中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座9：閱讀理解型、方案設(shè)計型問題(含詳細參考答案)

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座九：閱讀理解型問題

一、中考專題詮釋

閱讀理解型問題在近幾年的全國中考試題中頻頻“亮相”，特別引起我們的重視.這類問題一般文字敘述

較長，信息量較大，各種關(guān)系錯綜復(fù)雜，考查的知識也靈活多樣，.既考查學(xué)生的閱讀能力，又考查學(xué)生的

解題能力的新穎數(shù)學(xué)題.

二、解題策略與解法精講

解決閱讀理解問題的關(guān)鍵是要認真仔細地閱讀給定的材料，弄清材料中隱含了什么新的數(shù)學(xué)知識、結(jié)

論，或揭示了什么數(shù)學(xué)規(guī)律，或暗示了什么新的解題方法，然后展開聯(lián)想，將獲得的新信息、新知識、新

方法進行遷移，建模應(yīng)用，解決題目中提出的問題.

三、中考考點精講

考點一：閱讀試題提供新定義、新定理，解決新問題

例1(?十堰)閱讀材料：

例：說明代數(shù)式，f+1+J(x—3)2+4的幾何意義,并求它的最小值.

解：qX。+1+J(x-"3)-+4=J(x-0)-+1++2-,

如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點P(x,0)是x軸上一點，

則J(x—0)2+1可以看成點P與點A(0,1)的距離，

7(%-3)2+22可以看成點P與點B(3,2)的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和，

它的最小值就是PA+PB的最小值.

設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為A，，則PA=PA1因此，求PA+PB的最小值，只需求PA4PB的最小值，而點

A\B間的直線段距離最短，所以PA4PB的最小值為線段AB的長度.為此，構(gòu)造直角三角形A，CB,因

為AC=3,CB=3,所以AB=3&,即原式的最小值為3a.

根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：

(1)代數(shù)式"(x—I)?+1+J(x—+9的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點P(x,0)與點A(1,1)、

點B的距離之和.(填寫點B的坐標(biāo))

(2)代數(shù)式Jf+49+i2x+37的最小值為.

考點：軸對稱-最短路線問題；坐標(biāo)與圖形性質(zhì).

專題：探究型.

解析J(1)先把原式化為J(x-1)?+1+2)2+32的形式,再根據(jù)題中所給的例子即可得出結(jié)論；

(2)先把原式化為0)2+72+&%-6)2+1的形式,故得出所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)

系中點P(x,0)與點A(0,7)、點B(6,1)的距離之和，再根據(jù)在坐標(biāo)系內(nèi)描出各點，利用勾股定

|解答：|解:(1)???原式化為,(1)2+1+7(%-2)2+32的形式，

代數(shù)式+1+J(x—2)2+32的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點P(X,0)與點A(1,1)、點

B(2,3)的距離之和，

故答案為(2,3)；

(2)；原式化為7(X-0)2+72+J(x-6)+1的形式，

所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點P(X,0)與點A(0,7)、點B(6,1)的距離之和，

如圖所示：設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點為A，，則PA=PA\

；.PA+PB的最小值，只需求PA4PB的最小值，而點A，、B間的直線段距離最短，

.,.PA4PB的最小值為線段AB的長度，

VA(0,7),B(6,1)

，A，(0,-7),A，C=6,BC=8,

A(B=y]AC2+BC2=A/62+82=10,

故答案為：10.

評：本題考查的是軸對稱-最短路線問題，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題中所給給的材料畫出圖形，再利用

數(shù)碣合求解.

考點二、閱讀試題信息，歸納總結(jié)提煉數(shù)學(xué)思想方法

例2(?赤峰)閱讀材料：

(1)對于任意兩個數(shù)a、b的大小比較，有下面的方法：

當(dāng)a-b>0時，一定有a>b；

當(dāng)a-b=0時，一定有a=b；

當(dāng)a-b<0時，一定有aVb.

反過來也成立.因此，我們把這種比較兩個數(shù)大小的方法叫做“求差法”.

(2)對于比較兩個正數(shù)a、b的大小時，我們還可以用它們的平方進行比較：

a2-b2=(a+b)(a-b),a+b>0

(a2-b2)與(a-b)的符號相同

當(dāng)a2-b2>0時,a-b>0,得a>b

當(dāng)a2-b2=0時,a-b=0,得a=b

當(dāng)a??b2Vo時，a-b<0,得aVb

解決下列實際問題：

（1）課堂上，老師讓同學(xué)們制作幾種幾何體，張麗同學(xué)用了3張A4紙，7張B5紙；李明同學(xué)用了2張

A4紙，8張B5紙.設(shè)每張A4紙的面積為x,每張B5紙的面積為y,且x>y,張麗同學(xué)的用紙總面積為

W1,李明同學(xué)的用紙總面積為W2.回答下列問題：

①Wi=（用x、y的式子表示）

W2=（用x、y的式子表示）

②請你分析誰用的紙面積最大.

（2）如圖1所示，要在燃氣管道1上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，已知A、B至心的距離分別

是3km、4km（即AC=3km,BE=4km）,AB=xkm,現(xiàn)設(shè)計兩種方案:

圖2圖3

APL1于點P,泵站修建在點P處，該方案中管道長度a產(chǎn)AB+AP.

方案二：如圖3所示,點A，與點A關(guān)于1對稱，A，B與I相交于點P,泵站修建在點P處，該方案中管道

長度a2=AP+BP.

①在方案一中，ai=km（用含x的式子表示）；

②在方案二中，a2=km（用含x的式子表示）；

③請你分析要使鋪設(shè)的輸氣管道較短,應(yīng)選擇方案一還是方案二.

考點:軸對稱-最短路線問題；整式的混合運算.

軍題:計算題.

分析:（I）①根據(jù)題意得出3x+7y和2x+8y,即得出答案；②求出W「W2=x-y,根據(jù)x和y的大小比較

即可;

（2）①把AB和AP的值代入即可；②過B作BM_LAC于M,求出AM,根據(jù)勾股定理求出BM.再根

據(jù)勾股定理求出BA\即可得出答案；

③求出a『-a22=6x-39,分別求出6x-39>0,6x-39=0,6x-39<0,即可得出答案.

解答：（1）解：①W|=3x+7y,W2=2x+8y,

故答案為：3x+7y,2x+8y.

②解:W]-W2=(3x+7y)-(2x+8y)=x-y,

Vx>y,

Ax-y>0,

AW!-W2>0,

得W]>W2.

所以張麗同學(xué)用紙的總面積大.

(2)①解：ai=AB+AP=x+3,

故答案為：x+3.

②解：過B作BM_LAC于M,

則AM=4-3=1,

在AABM中，由勾股定理得：BM2=AB2-l2=x2-l,

在△A,MB中，由勾股定理得：AP+BP=A'B=\JA'M2+BM2=\lx2+48,

故答案為：JJF+48.

③解：ar-a22=（x+3）2-（Jx2+48）2=x2+6x+9-（x2+48）=6x-39,

ai2-a22>0（即a「a2>0,a）>a2）時，6x-39>0,解得x>6.5,

ai2-a22=0（即ai-a2=0,ai=a2）時,6x-39=0,解得x=6.5,

當(dāng)a/-a22Vo（即a『a2V0,ai<ai）時，6x-39<0,解得x<6.5,

綜上所述

當(dāng)x>6.5時，選擇方案二，輸氣管道較短，

當(dāng)x=6.5時，兩種方案一樣，

當(dāng)0<x<6.5時，選擇方案一，輸氣管道較短.

點評：本題考查了勾股定理，軸對稱-最短路線問題，整式的運算等知識點的應(yīng)用，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)

王拓訐算能力和閱讀能力，題目具有一定的代表性，是一道比較好的題目.

考點三、閱讀相關(guān)信息，通過歸納探索，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得出結(jié)論

例3（?涼山州）在學(xué)習(xí)軸對稱的時候，老師讓同學(xué)們思考課本中的探究題.

如圖（1）,要在燃氣管道1上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣.泵站修在管道的什么地方，可使所

用的輸氣管線最短？

你可以在1上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

B

第5

（1）（2）“

聰明的小華通過獨立思考，很快得出了解決這個問題的正確辦法.他把管道1看成一條直線（圖（2））,

問題就轉(zhuǎn)化為，要在直線1上找一點P,使AP與BP的和最小.他的做法是這樣的：

①作點B關(guān)于直線1的對稱點B'.

②連接AB，交直線1于點P,則點P為所求.

請你參考小華的做法解決下列問題.如圖在4ABC中，點D、E分別是AB、AC邊的中點，BC=6,BC

邊上的高為4,請你在BC邊上確定一點P,使4PDE得周長最小.

（1）在圖中作出點P（保留作圖痕跡，不寫作法）.

（2）請直接寫出4PDE周長的最小值：.

考點：軸對稱-最短路線問題.

分析：（1）根據(jù)提供材料DE不變，只要求出DP+PE的最小值即可，作D點關(guān)于BC的對稱點D,連接

D'E,與BC交于點P,P點即為所求；

（"I用中位線性質(zhì)以及勾股定理得出DE的值，即可得出答案.

解答：解:（1）如圖，作D點關(guān)于BC的對稱點D，，連接DR與BC交于點P,

P西麗3所求；

D,

（2）；點D、E分別是AB、AC邊的中點,

ADE^jAABC中位線，

：BC=6,BC邊上的高為4,

；.DE=3,DD'=4,

D'E=y/DE2+DD'2=732+42=5,

.?.△PDE周長的最小值為：DE+D，E=3+5=8,

故答案為：8.

點評：此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑以及三角形中位線的知識，根據(jù)已知得出要求4PDE周長的

最小值，求出DP+PE的最小值即可是解題關(guān)鍵.

考點四、閱讀試題信息，借助已有數(shù)學(xué)思想方法解決新問題

例4(?重慶)己知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=90°,AD=2,BC=6,AB=3.E為

BC邊上一點，以BE為邊作正方形BEFG,使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同側(cè).

(1)當(dāng)正方形的頂點F恰好落在對角線AC上時，求BE的長：

(2)將(1)問中的正方形BEFG沿BC向右平移，記平移中的正方形BEFC為正方形BEFG,當(dāng)點E與

點C重合時停止平移.設(shè)平移的距離為t,正方形HEFG的邊EF與AC交于點M,連接BD,B，M,DM,

是否存在這樣的t,使ABUM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；

(3)在(2)間的平移過程中，設(shè)正方形BEFG與AADC重疊部分的面積為S,請直接寫出S與t之間的

函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍.

考點:相似三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；正方形的性質(zhì)；直角梯形.

專題：一代數(shù)幾何綜合題.

分析：(1)首先設(shè)正方形BEFG的邊長為x,易得△AGFs^ABC,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，

即可求得BE的長；

(2)首先利用△MECs/^ABC與勾股定理，求得B，M,DM與BD的平方，然后分別從若NDB，M=90。,

則DM2=B，M2+BT＞2,若NDB，M=90。，則DMP=B，M2+BT)2,若NBDM=90。，則B，M2=B'D2+DM2去分析，

即可得到方程，解方程即可求得答案；

(3)分別從當(dāng)叱乜一4時?，當(dāng)4一＜乜2時，當(dāng)2〈區(qū)10,時，當(dāng)10,＜乜4時去分析求解即可求得答案.

3333

解否［解：(1)如圖①，

圖①圖②

設(shè)正方形BEFG的邊長為X,

則BE=FG=BG=x,

VAB=3,BC=6,

AAG=AB-BG=3-x,

VGF/7BE,

AAAGF^AABC,

.AGGF

ABBC

解得：x=2,

即BE=2；

(2)存在滿足條件的t,

理由：如圖②，過點D作DHLBC于H,

則BH=AD=2,DH=AB=3,

由題意得：BB，=HE=t,HB，=|t-2|,EC=4-t,

VEF/7AB,

AAMECABC,

MEECME4-t

..---=----,即an----=----,

ABBC36

.\ME=2--t,

2

在RtZiB'ME中，B,M2=ME2+B,E2=22+(2--t)2=-t2-2t+8,

24

在RtZ^DHB'中，B'D2=DH2+B'H2=32+(t-2)2=t2-4t+13,

過點M作MNJ_DH于N,

則MN=HE=t,NH=ME=2--t,

2

.\DN=DH-NH=3-(2--t)=-t+l,

22

在RtADMN中，DM2=DN2+MN?=-t2+t+1,

4

(I)若NDB，M=90。，則DM2=B，M2+BD2,

即?t2+t+i=(J-t2-2t+8)+(t2-4t+13),

44

解得：t=--,

7

(11)若NB，MD=90。，則B，D2=B，M2+DM2,

即t?-4t+13=(—t2-342t+8)+(—t2+t+1),

44

解得：h=-3+歷，t2=-3-JT7(舍去)，

t=-3+Jl7；

(III)若NBDM=90°,則B'M2=BT)2+DM2,

即：—t2-2t+8=(t2-4t+13)+(—t2+t+l),

44

此方程無解，

(3)①如圖③，當(dāng)F在CD上時，EF：DH=CE：CH,

即2：3=CE：4,

84

...t=BB'=BC-B'E-EC=6-2--=一，

33

；ME=2't,

2

AFM=-t,

2

411I

當(dāng)0<t<一時，S=Sz\FMN=—XtX—t=?-t",

3224

②如圖④，當(dāng)G在AC上時，t=2,

DH33

EK=EC,tanZDCB=EC,---=—(4-t)=3—t,

CH44

3

.,.FK=2-EK=-t-l,

4

24

VNL=-AD=->

33

4

.\FL=t-一，

3

4114312

2

當(dāng)一＜仁20寸，S=SAFMN"SAFKL=—t*—(t—)(一t-1)=—t+t—；

3423483

③如圖⑤，當(dāng)G在CD上時，BC：CH=B,G：DH,

即B'C：4=2：3,

Q

解得：B'C=-,

3

2

AEC=4-t=B,C-2=-,

3

io

??1=---,

3

?.,BN’BC」(6-t)=3--t,

222

VGN=GB,-B'N=-t-l,

2

.??當(dāng)2V區(qū)—時，S=S辨彩GNMF-SAFKL=-x2x(—t-ln—t)—(t—)(—1-1)=—F+2t—,

322223483

④如圖⑥，當(dāng)一vta時,

3

圖⑤圖⑥

S=S松彩MNLK=Sw，?B'EKL-S棉影B'EMN=t+—.

22

綜上所述：

41

當(dāng)OWtS-時，S=-t2,

34

412

當(dāng)一e止2時,S=--t2+t-一；

383

當(dāng)2<tW—時，S=—t2+2t—，

383

當(dāng)此<飪4時，S=--t+-.

322

;點訊此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)以及勾股定理等知識.此題

難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與分類討論思想的應(yīng)用，注意輔助線的作法.

四、中考真題演練

1.(?寧波)鄰邊不相等的平行四邊形紙片，剪去一個菱形，余下一個四邊形，稱為第一次操作；在余下

的四邊形紙片中再剪去一個菱形，又剩下一個四邊形，稱為第二次操作；…依此類推，若第n次操作余下

的四邊形是菱形，則稱原平行四邊形為n階準菱形.如圖1,nABCD中，若AB=1,BC=2,則。ABCD為

1階準菱形.

(1)判斷與推理：

①鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是階準菱形；

②小明為了剪去一個菱形，進行了如下操作：如圖2,把口ABCD沿BE折疊(點E在AD上)，使點A落

在BC邊上的點F,得到四邊形ABFE.請證明四邊形ABFE是菱形.

(2)操作、探究與計算：

①已知。ABCD的鄰邊長分別為1,a(a>l),且是3階準菱形，請畫出WKBCD及裁剪線的示意圖，并在

圖形下方寫出a的值；

②己知nABCD的鄰邊長分別為a,b(a>b),滿足a=6b+r,b=5r,請寫出^ABCD是幾階準菱形.

|考點」圖形的剪拼;平行四邊形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；作圖一應(yīng)用與設(shè)計作圖.

分析：|(1)①根據(jù)鄰邊長分別為2和3的平行四邊形進過兩次操作即可得出所剩四邊形是菱形，即可得

出答案；

②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AE〃BF,進而得出AE=BF,即可得出答案；

(2)①利用3階準菱形的定義，即可得出答案；

?根據(jù)a=6b+r,b=5r,用r表示出各邊長，進而利用圖形得出q\BCD是幾階準菱形.

解答：解：(1)①利用鄰邊長分別為2和3的平行四邊形進過兩次操作，所剩四邊形是邊長為1的菱形,

破鄰邊長分別為2和3的平行四邊形是2階準菱形；

故答案為：2；

②由折疊知：ZABE=ZFBE,AB=BF,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

???AE〃BF,

AZAEB=ZFBE,

AZAEB=ZABE,

，AE=AB,

.'.AE=BF,

???四邊形ABFE是平行四邊形,

???四邊形ABFE是菱形；

(2)

①如圖所示:

②；a=6b+r,b=5r,

a=6x5r+r=31r；

如圖所示：

5r5r5r

故。ABCD是10階準菱形.

點評：此題主要考查了圖形的剪拼以及菱形的判定，根據(jù)己知n階準菱形定義正確將平行四邊形分割是解

2.（?淮安）閱讀理解

如圖1,ZXABC中，沿/BAC的平分線ABi折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿NBiAC的平分線A|B?

折疊，剪掉重復(fù)部分；…；將余下部分沿NB“A”C的平分線A“B用折疊，點時與點C重合，無論折疊多

少次，只要最后一次恰好重合，/BAC是AABC的好角.

小麗展示了確定/BAC是aABC的好角的兩種情形.情形一：如圖2,沿等腰三角形ABC頂角NBAC的

平分線ABi折疊，點B與點C重合；情形二：如圖3,沿/BAC的平分線ABi折疊，剪掉重復(fù)部分；將

余下部分沿/BIAIC的平分線AiB?折疊，此時點Bi與點C重合.

探究發(fā)現(xiàn)

⑴AABC中，NB=2NC,經(jīng)過兩次折疊，ZBAC是不是AABC的好角？（填“是”或“不是”）.

（2）小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了NBAC是AABC的好角，請?zhí)骄?B與/C（不妨設(shè)之間的等

量關(guān)系.根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n次折疊NBAC是aABC的好角，則NB與NC（不妨設(shè)NB>NC）

之間的等量關(guān)系為.

應(yīng)用提升

（3）小麗找到一個三角形，三個角分別為15。、60。、105。，發(fā)現(xiàn)60。和105。的兩個角都是此三角形的好角.

請你完成，如果一個三角形的最小角是4。，試求出三角形另外兩個角的度數(shù)，使該三角形的三個角均是此

三角形的好角.

考點：翻折變換（折疊問題）.

專題：壓軸題；規(guī)律型.

分析：（1）在小麗展示的情形二中，如圖3,根據(jù)根據(jù)三角形的外角定理、折疊的性質(zhì)推知/B=2NC；

（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)、根據(jù)三角形的外角定理知/A|A2B2=NC+NA2B2c=2NC；

根據(jù)四邊形的外角定理知NBAC+2/B-2c=180。①，根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知

ZBAC+ZB+ZC=180°@,由①②可以求得NB=3NC；

利用數(shù)學(xué)歸納法，根據(jù)小麗展示的三種情形得出結(jié)論：ZB=nZC：

（3）利用（2）的結(jié)論知NB=nNC,ZBAC是4ABC的好角，ZC=nZA,ZABC是4ABC的好角，

ZA=nZB,ZBCA是4ABC的好角；然后三角形內(nèi)角和定理可以求得另外兩個角的度數(shù)可以是88。、88°.

解答：：解：（1）Z^ABC中，ZB=2ZC,經(jīng)過兩次折疊，NBAC是AABC的好角；

理由如下：小麗展示的情形二中，如圖3,

?.?沿NBAC的平分線ABi折疊，

ZB=ZAAjBi；

又；將余下部分沿NBiAC的平分線A1B2折疊，此時點B,與點C重合，

.,.ZAiBiC=ZC；

；NAA|B產(chǎn)/C+NAiBC（外角定理），

；./B=2/C；

故答案是：是；

（2）ZB-3ZC；如圖所示，在AABC中，沿NBAC的平分線ABi折疊，剪掉重復(fù)部分；將余下部分沿

/BiAC的平分線A1B2折疊，剪掉重復(fù)部分，將余下部分沿NB2A2c的平分線A2B3折疊，點B2與點C

重合，則NBAC是aABC的好角.

證明如下：?.?根據(jù)折疊的性質(zhì)知，ZB=ZAAiBi，ZC=ZA2B2C,ZA,B|C=ZA|A2B2,

根據(jù)三角形的外角定理知，NAIA2B2=NC+NA2B2c=2NC；

?.,根據(jù)四邊形的外角定理知，ZBAC+ZB+ZAAiBrZA,B1C=ZBAC+2ZB-2C=180°,

根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知，ZBAC+ZB+ZC=180°,

.,.ZB=3ZC；

由小麗展示的情形一知，當(dāng)NB=NC時，NBAC是aABC的好角；

由小麗展示的情形二知，當(dāng)/B=2NC時，NBAC是AABC的好角；

由小麗展示的情形三知，當(dāng)NB=3NC時，NBAC是AABC的好角；

故若經(jīng)過n次折疊/BAC是△ABC的好角，則NB與ZC（不妨設(shè)NB>/C）之間的等量關(guān)系為/B=n/C：

（3）由（2）知，ZB=nZC,/BAC是AABC的好角，

；./C=n/A,/ABC是aABC的好角，/A=n/B,NBCA是AABC的好角，

如果一個三角形的最小角是4。，三角形另外兩個角的度數(shù)是4、172：8、168；16、160；44、132；88。、

88。.

|點評:本題考查了翻折變換（折疊問題）.解答此題時，充分利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角定理

以及折疊的性質(zhì).難度較大.

3.(?南京)下框中是小明對一道題目的解答以及老師的批改.

題目：某村計劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為2：1,在溫室內(nèi)，沿前側(cè)內(nèi)墻保留3m

的空地，其他三側(cè)內(nèi)墻各保留1m的通道，當(dāng)溫室的長與寬各為多少時,矩形蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2?

側(cè)

空疏菜種植區(qū)域

地

解：設(shè)矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為xm,則長為2xm,

根據(jù)題意，得x?2x=288.

解這個方程，得xi=-12(不合題意，舍去)，X2=12

所以溫室的長為2x12+3+1=28(m),寬為12+1+1=14(m)

答：當(dāng)溫室的長為28m,寬為14m時，矩形蔬菜種植區(qū)域的面積是288m

我的結(jié)果也正確！

小明發(fā)現(xiàn)他解答的結(jié)果是正確的，但是老師卻在他的解答中畫了一條橫線，并打了一個？.

結(jié)果為何正確呢？

(1)請指出小明解答中存在的問題，并補充缺少的過程：

變化一下會怎樣…

(2)如圖，矩形在矩形ABCD的內(nèi)部，AB〃A，B，，AD〃ATX,且AD：AB=2：1,設(shè)AB與

BC與BC、CD與C'D\DA與D，A，之間的距離分別為a、b、c、d,要使矩形ABCI/s矩形ABCD,a、

b、c、d應(yīng)滿足什么條件？請說明理由.

Af.D

d：前

側(cè)A'D'

空蔬菜種植區(qū)域

地B'C

I總虹相似多邊形的性質(zhì)；一元二次方程的應(yīng)用.

分布］(1)根據(jù)題意可得小明沒有說明矩形蔬菜種植區(qū)域的長與寬之比為2：1的理由，所以應(yīng)設(shè)矩形蔬

菜種植區(qū)域的寬為xm,則長為2xm,然后由題意得方程馬二士［=馬二二=2,矩形蔬菜種植區(qū)域的長

y-1-1_y-2

與寬之比為2：1,再利用小明的解法求解即可；

A'n'An

(2)由使矩形AB，CD's矩形ABCD,利用相似多邊形的性質(zhì)，可得--=—,即

A'B'AB

AD-(a+c)=2^然后利用比例的性質(zhì)，即可求得答案.

AB—(b+d)1

解答：解：(1)小明沒有說明矩形蔬菜種植區(qū)域的長與寬之比為2：1的理由.

在“設(shè)矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為xm,則長為2xm.”前補充以下過程：

設(shè)溫室的寬為ym,則長為2ym.

則矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為(y-1-1)m,長為(2y-3-l)m.

.2y—3—12y—4

.?-----------=----------=2,

y—l—ly—2

???矩形蔬菜種植區(qū)域的長與寬之比為2：1；

(2)要使矩形ABCD"矩形ABCD,

就要也=絲，即四土0=2,

A'B'ABAB-(b+d)1

2A8-（。+。）_2

即AB-3+d）=T

a+c

即-------=2.

b+d

點評：此題考查了相似多邊形的性質(zhì).此題屬于閱讀性題目，注意理解題意，讀懂題目是解此題的關(guān)鍵.

4.(?雞西)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt/XAOB的兩條直角邊OA、0B分別在y軸和x軸上，

并且OA、0B的長分別是方程x2-7x+12=0的兩根(OA<OB),動點P從點A開始在線段A0上以每秒

1個單位長度的速度向點0運動；同時，動點Q從點B開始在線段BA上以每秒2個單位長度的速度向點

A運動，設(shè)點P、Q運動的時間為t秒.

(1)求A、B兩點的坐標(biāo).

(2)求當(dāng)t為何值時，^APQ與AAOB相似，并直接寫出此時點Q的坐標(biāo).

(3)當(dāng)t=2時，在坐標(biāo)平面內(nèi)，是否存在點M,使以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形？若存

在，請直接寫出M點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

考點:相似形綜合題；解一元二次方程-因式分解法；平行四邊形的判定；矩形的性質(zhì)；相似三角形的判

定與性質(zhì).

那」(1)解一元二次方程，求出OA、0B的長度，從而得到A、B點的坐標(biāo)；

(27AAPQ與aAOB相似時，存在兩種情況，需要分類討論，不要遺漏，如圖(2)所示；

(3)本問關(guān)鍵是找齊平行四邊形的各種位置與性質(zhì)，如圖(3)所示.在求Mi，M2坐標(biāo)時，注意到M”

M?與Q點坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系，則容易求解；在求M；,坐標(biāo)時.，可以利用全等三角形，得到線段之間關(guān)系.

|解答：］解:(1)解方程X2-7X+12=0,得XI=3,X2=4,

VOA<OB,；.OA=3,0B=4.

AA(0,3),B(4,0).

(2)在RtZkAOB中,0A=3,0B=4,；.AB=5,；.AP=t,QB=2t,AQ=5-2t.

△APQ與aAOB相似，可能有兩種情況:

(I)△APQSAAOB,如圖(2)a所示.

則有叫箓修手

解得t=—.

11

止匕時OP=OA-AP=——，PQ=AP?tanA=——，AQ(—,—)；

11111111

(II)AAPQ^AABO,如圖(2)b所示.

APAQt5-2/25

則看——,即一=-----解得t=上.

ABAO5313

止匕時AQ=——,AH=AQ,cosA=—,HQ=AQ?sinA=——，OH=OA-AH=--,

13131313

,?,Q小蜜),

1c95201X

綜上所述，當(dāng)t='秒或t=B秒時，4APQ與AAOB相似，所對應(yīng)的Q點坐標(biāo)分別為(3，匕)或

111133111111

1230、

1313

(3)結(jié)論：存在.如圖(3)所示.

Vt=2,；.AP=2,AQ=1,OP=1.

43

過Q點作QE_Ly軸于點E,則QE=AQ?sin/QAP=1,AE=AQ?cosZQAP=-,

.12.,412、

??OE—OA-AE——,??Q(—t—).

555

42),

V^APQM],...QM|J_x軸，且QM|=AP=2,/?M](—，

55，

4以；

V°APQM,，QM2_Lx軸，且QM2=AP=2,M2(一，

255

如圖(3),過M3點作MsFLy軸于點F,

，；

V°AQPM3,M3P=AQ,ZQAE=ZM3PF,.?.ZPM3F=ZAQE

在△與中，

NhPFAQAEZQAE=ZM3PF,M3P=AQ,ZPM3F=ZAQE,

.,.△M3PF^AQAE,

43848、

.\MF=QE=-,PF=AE=-,??.OF=OP+PF=—，AM(---------91)?

3555355

.?.當(dāng)t=2時,在坐標(biāo)平面內(nèi)，存在點M,使以A、P、Q、M為頂點的四邊形是平行四邊形

4242248

點M的坐標(biāo)為：Mi(-,-),M2(—，一),M,(--,-).

555555

點誣：］本題是動點型壓軸題，綜合考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、解一元二

灰方程、平行四邊形等知識點.本題難點在于分類討論思想的應(yīng)用，第(2)(3)問中，均涉及到多種情

況，需要逐一分析不能遺漏：另外注意解答中求動點時刻t和點的坐標(biāo)的過程中，全等三角形、相似三角

形、三角函數(shù)等知識發(fā)揮了重要作用，這是解答壓軸題的常見技巧，需要熟練掌握.

5.(?長春)如圖，在RtZiABC中，ZACB=90°,AC=8cm,BC=4cm.D、E分別為邊AB、BC的中點,

連接DE.點P從點A出發(fā)，沿折線AD-DE-EB運動，到點B停止.點P在線段AD上以不cm/s的速度

運動，在折線DE-EB上以lcm/s的速度運動.當(dāng)點P與點A不重合時，過點P作PQAC于點Q,以PQ

為邊作正方形PQMN,使點M在線段AQ上.設(shè)點P的運動時間為t(s).

(1)當(dāng)點P在線段DE上運動時，線段DP的長為cm(用含t的代數(shù)式表示).

(2)當(dāng)點N落在AB邊上時，求t的值.

(3)當(dāng)正方形PQMN與AABC重疊部分圖形為五邊形時，設(shè)五邊形的面積為S(cm2),求S與t的函數(shù)

關(guān)系式.

(4)連接CD,當(dāng)點N與點D重合時，有一點H從點M出發(fā)，在線段MN上以2.5cm/s的速度沿M-N-M

連續(xù)做往返運動，直至點P與點E重合時，點H停止往返運動；當(dāng)點P在線段EB上運動時，點H始終

在線段MN的中點處，直接寫出在點P的整個運動過程中，點H落在線段CD上時t的取值范圍.

I考點：相似形綜合題.

分析力(1)點P在AD段的運動時間為2s,則DP的長度為(t-2)cm；

（2）當(dāng)點N落在AB邊上時，有兩種情況，如圖（2）所示.利用運動線段之間的數(shù)量關(guān)系求出時間t的

值；

（3）當(dāng)正方形PQMN與4ABC重疊部分圖形為五邊形時，有兩種情況，如圖（3）所示.分別用時間t

表示各相關(guān)運動線段的長度，然后利用“S=StwAQPD-SAAMF=L（PG+AC）?PC」AM?FM”求出面積S的表

22

達式；

（4）本問涉及雙點的運動，首先需要正確理解題意，然后弄清點H、點P的運動過程：

當(dāng)4<tV6時，此時點P在線段DE上運動，如圖（4）a所示.此時點H將兩次落在線段CD上；

當(dāng)6三氐8時■，此時點P在線段EB上運動，如圖（4）b所示.此時MN與CD的交點始終是線段MN的中

點，即點H.

I_解__答__解1：（1）?.?在RtZXABC中，AC=8cm,BC=4cm,

AB=yjAC2+BC2=V82+42=4石,

D為AB中點，；.AD=2逐，

...點P在AD段的運動時間為年=2s.

當(dāng)點P在線段DE上運動時?，DP段的運動時間為（t-2）s,

；DE段運動速度為；.DP=（t-2）cm.

（2）當(dāng)點N落在AB邊上時，有兩種情況，如下圖所示:

圖（2）a圖（2）b

①如圖（2）a,此時點D與點N重合，P位于線段DE上.

由三角形中位線定理可知，DM=-BC=2,；.DP=DM=2.

2

由（1）知，DP=t-2,：.t-2=2,.*.t=4；

②如圖（2）b,此時點P位于線段EB上.

?.?DE=LAC=4,...點P在DE段的運動時間為4s,

2

；.PE=t-6,/.PB=BE-PE=8-t,PC=PE+CE=t-4.

VPN/ZAC,APN：PB=AC：BC=2,；.PN=2PB=16-2t.

20

由PN=PC,得16-2t=t-4,解得t=—.

3

所以，當(dāng)點N落在AB邊上時，t=4或t=、20.

3

(3)當(dāng)正方形PQMN與aABC重疊部分圖形為五邊形時，有兩種情況，如下圖所示:

DP=t-2,PQ=2,.\CQ=PE=DE-DP=4-(t-2)=6-t,AQ=AC-CQ=2+t,AM=AQ-MQ=t.

VMN/7BC,AFM：AM=BC：AC=1：2,：.FM=-AM=-t.

22

S=SHSMAQPD"SZ\AMF=—(DP+AQ)*PQ—AM?FM=—[(t-2)+(2+t)]x2—t,—1=—t'+2t：

222224

20

②當(dāng)——<t<8時，如圖(3)b所示.

3

PE=t-6,；.PC=CM=PE+CE=t-4,AM=AC-CM=12-t,PB=BE-PE=8-t,

11

；.FM=—AM=6--1,PG=2PB=16-2t,

22

S=SWAQPD-SAAMF=-(PG+AC)?PC--AM?FM=-[(16-2t)+8]x(t-4)--(12-t)?(6--1)=--t2+22t-84.

222224

1,

--t2+2t(2<t<4)

綜上所述，S與t的關(guān)系式為：S=

520

--r2+22r-84(—<r<8)

43

(4)依題意，點H與點P的運動分為兩個階段，如下圖所示:

圖(4)a圖(4)b

①當(dāng)4Vt<6時，此時點P在線段DE上運動，如圖(4)a所示.

此階段點P運動時間為2s,因此點H運動距離為2.5x2=5cm,而MN=2,

則此階段中，點H將有兩次機會落在線段CD±：

第一次：此時點H由M->H運動時間為(t-4)s,運動距離MH=2.5(t-4)cm,.,.NH=2-MH=12-2.5t；

14

又DP=t-2,DN=DP-2=t4由DN=2NH得到：t-4=2(12-2.5t),解得t=一；

3

2

第二次：此時點H由N->H運動時間為t-4——=（t-4.8）s,運動距離NH=2.5（t-4.8）=2.5t-12；

2.5

又DP=t-2,DN=DP-2=t-4,由DN=2NH得到：t-4=2（2.5t-12），解得t=5；

②當(dāng)60tW8時，此時點P在線段EB上運動，如圖（4）b所示.

由圖可知，在此階段，始終有MH=，MC,即MN與CD的交點始終為線段MN的中點，即點H.

2

14

綜上所述，在點P的整個運動過程中，點H落在線段CD上時t的取值范圍是：t=—或t=5或6W￡8.

3

點評：本題是運動型綜合題，涉及到動點型（兩個動點）和動線型，運動過程復(fù)雜，難度頗大，對同學(xué)們

的解題能力要求很高.讀懂題意，弄清動點與動線的運動過程，是解題的要點.注意第（2）、（3）、（4）

問中，分別涉及多種情況，需要進行分類討論，避免因漏解而失分.

6.（?麗水）小明參加班長競選，需進行演講答辯與民主測評，民主測評時一人一票，按“優(yōu)秀、良好、一

般”三選一投票.如圖是7位評委對小明“演講答辯”的評分統(tǒng)計圖及全班50位同學(xué)民主測評票數(shù)統(tǒng)計圖.

評分規(guī)則：

演講答辯評委評分統(tǒng)計圖民主測評票數(shù)統(tǒng)計圖⑴演講答辯得分按“去

掉一個最高淵T最

低分，計算平均分”的方

法確定.

Q）民至測評得分“優(yōu)

秀”票數(shù)x2+”良好“票數(shù)

X1+”一股“票數(shù)x（k

（3侔合得分=演講答

辯得分X0.4+民主測評

得分x0.6

（1）求評委給小明演講答辯分數(shù)的眾數(shù),以及民主測評為“良好”票數(shù)的扇形圓心角度數(shù);

（2）求小明的綜合得分是多少？

（3）在競選中，小亮的民主測評得分為82分，如果他的綜合得分不小于小明的綜合得分，他的演講答辯

得分至少要多少分？

條形統(tǒng)計圖；一元一次不等式的應(yīng)用；扇形統(tǒng)計圖；加權(quán)平均數(shù)；眾數(shù).

（1）根據(jù)眾數(shù)的定義和所給的統(tǒng)計圖即可得出評委給小明演講答辯分數(shù)的眾數(shù)：用1減去一般和

S優(yōu)秀所占的百分比，再乘以360。，即可