng)，分別計(jì)算a【解答過程】由相鄰層球的個(gè)數(shù)差，可知an+1?a所以當(dāng)n≥2時(shí)，an將n≥1代入an=n所以an對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)n=6時(shí)，a6對(duì)于B項(xiàng)，當(dāng)n=10時(shí)，a10對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)閍n所以an2a所以2a對(duì)于D項(xiàng)，a2023故選：D.【題型3累乘法求通項(xiàng)公式】【例3】（2024高三下·全國·專題練習(xí)）在數(shù)列an中，a1=13，前n項(xiàng)和SA．12n?12n+1 B．3n?22n+1 C．2?【解題思路】根據(jù)數(shù)列遞推式，得Sn?1=n?1【解答過程】由于數(shù)列an中，a1=13∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?1兩式相減可得：a∴2n+1a所以an因此an故選：A.【變式3-1】（23-24高二下·河南南陽·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的項(xiàng)滿足an+1=nn+2anA．2n+12 B．2nn+1 C．【解題思路】由an+1=n【解答過程】由an+1=n所以a2a1=13，a3a2所以a2所以an因?yàn)閍1=1，所以因?yàn)閍1=1滿足上式，所以故選：B.【變式3-2】（23-24高二下·廣東佛山·期中）已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1=1，A．a(chǎn)n=2C．a(chǎn)n=3【解題思路】由Sn=n+23an得Sn?1=n+13an?1,n≥2,n∈【解答過程】由Sn=n+2兩式相減得:Sn即an=n+23an?所以a2a1=31，相乘得：a2a1?a即ana1=n?n+11?2當(dāng)n=1時(shí)，a1=1×故選：B.【變式3-3】（23-24高二上·重慶九龍坡·期末）已知a1=2，an=naA．n B．n+1 C．2n D．n+1【解題思路】根據(jù)題意可得an+1【解答過程】解：由an=na即an+1則anan?1=nn?1，由累乘法可得ana1=n，因?yàn)楣蔬x：C．【題型4構(gòu)造法求通項(xiàng)公式】【例4】（23-24高二上·河北衡水·期中）在數(shù)列an中，a1=2，an+1A．?3n?53n?2 B．3n2?n 【解題思路】通過構(gòu)造等差數(shù)列的方法，先求得1an+1【解答過程】由an+1a所以an?1所以an+1=a所以數(shù)列1an+1是首項(xiàng)為1所以1aan故選：A.【變式4-1】（2024·廣東茂名·一模）已知Tn為正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)的乘積，且a1=2,TA．16 B．32 C．64 D．128【解題思路】利用給定的遞推公式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算變形，再構(gòu)造常數(shù)列求出通項(xiàng)即可得解.【解答過程】由Tn2=ann+1，得兩邊取對(duì)數(shù)得nlgan+1=(n+1)lg則lgann=lga1故選：B.【變式4-2】（23-24高一下·上?！て谀?shù)列an滿足a1=2,an+1=3an【解題思路】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)求解即得.【解答過程】數(shù)列an中，由an+1=3an而a1=2，a12+2=3因此an2n所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a故答案為：2(3【變式4-3】（23-24高三下·四川·期末）若數(shù)列an(n∈N?)的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，2【解題思路】根據(jù)給定條件，結(jié)合an【解答過程】數(shù)列an(n∈N?)中，2兩式相減得2an=(n+1)an因此數(shù)列{ann所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a故答案為：n.【題型5數(shù)列的周期性】【例5】（2024·遼寧·模擬預(yù)測）數(shù)列an中，a1=4，a2=3，aA．14 B．34 C．3 【解題思路】根據(jù)遞推公式代入檢驗(yàn)可知數(shù)列an【解答過程】因?yàn)閍1=4，a2令n=2，可得a3=a2a令n=4，可得a5=a4a令n=6，可得a7=a6a可知數(shù)列an所以a1000故選：A.【變式5-1】（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知數(shù)列an中，a1=2，aA．?2 B．?1 C．1 D．2【解題思路】利用數(shù)列的遞推公式求出數(shù)列的周期，即可求解.【解答過程】由a1a3a4a5a6a7a8??則{a所以a2024故選：C.【變式5-2】（2024·四川宜賓·二模）在數(shù)列an中，已知a1=2,a2A．3 B．2 C．1 D．0【解題思路】用n+1去換an+2+an=【解答過程】由題意得an+2=an+1?an兩式相加可得an+3=?an，即又a1=2，a2所以數(shù)列an的前2024項(xiàng)和S故選：A.【變式5-3】（2024·甘肅平?jīng)觥つM預(yù)測）已知數(shù)列an，若an+1=an+an+2n∈N?，則稱數(shù)列anA．0 B．1 C．－5 D．－1【解題思路】根據(jù)bn+2=b【解答過程】解：因?yàn)閎n+2=bb5則數(shù)列bn是以6為周期的周期數(shù)列，又S所以S2024故選：D.【題型6數(shù)列的單調(diào)性】【例6】（2024·北京西城·三模）對(duì)于無窮數(shù)列{an}，定義dn=an+1?aA．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】由遞增數(shù)列的性質(zhì)，分別判斷充分性和必要性即可.【解答過程】{an}為遞增數(shù)列時(shí)，有d{dn}為遞增數(shù)列時(shí)，不一定有d所以“{an}故選：D.【變式6-1】（2024·江西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足an=n?aa∈R，則“a≤1”是A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)充分條件、必要條件的定義判斷即可.【解答過程】當(dāng)a≤1時(shí)an=n?a≥0，則所以an+1?an=n+1?a?當(dāng)a=54時(shí)an=n?所以當(dāng)數(shù)列an是遞增數(shù)列，a可以大于1所以“a≤1”是an故選：B.【變式6-2】（2024·江西·二模）已知數(shù)列an的首項(xiàng)a1為常數(shù)且a1≠23，an+1A．?23,C．0,23 【解題思路】由已知條件推得數(shù)列an?4n6是首項(xiàng)為a【解答過程】因?yàn)閍n+1所以an+1由于a1≠2可得數(shù)列an?4n6則an=16×即16×4當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a1>2可得23?1當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a1<2可得23+1綜上可得a1的取值范圍是?故選：B．【變式6-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足a1=t,an+1?2aA．?1,1 B．?∞,0 C．?1,1 【解題思路】根據(jù)題意得到an?n是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得到an，利用an是遞減數(shù)列列出關(guān)于【解答過程】將an+1?2a又a1?1=t?1，易知當(dāng)t=1時(shí),a1=1,a因此數(shù)列an?n是以故an?n=t?1由于an是遞減數(shù)列，故an+1<化簡得1?t2n?1>1因此1?t>121?1故選：B．【題型7數(shù)列的最大（?。╉?xiàng)】【例7】（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）數(shù)列an、bn滿足：a1=8，an?aA．第7項(xiàng) B．第9項(xiàng)C．第11項(xiàng) D．第12項(xiàng)【解題思路】利用累加法得到an=4n2+4n，即可得到b【解答過程】n≥2時(shí)，an?an?1=8n，an?1?an?2=8n?1，???令bk≥b解得172≤k≤192，故選：B.【變式7-1】（23-24高三上·安徽合肥·期末）若數(shù)列an的前n項(xiàng)積bn=1?27A．?13 B．57 C．2【解題思路】由題可得an【解答過程】∵數(shù)列an的前n項(xiàng)積b當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，bn?1=1?2n=1時(shí)也適合上式，∴an∴當(dāng)n≤4時(shí)，數(shù)列an單調(diào)遞減，且an<1，當(dāng)n≥5時(shí)，數(shù)列an單調(diào)遞減，且a故an的最大值為a5=3∴an故選：C.【變式7-2】（2024·安徽·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an是遞增數(shù)列，且an∈N?，數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SnA．5 B．6 C．7 D．8【解題思路】根據(jù)給定條件，確定數(shù)列前4項(xiàng)的值，后5項(xiàng)與a5【解答過程】數(shù)列an是遞增數(shù)列，且an∈為使a5取最大，當(dāng)且僅當(dāng)前4項(xiàng)值最小，后5項(xiàng)分別與a則a1=1,a因此S10=a1+故選：C.【變式7-3】（23-24高二上·上海楊浦·期中）已知數(shù)列an=(n+1)(?A．a(chǎn)nB．a(chǎn)nC．a(chǎn)nD．a(chǎn)n【解題思路】分奇偶分別作差，判斷奇數(shù)項(xiàng)的單調(diào)性以及偶數(shù)項(xiàng)的單調(diào)性，從而得出結(jié)果.【解答過程】當(dāng)n=2k,k∈Na2ka2(k+1)當(dāng)k≤4時(shí)，a2(k+1)?a2k>0，a2k遞增；當(dāng)k≥5時(shí)，當(dāng)n=2k?1,k∈Na2k?1a2k+1當(dāng)k≤4時(shí)，a2k+1?a2k?1<0，a2k?1遞減；當(dāng)k≥5時(shí)，綜上，an故選：C.【題型8數(shù)列中的規(guī)律問題】【例8】（2024·全國·模擬預(yù)測）公元前6世紀(jì)，希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派研究數(shù)的概念時(shí)，常常把數(shù)描繪成沙灘上的小石子，用它們進(jìn)行各式各樣的排列和分類，叫作“形數(shù)”．用3顆石子可以擺成一個(gè)正三角形，同樣用6顆石子或者10顆石子可以擺成更大的三角形．畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1，3,6,10等叫作“三角數(shù)”或“三角形數(shù)”．同時(shí)他們還擺出了正方形數(shù)、五邊形數(shù)、六邊形數(shù)和其他多邊形數(shù)．如圖所示即擺出的六邊形數(shù)，那么第20個(gè)六邊形數(shù)為（

）A．778 B．779 C．780 D．781【解題思路】根據(jù)給定圖形信息，利用歸納法求出六邊形數(shù)形成數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求出要求的項(xiàng).【解答過程】六邊形數(shù)從小到大排成一列，形成數(shù)列{a依題意，a1=1=1×1,a所以a20故選：C.【變式8-1】（2023·海南·模擬預(yù)測）“大衍數(shù)列”來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，是中華傳統(tǒng)文化中的一大瑰寶.已知“大衍數(shù)列”的前10項(xiàng)分別為0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,?，據(jù)此可以推測，該數(shù)列的第15項(xiàng)與第60項(xiàng)的和為（

）A．1012 B．1016 C．1912 D．1916【解題思路】根據(jù)題意，給出數(shù)列的前幾項(xiàng)，觀察其規(guī)律，得到奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式，代入即可求解.【解答過程】觀察此數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)為2,8,18,32,50,?，可得此時(shí)滿足a2n奇數(shù)項(xiàng)為0,4,12,24,40,?，可得a2n?1所以a16=2×82=128所以a15故選：C.【變式8-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）據(jù)中國古代數(shù)學(xué)名著《周髀算經(jīng)》記截：“勾股各自乘，并而開方除之（得弦）．”意即“勾”a、“股”b與“弦”c之間的關(guān)系為a2+b2=c2（其中a≤b）．當(dāng)a,b,c∈A．145 B．181 C．221 D．265【解題思路】由給定的勾股弦數(shù)組序列中，an=2n+1n∈N?，c?b=1，得a2=【解答過程】因?yàn)閍2+b在給定的勾股弦數(shù)組序列中，c?b=1，所以a2易得勾股弦數(shù)組序列中“勾”的通項(xiàng)公式為an所以an故“弦”的通項(xiàng)公式為cn=2n所以第10個(gè)勾股弦數(shù)組中的“弦”等于2×10故選：C．【變式8-3】（2024·四川·模擬預(yù)測）分形幾何學(xué)是美籍法國數(shù)學(xué)家伯努瓦?曼德爾布羅特在20世紀(jì)70年代創(chuàng)立的一門新學(xué)科，它的創(chuàng)立為解決傳統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域的眾多難題提供了全新的思路．下圖展示了如何按照?qǐng)D①的分形規(guī)律生長成一個(gè)圖②的樹形圖，則在圖②中第5行的黑心圈的個(gè)數(shù)是（

）A．12 B．13 C．40 D．121【解題思路】本題是一個(gè)探究型的題目，從圖①中讀取信息：白球分形成兩白一黑，黑球分型成一白兩黑；由圖②，從第二行起，球的總個(gè)數(shù)是前一行的3倍，白球的個(gè)數(shù)是前一行白球個(gè)數(shù)的兩倍加上黑球的個(gè)數(shù)，黑球的個(gè)數(shù)是前一行黑球個(gè)數(shù)的兩倍加上白球的個(gè)數(shù).由此建立遞推關(guān)系求解得到結(jié)果.【解答過程】設(shè)題圖②中第n行白心圈的個(gè)數(shù)為an，黑心圈的個(gè)數(shù)為b依題意可得an+b所以an+b∴a又an+1=2a故有an+1∴an?bn為常數(shù)數(shù)列，且a1∴a由①②相加減得：∴an=所以b5故選：C．【題型9數(shù)列的恒成立問題】【例9】（23-24高三上·湖北襄陽·期末）數(shù)列an中，a1=a(a>0),2n?1aA．3 B．6 C．12 D．15【解題思路】先將條件變形得到an+12n+1?12【解答過程】由已知2n兩邊同時(shí)除以2nan+1即an+1即an+1則數(shù)列an所以an所以an又an即a3因?yàn)閍>0，n≥1,n∈N所以a3所以a=又1+所以要a3≤1+42n故選：A.【變式9-1】（23-24高三上·浙江·階段練習(xí)）定義maxa,b=a,a≥bb,a<b．若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn=λn2+20+λnλ∈A．?4,?3 B．?3,?2C．?23,?【解題思路】根據(jù)題意，求得an=2λn+20，bn=2n，結(jié)合cn=maxan,b【解答過程】由數(shù)列an的前n項(xiàng)和為S當(dāng)n≥2時(shí)，可得an又由當(dāng)n=1時(shí)，a1所以數(shù)列an通項(xiàng)公式為a由數(shù)列bn滿足b1=2且2即1b各式相加可得1b又由1b1=12因?yàn)閏n=max當(dāng)λ=0，an=20，當(dāng)λ≠0，則滿足λ<0且a2≥b3且b4綜上，實(shí)數(shù)λ的取值范圍為?3,?2故選：D.【變式9-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn+1+Sn=n2．若a【解題思路】由an與Sn的關(guān)系，可求得Sn+Sn?1=n?12(n≥2)，進(jìn)而求出【解答過程】法一：因?yàn)镾n+1+Sn=n2，當(dāng)n≥2時(shí)，S當(dāng)n=1時(shí)，2a1+a2=1，則a2則a2n要使an+1>an對(duì)n∈N?恒成立，則所以a1的取值范圍為?法二：Sn+1+Sn=兩式相減得an+1+a兩式相減得an+2?a要使an+1>an對(duì)n∈N則1?2a1>所以a1的取值范圍為?故答案為：(?1【變式9-3】（23-24高二上·湖南衡陽·期末）已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2n?1.若對(duì)于任意n∈N?，不等式2na【解題思路】將2nan(4?λ)>a【解答過程】解：由2nan所以4?λ>(n?1)設(shè)bn則bn+1設(shè)f(n)=?2n3+5令f′(n)>0，解得1≤n<53，即令f′(n)<0，解得n>53，即又f(1)=1，f(2)=2，f(3)=?11，所以當(dāng)n≥3時(shí)，f(n)≤f(3)<0，即bn+1所以b3當(dāng)n=1,2時(shí)，f(n)>0，即bn+1?b綜上，bn≤b3=所以?λ?的取值范圍為故答案為：?∞一、單選題1．（2024·山東濟(jì)南·三模）若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=n(n+1)，則aA．10 B．11 C．12 D．13【解題思路】根據(jù)an與S【解答過程】a6故選：C.2．（2024·遼寧·二模）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對(duì)易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和，是中國傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題.大衍數(shù)列的前10項(xiàng)依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則此數(shù)列的第30項(xiàng)為（

）A．366 B．422 C．450 D．600【解題思路】根據(jù)題意，得到數(shù)列an的偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為a【解答過程】由題意，大衍數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)為2,8,18,32,50,?，可得該數(shù)列an的偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為a所以此數(shù)列an的第30項(xiàng)為a故選：C.3．（2024·天津南開·二模）設(shè)數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=n2+bn，若數(shù)列A．?3,+∞ B．?2,+∞ C．?2,+∞【解題思路】由遞增數(shù)列定義可得an+1【解答過程】由題意可得an+1?a即b>?2n?1，又n≥1，?2n?1≤?3，故b∈?3,+故選：A.4．（2024·西藏·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an對(duì)任意k∈N*滿足ak?A．21012 B．21013 C．22024【解題思路】由ak?ak+1=【解答過程】解：由ak?a所以ak+2所以a2024a2022?又因?yàn)閍1?①②兩式相乘，得a1故選：A．5．（2024·重慶九龍坡·三模）正整數(shù)1,2,3,?,n的倒數(shù)的和1+12+13+?+1n已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，當(dāng)n很大時(shí)，1+12+13+?+1（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.69，ln3≈1.10，A．10 B．9 C．8 D．7【解題思路】設(shè)an=1+12+【解答過程】設(shè)an=1+1因?yàn)閍n+1可知數(shù)列an且a1800a2048可知8.07<a2024<8.17故選：C.6．（23-24高二下·上海閔行·階段練習(xí)）數(shù)列an前n項(xiàng)和為Sn，且an=33n?13，則關(guān)于A．a(chǎn)n，Sn都有最小值 B．a(chǎn)nC．a(chǎn)n，Sn都無最小值 D．a(chǎn)n【解題思路】利用數(shù)列通項(xiàng)的單調(diào)性和正負(fù)即可判斷出答案．【解答過程】因?yàn)閍n=33n?13，所以當(dāng)當(dāng)n≥5時(shí)，an>0，且單調(diào)遞減，故當(dāng)n=4時(shí)，又因?yàn)楫?dāng)n≤4時(shí)，an<0；當(dāng)n≥5時(shí)，an綜上可知an，S故選：A.7．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=3x?13x+1，數(shù)列an滿足aA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)奇偶性，判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)已知的條件推得數(shù)列的周期，從而計(jì)算的出結(jié)果；【解答過程】由題意可知：fx的定義域?yàn)镽且fx+f?x可知fx為定義在R上的奇函數(shù)，且f因?yàn)閥=3x在R上單調(diào)遞增，可知fx綜上所述：fx在R因?yàn)閒a2+f可得a3+a由an+3=ann∈且2024=3×674+2，所以i=12024故選：B.8．（2024·四川綿陽·二模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且SnA．a(chǎn)n<an+1 B．Sn>【解題思路】根據(jù)條件先求解出an的通項(xiàng)公式，A：根據(jù)an的通項(xiàng)公式結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷；B：根據(jù)Sn+1?Sn的結(jié)果進(jìn)行判斷；C：根據(jù)an【解答過程】當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，an所以n=1不滿足n≥2的情況，所以an對(duì)于A：當(dāng)n≥2時(shí)，由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知：43n>對(duì)于B：因?yàn)镾n+1?S對(duì)于C：當(dāng)n=1時(shí)，2a當(dāng)n≥2時(shí)，2a故2a對(duì)于D：當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知an=4且43n>0所以0<a故選：D.二、多選題9．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an滿足a1=1，an+1=A．a(chǎn)3=2?22C．a(chǎn)n+1≤n+1【解題思路】根據(jù)遞推公式分別求出a2和a3可判斷A；將an+1=an1+an兩邊同時(shí)取倒數(shù)后配方，再適當(dāng)放縮可得到1【解答過程】∵a1=1，an+1=a對(duì)于A，a2=a對(duì)于B，∵an+1=an1+∴1an+1<對(duì)于C，由B知，1an+1<∴當(dāng)n≥2時(shí)，1a∵a1=1，∴即an≥2∴an+1對(duì)于D，由C知，an+1≤n+1n+3a∴當(dāng)n≥2時(shí)，an∴a22故選：BD.10．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）數(shù)列{an}(n∈N?)的前n項(xiàng)和為SnA．a(chǎn)3=2 C．{Sn}為遞增數(shù)列 【解題思路】根據(jù)題意，分別求得a1，a2，a3【解答過程】解：由題意，數(shù)列{an}滿足a當(dāng)n=1時(shí)，a2=2a1=2當(dāng)n=3時(shí)，a4若n為奇數(shù)，則n+1，n+3為偶數(shù)，n+2，n+4為奇數(shù)，則an+1=2an，an+2若n為偶數(shù)，則n+1，n+3為奇數(shù)，n+2，n+4為偶數(shù)，則an+1=1an，a所以數(shù)列an故S10=a1+a2又由an>0，故由上述討論可知，{a2n?1}的項(xiàng)為1，1故選：BCD．11．（2024·遼寧沈陽·二模）已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=A．若c≤1，則數(shù)列anB．若對(duì)任意n∈N*，都有aC．若c∈N*，則對(duì)任意i,j∈D．若an的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)之和為正數(shù)，則【解題思路】對(duì)于選項(xiàng)A，求出an=1(n?c)2+1,an+1=1(n+1?c)2+1，再作差判斷兩式分母的大小關(guān)系判斷即可；對(duì)于選項(xiàng)B，求解【解答過程】對(duì)于選項(xiàng)A，由條件知an=1n?c2結(jié)合c≤1，n∈N?知2n+1?2c≥2n?1>0，所以所以an+1<a對(duì)于選項(xiàng)B，首先有a1若c≤2，則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=1而當(dāng)n為奇數(shù)且n≥3時(shí)，由n?c≥3?c>0，知n?c=n?c≥3?c=3?2c+c≥3?4+c=c?1，n?c=n?c≥3?c>1?c，從而c?1≤n?c，即所以只要c≤2，就一定有an≥a1恒成立，所以由對(duì)于選項(xiàng)C，顯然當(dāng)i,j同為奇數(shù)或同為偶數(shù)時(shí)，必有ai,a而當(dāng)i,j的奇偶性不同時(shí)，i+j為奇數(shù)，此時(shí)不妨設(shè)i,j分別是奇數(shù)和偶數(shù)，則ai因?yàn)閏∈N?，故2c為偶數(shù)，而i+j為奇數(shù)，所以所以ai對(duì)于選項(xiàng)D，首先顯然的是，最大項(xiàng)必定是某個(gè)第偶數(shù)項(xiàng)，最小項(xiàng)必定是某個(gè)第奇數(shù)項(xiàng).當(dāng)n=n1為偶數(shù)時(shí)，要讓an而當(dāng)n=n2為奇數(shù)時(shí)，要讓an設(shè)n1和n2分別是到c距離最小的正偶數(shù)和正奇數(shù)，則條件相當(dāng)于而an1+an這表明，條件等價(jià)于，到c距離最小的正奇數(shù)到c的距離，大于到c距離最小的正偶數(shù)到c的距離.若c≤1，則到c距離最小的正奇數(shù)和正偶數(shù)分別是1和2，而由1?c≥1?1=0可知2?c≥2?c>1?c=若c>1，c是正奇數(shù)，則到c距離最小的正奇數(shù)到c的距離為0，不可能大于到c距離最小的正偶數(shù)到c的距離，不符合條件；若c>1，且c不是正奇數(shù)，設(shè)到c的距離最近的正偶數(shù)為2kk∈N?此時(shí)到c距離最小的正偶數(shù)到c的距離為2k?c，從而到c距離最小的正奇數(shù)到c的距離大于2k?c，進(jìn)一步知任意正奇數(shù)到c的距離都大于2k?c.從而2k+1?c>2k?c，2k?1?c>2k?c，這意味著0<2k+1?c綜上，2k?12<c<2k+故選：ACD.三、填空題12．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知一數(shù)列：0,2,?6,12,?20,30,?，則該數(shù)列的通項(xiàng)可以表示為?1n×n【解題思路】觀察數(shù)列前幾項(xiàng)的特征，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)即可.【解答過程】因?yàn)?=?11×1212=?14×42?4，所以該數(shù)列的通項(xiàng)可以表示為?1n故答案為：?1n×13．（2024·陜西銅川·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前三項(xiàng)依次為2,2,3,an的前n項(xiàng)和Sn=pn【解題思路】根據(jù)題意列方程得到p,q,r，然后根據(jù)an=S【解答過程】由題意知S1=p+q+r=2，S2解得p=12，q=1所以Sn=1故答案為：2024.14．（2024·北京·三模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=1且an+1=Sn2+1,n∈【解題思路】①:先確定1,an+1,Sn【解答過程】對(duì)于①：an+1=S則an+1?S假設(shè)長度分別為1,a則an+1為斜邊，所以a所以an+12=an+1?1+1，所以對(duì)于②：an+1=S所以an+1an所以?n∈N對(duì)于③：由已知a1=1,a2=2,對(duì)于④：由已知a1=1,a2=2,故答案為：②.四、解答題15．（23-24高二·全國·課堂例題）分別寫出下列數(shù)列an(1)1，2，4，7，11，…；(2)?1，2，5，8，11，…；(3)1，?2，4，?8【解題思路】找出數(shù)列的規(guī)