2023-2024學(xué)年河南省商丘二中九年級(jí)（上）第二次月考數(shù)學(xué)試卷（11月份）

2023-2024九年級(jí)第二次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分。請(qǐng)選出各題中一個(gè)符合題意的正確選項(xiàng)，不選、多選、錯(cuò)選，均不給分）1．（4分）下列4個(gè)數(shù)字中，是中心對(duì)稱圖形的是（）A．

B．

C．

D．2．（4分）已知x＝1是方程x2﹣3x+c＝0的一個(gè)根，則實(shí)數(shù)c的值是（）A．﹣1

B．0

C．1

D．23．（4分）下列成語(yǔ)或詞語(yǔ)所反映的事件中，發(fā)生的可能性最小的是（）A．瓜熟蒂落

B．守株待兔

C．旭日東升

D．甕中捉鱉4．（4分）反比例函數(shù)y＝，關(guān)于其函數(shù)圖象下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．位于第二、四象限

B．圖象過(guò)點(diǎn)(-1，3)C．關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱

D．y隨x的增大而增大5．（4分）2021年9月份，全國(guó)新冠疫苗當(dāng)月接種量約為1.4億劑次，11月份新冠疫苗當(dāng)月接種量達(dá)到2.3億劑次，若設(shè)平均每月的增長(zhǎng)率為x，則下列方程中符合題意的是（）A．1.4x2＝2.3

B．1.4（1+x2）＝2.3

C．1.4（1+x）2＝2.3

D．1.4（1+2x）＝2.36．（4分）將一個(gè)圓心角為120°，半徑為6的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則該圓錐底面圓的半徑為（）A．2

B．6

C．6

D．187．（4分）如圖是三個(gè)反比例函數(shù)y＝＝＝在x軸上方的圖象，由此觀察k?，k?，k?的大小關(guān)系為（）

A．k1＞k2＞k3

B．k2＞k3＞k1

C．k3＞k2＞k1

D．k3＞k1＞k28．（4分）如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝8，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，DE∥AB，則S△BDE的最大值是（）A．3

B．4

C．5

D．69．（4分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△EDC，使點(diǎn)E在⊙O上，再將△EDC沿CD翻折，點(diǎn)E恰好與點(diǎn)A重合，已知∠BAC＝36°，則∠DCE的度數(shù)是（）A．24°

B．27°

C．30°

D．33°10．（4分）如圖，放置含30°的直角三角板，使點(diǎn)B在y軸上，點(diǎn)C在雙曲線y＝上，且AB⊥y軸，BC的延長(zhǎng)線交x軸于點(diǎn)D，若S△ACD＝3．則k＝（）

A．3

B．3

C．6

D．9二、填空題（本題有6小題，每小題5分，共30分）.11．（5分）拋物線y＝﹣2（x﹣3）2+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是

．12．（5分）植樹(shù)節(jié)過(guò)后，歷下區(qū)園林綠化管理局為了考察樹(shù)苗的成活率，于是進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)統(tǒng)計(jì)，表中記錄了樹(shù)苗的成活情況，則由此估計(jì)這種樹(shù)苗成活的概率約為

（結(jié)果精確到0.1）．移植總數(shù)n400150035007000900014000成活數(shù)m369133532036335807312628成活的頻率0.9230.8900.9150.9050.8970.90213．（5分）如圖，菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝3，分別以A，B，C，D為圓心，邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，得到一個(gè)眼狀圖形，則陰影部分的面積為

（結(jié)果保留π）．14．（5分）把一個(gè)球放入長(zhǎng)方體紙盒，球的一部分露出盒外，球與紙盒內(nèi)壁都剛好相切，其截面如圖所示，若露出部分的高度為6cm，AF＝DE＝3cm，則這個(gè)球的半徑是

cm．

15．（5分）把拋物線y＝x2﹣2x﹣c（c＞0）在直線y＝c上方部分沿直線y＝c對(duì)折，若對(duì)折后的部分在x軸上截得的線段長(zhǎng)是6個(gè)單位，則c＝

．16．（5分）如圖是三個(gè)正方形組成的圖案，實(shí)線圍成的三個(gè)封閉部分面積分別為S1，S2，S3，若S1＝1，則S2＝

，S3＝

．三、解答題（第17～20題，每題8分，第21題10分，第22～23題，每題12分，第24題14分，共80分）17．（8分）解方程：x2﹣6x+5＝0（兩種方法）．18．（8分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，3），B（﹣1，0），C（3，﹣1）（每個(gè)方格的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度）．（1）將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后得到的△AB1C1；（2）直接寫(xiě)出在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)C經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)坐標(biāo)（C，C1除外，格點(diǎn)指小正方形的頂點(diǎn)）．

19．（8分）二胎政策實(shí)施后，甲、乙兩個(gè)家庭都有了各自的規(guī)劃，假定生男生女的概率相同，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）甲家庭已有一個(gè)男孩，準(zhǔn)備再生一個(gè)孩子，則第二個(gè)孩子是女孩的概率是

；（2）乙家庭沒(méi)有孩子，準(zhǔn)備生兩個(gè)孩子，用列表或樹(shù)狀法求至少有一個(gè)孩子是女孩的概率．20．（8分）如圖，D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長(zhǎng)線上，且∠CDA＝∠CBD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AC＝8，CD＝12，求半徑的長(zhǎng)度．21．（10分）如圖，一次函數(shù)y1＝k1x+b（x＞0）的圖象與反比例函數(shù)y2＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A（m，6）、點(diǎn)B（3，2）．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象直接寫(xiě)出：當(dāng)x為

時(shí)，k1x+b﹣＜0．

22．（12分）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)，（1）觀察猜想：如圖1，當(dāng)∠BAC＝90°，點(diǎn)D在BC上時(shí)，探究BD2、DC2與AD2之間的數(shù)量關(guān)系，我們可以把△ABD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ACE，根據(jù)圖形，請(qǐng)你通過(guò)探究直接寫(xiě)出BD2、DC2與AD2之間的數(shù)量關(guān)系：

；（2）類比探究：如圖2，當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，將△ABD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCE，若D、E、C三點(diǎn)在一直線上，求∠ADB的度數(shù)；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，已知∠BAC＝∠BDA＝120°，DC＝10，AD＝2，求BD的長(zhǎng)．

23．（12分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，CD平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，OE⊥AC交AC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，連接BD．（1）如圖1，求∠OFD的度數(shù)．（2）如圖2，過(guò)O作OG⊥CD于G，交BC于H，求證：BH＝OF；

（3）如圖3，連接BF，若BF＝BD，OF＝1，求⊙O半徑（畫(huà)出輔助線，寫(xiě)出簡(jiǎn)要過(guò)程）．

24．（14分）疫情就是命令，臺(tái)州新冠疫情防控指揮部安排某中學(xué)進(jìn)行了核酸檢測(cè)采樣演練，演練下午3點(diǎn)開(kāi)始，設(shè)6個(gè)采樣窗口，每個(gè)窗口采樣速度相同，學(xué)生陸續(xù)到操場(chǎng)排隊(duì)，4點(diǎn)半排隊(duì)完畢，小明就排隊(duì)采樣的時(shí)間和人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到下表：時(shí)間x（分）0153045759095100110人數(shù)y（個(gè)）601151601952352401801200小明把記錄的數(shù)據(jù)，在平面直角坐標(biāo)系里，描成點(diǎn)連成線，發(fā)現(xiàn)滿足學(xué)過(guò)的某些函數(shù)圖象如圖，請(qǐng)你解答：（1）求曲線ABC部分的函數(shù)解析式；（2）若排隊(duì)人數(shù)在220人及以上，即為滿負(fù)荷狀態(tài)，問(wèn)滿負(fù)荷狀態(tài)的時(shí)間持續(xù)多長(zhǎng)？（3）如果采樣進(jìn)行45分鐘后，為了減少扎堆排隊(duì)的時(shí)間，指揮部要求4點(diǎn)15分后，采樣可以隨到隨采，那么至少需新增多少個(gè)采樣窗口？（4）疫情防控指揮部按照每個(gè)采樣窗口與某中學(xué)相同采樣速度對(duì)員工人數(shù)為600的某單位進(jìn)行全員核酸檢測(cè)，如果采樣時(shí)間t（分鐘）控制在30分鐘到60分鐘之間（即30≤t≤60），則開(kāi)設(shè)的采樣窗口數(shù)量n（個(gè)）的范圍是

．

參考答案1．A．2．D．3．（B．4．D．5．C．6．A．7．C．8．B．9．B．10．C．11．（5分）拋物線y＝﹣2（x﹣3）2+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3，5）．【分析】因?yàn)閥＝﹣2（x﹣3）2+5是二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，根據(jù)頂點(diǎn)式可直接寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)．

【解答】解：∵拋物線解析式為y＝﹣2（x﹣3）2+5，∴二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3，5）．故答案為（3，5）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)式，可確定拋物線的開(kāi)口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)（對(duì)稱軸），最大（最?。┲?，增減性等．12．（5分）植樹(shù)節(jié)過(guò)后，歷下區(qū)園林綠化管理局為了考察樹(shù)苗的成活率，于是進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)統(tǒng)計(jì)，表中記錄了樹(shù)苗的成活情況，則由此估計(jì)這種樹(shù)苗成活的概率約為

0.9（結(jié)果精確到0.1）．移植總數(shù)n400150035007000900014000成活數(shù)m369133532036335807312628成活的頻率0.9230.8900.9150.9050.8970.902【分析】用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．【解答】解：根據(jù)表格數(shù)據(jù)可知：樹(shù)苗移植成活的頻率近似值為0.9，所以估計(jì)這種樹(shù)苗移植成活的概率約為0.9．故答案為：0.9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率，大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件發(fā)生的頻率在某個(gè)固定位置左右擺動(dòng)，并且擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，根據(jù)這個(gè)頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢(shì)來(lái)估計(jì)概率，這個(gè)固定的近似值就是這個(gè)事件的概率．13．（5分）如圖，菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝3，分別以A，B，C，D為圓心，邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，得到一個(gè)眼狀圖形，則陰影部分的面積為

3π（結(jié)果保留π）．

【分析】由圖可知，陰影部分的面積是兩個(gè)圓心角為60°，且半徑為3的扇形的面積，可據(jù)此求出陰影部分的面積．【解答】解：菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝3，∴△ABD是等邊三角形，∴AD＝AB＝BD，∴S弓形AD＝S弓形BD，∴S陰影＝2S扇形＝3π，故答案為：3π．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了扇形的面積公式，菱形的性質(zhì)，得出S陰影＝2S扇形是解題關(guān)鍵．14．（5分）把一個(gè)球放入長(zhǎng)方體紙盒，球的一部分露出盒外，球與紙盒內(nèi)壁都剛好相切，其截面如圖所示，若露出部分的高度為6cm，AF＝DE＝3cm，則這個(gè)球的半徑是

15cm．【分析】過(guò)O作OG⊥AD于G，交⊙O于H，連接OE，設(shè)半徑為r

cm，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

【解答】解：過(guò)O作OG⊥AD于G，交⊙O于H，連接OE，∴FG＝EG，∵AF＝DE＝3cm，設(shè)半徑為r

cm，則OG＝（r﹣6）cm，OE＝r

cm，EG＝（r﹣3）cm，根據(jù)勾股定理得，（r﹣3）2+（r﹣6）2＝r2，解得：r＝15或3（舍），答：這個(gè)球的半徑為15cm．故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理及勾股定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的作出輔助線構(gòu)造直角三角形．15．（5分）把拋物線y＝x2﹣2x﹣c（c＞0）在直線y＝c上方部分沿直線y＝c對(duì)折，若對(duì)折后的部分在x軸上截得的線段長(zhǎng)是6個(gè)單位，則c＝．【分析】根據(jù)題意對(duì)折后的部分在x軸上截得的線段長(zhǎng)是6個(gè)單位，相當(dāng)于拋物線y＝x2﹣2x﹣c在直線y＝2c上截得的線段長(zhǎng)度是6個(gè)單位，然后解方程x2﹣2x﹣c＝2c，方程的解的差的絕對(duì)值＝6求出c即可．【解答】解：將拋物線y＝x2﹣2x﹣c（c＞0）在直線y＝c上方部分沿直線y＝c對(duì)折，而對(duì)折后的部分在x軸上截得的線段長(zhǎng)是6個(gè)單位，相當(dāng)于拋物線y＝x2﹣2x﹣c在直線y＝2c上截得的線段長(zhǎng)度是6個(gè)單位，

∴當(dāng)y＝2c時(shí)，x2﹣2x﹣c＝2c，則x2﹣2x﹣3c＝0，解得：x1＝1﹣2＝1+∴1+﹣（1﹣）＝6，2＝6，∴1+3c＝9，解得：c＝故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)，關(guān)鍵是理解題意把對(duì)折部分在x軸上截得的線段長(zhǎng)進(jìn)行轉(zhuǎn)化．16．（5分）如圖是三個(gè)正方形組成的圖案，實(shí)線圍成的三個(gè)封閉部分面積分別為S1，S2，S3，若S1＝1，則S2＝，S3＝．【分析】由正方形的性質(zhì)可得：正方形ABCD的頂點(diǎn)C是正方形BDFE的中心，則延長(zhǎng)BC必經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，延長(zhǎng)DC比經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則正方形BDFE的邊長(zhǎng)為a，利用勾股定理可得正方形AFGH的邊長(zhǎng)；利用AD∥BF，可得△ABD與△ADF為同底等高的三角形，再利用面積割補(bǔ)法可得S3與正方形BDFE的面積相等；利用S1＝S正方形AFGH﹣S2＝S正方形AFGH﹣S正方形BDFE，列出方方程即可求得a2的值，則結(jié)論可得．

【解答】解：如圖，由正方形的性質(zhì)可得：正方形ABCD的頂點(diǎn)C是正方形BDFE的中心，則延長(zhǎng)BC必經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，延長(zhǎng)DC比經(jīng)過(guò)點(diǎn)E，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，則正方形BDFE的邊長(zhǎng)為a，∴BF＝2BC＝2a．∴AF＝＝a．即正方形AFGH的邊長(zhǎng)為a．∵AD∥BF，∴S△ADB＝S△ADF．∴＝a2．∴S△ABM＝S△DFM．∴S3＝S正方形BDFE＝2a2．∵S1＝S正方形AFGH﹣S2＝S正方形AFGH﹣S正方形BDFE，∴5a2﹣2a2＝1．

∴a2＝．∴S2＝3＝．故答案為：；．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，利用平行線的性質(zhì)和同底等高的三角形面積相等以及利用面積割補(bǔ)法解答是解題的關(guān)鍵．三、解答題（第17～20題，每題8分，第21題10分，第22～23題，每題12分，第24題14分，共80分）17．（8分）解方程：x2﹣6x+5＝0（兩種方法）．【分析】利用因式分解法和配方法解方程．【解答】解：方法一：（x﹣5）（x﹣1）＝0，x﹣5＝或x﹣1＝0，所以x1＝5，x2＝1；方法二：x2﹣6x＝﹣5，x2﹣6x+9＝4，（x﹣3）2＝4，x﹣3＝±2，所以x1＝5，x2＝1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．18．（8分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，3），B（﹣1，0），C（3，﹣1）（每個(gè)方格的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度）．

（1）將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后得到的△AB1C1；（2）直接寫(xiě)出在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)C經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)坐標(biāo)（C，C1除外，格點(diǎn)指小正方形的頂點(diǎn)）．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后得到的△AB1C1；（2）根據(jù)網(wǎng)格和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可寫(xiě)出在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)C經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）如圖，△AB1C1即為所求；（2）點(diǎn)C經(jīng)過(guò)的格點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，0），（5，3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．19．（8分）二胎政策實(shí)施后，甲、乙兩個(gè)家庭都有了各自的規(guī)劃，假定生男生女的概率相同，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：（1）甲家庭已有一個(gè)男孩，準(zhǔn)備再生一個(gè)孩子，則第二個(gè)孩子是女孩的概率是

；

（2）乙家庭沒(méi)有孩子，準(zhǔn)備生兩個(gè)孩子，用列表或樹(shù)狀法求至少有一個(gè)孩子是女孩的概率．【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；（2）畫(huà)樹(shù)狀圖展示所有4種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出至少有一個(gè)孩子是女孩的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【解答】解：（1）第二個(gè)孩子是女孩的概率為；故答案為：；

（2）畫(huà)樹(shù)狀圖為：共有4個(gè)等可能的結(jié)果數(shù)，其中至少有一個(gè)孩子是女孩的結(jié)果數(shù)為3個(gè)，∴至少有一個(gè)孩子是女孩的概率為．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法或樹(shù)狀圖法求概率．用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．20．（8分）如圖，D為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C在直徑BA的延長(zhǎng)線上，且∠CDA＝∠CBD．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）若AC＝8，CD＝12，求半徑的長(zhǎng)度．【分析】（1）連接OD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得∠DAB+∠DBA＝90°，再由∠CDA＝∠CBD可得∠CDA+∠DAO＝90°，然后利用OD＝OA證出∠DAB＝∠ADO，從而得∠CDO＝90°，根據(jù)切線的判定即可得出；

（2）在Rt△CDO中利用勾股定理列出關(guān)于r的方程即可解答．【解答】（1）證明：連接OD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵∠CDA＝∠CBD，∴∠DAB+∠CDA＝90°，∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO，∴∠CDA+∠ADO＝90°，∴∠CDO＝90°，∵OD是⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：在Rt△CDO中，CD2+OD2＝OC2，∴122+r2＝（8+r）2，∴r＝5，∴半徑的長(zhǎng)度為5．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，熟練掌握切線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（10分）如圖，一次函數(shù)y1＝k1x+b（x＞0）的圖象與反比例函數(shù)y2＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A（m，6）、點(diǎn)B（3，2）．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）根據(jù)圖象直接寫(xiě)出：當(dāng)x為

0＜x＜1或x＞3時(shí)，k1x+b﹣＜0．【分析】（1）把B點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式可求得k2的值，把點(diǎn)A（m，8）代入求得的反比例函數(shù)的解析式求得m，然后利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式；（2）直接由A、B的坐標(biāo)可求得答案．

故答案為：0＜x＜1或x＞3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．22．（12分）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D為平面內(nèi)一點(diǎn)，（1）觀察猜想：如圖1，當(dāng)∠BAC＝90°，點(diǎn)D在BC上時(shí)，探究BD2、DC2與AD2之間的數(shù)量關(guān)系，我們可以把△ABD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ACE，根據(jù)圖形，請(qǐng)你通過(guò)探究直接寫(xiě)出BD2、DC2與AD2之間的數(shù)量關(guān)系：CD2+BD2＝2AD2；（2）類比探究：如圖2，當(dāng)∠BAC＝60°時(shí)，點(diǎn)D為△ABC外一點(diǎn)，將△ABD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCE，若D、E、C三點(diǎn)在一直線上，求∠ADB的度數(shù)；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，已知∠BAC＝∠BDA＝120°，DC＝10，AD＝2，求BD的長(zhǎng)．【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)知AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝90°，∠B＝∠ACE，BD＝CE，由等腰三角形的性質(zhì)可證∠DCE＝90°，從而得出CD2+CE2＝DE2＝2AD2；（2）連接DE，由（1）同理可得△BDE是等邊三角形，得∠BED＝60°，則有∠BEC＝∠ADB＝120°；（3）將△ADB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△ACE，連接DE，作AH⊥DE于H，可得△ADE是頂角為120°的等腰三角形，則∠DEC＝90°，再求出DH的長(zhǎng)，從而得出DE，再利用勾股定理即可得出答案．

【解答】解：（1）將△ABD繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得△ACE，連接DE，則AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝90°，∠B＝∠ACE，BD＝CE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠DCE＝90°，∴CD2+CE2＝DE2＝2AD2，∴BD2+CD2＝2AD2，故答案為：CD2+BD2＝2AD2；（2）如圖，連接DE，∵將△ABD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到△BCE，∴BD＝BE，∠DBE＝∠ABC＝60°，∠ADB＝∠BEC，∴△BDE是等邊三角形，∴∠BED＝60°，∴∠BEC＝∠ADB＝120°，∴∠ADB的度數(shù)為120°；（3）將△ADB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°得△ACE，連接DE，作AH⊥DE于H，

∴∠AEC＝∠ADB，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝120°，∴∠AED＝30°，∴∠DEC＝∠AEC﹣∠AED＝90°，∵AD＝2∴AH＝∴DH＝3，∵AD＝AE，AH⊥DE，∴DE＝2DH＝6，在Rt△DEC中，由勾股定理得，CE＝8，∴BD＝CE＝8，∴BD的長(zhǎng)為8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，采取類比的方法是解題的關(guān)鍵．23．（12分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB為直徑，CD平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，OE⊥AC交AC于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F，連接BD．（1）如圖1，求∠OFD的度數(shù)．（2）如圖2，過(guò)O作OG⊥CD于G，交BC于H，求證：BH＝OF；（3）如圖3，連接BF，若BF＝BD，OF＝1，求⊙O半徑（畫(huà)出輔助線，寫(xiě)出簡(jiǎn)要過(guò)程）．

【分析】（1）可證得△CEF是等腰直角三角形，進(jìn)而求得結(jié)果；（2）連接CF，證明△COF≌△OBH，從而命題得證；（3）設(shè)EF＝a，半徑OA＝r，表示出AE和OE，BD和DH，利用△AOE∽△BDH求得a，進(jìn)而求得r．【解答】（1）解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACF＝∵OE⊥AC，∴∠FEC＝90°，∴∠CFE＝90°﹣∠ACF＝90°﹣45°＝45°，∴∠OFD＝∠CFE＝45°；（2）證明：如圖1，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，

∵OG⊥CD，∴∠CGH＝90°，∵∠BCD＝45°，∴∠CHG＝90°﹣∠BCD＝45°，∴∠CBO+∠BOH＝∠CHG＝45°，∠GCO+∠OCB＝∠GCH＝45°，∴∠GCO＝∠HOB，在△COF和△OBH中，∴△COF≌△OBH（AAS），∴BH＝OF；（3）解：如圖2，設(shè)EF＝a，半徑OA＝r，作OG⊥CD于G，BH⊥CD于H，∵BF＝BD，∴DH＝∵△CEF是等腰直角三角形，∴CE＝EF＝a，CF＝

∵OE⊥AC，∴AE＝CE＝a，∵OF＝1，∴OE＝OF+EF＝a+1，∵△GOF是等腰直角三角形，∴GF＝OG＝∴CG＝CF+GF＝∴CD＝2CG＝2∴DF＝CD﹣CF＝2＝∴DH＝＝∴∠D＝∠CAB，∵∠AEO＝∠BHD＝90°，∴a＝1，在Rt△AOE中，由勾股定理得，r2＝a2+（a+1）2＝12+22＝5，

∴⊙O的半徑是．【點(diǎn)評(píng)】本題是圓的綜合題，考查了垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是分析數(shù)量關(guān)系，表示出重要數(shù)量，利用相似三角形性質(zhì)列方程．24．（14分）疫情就是命令，臺(tái)州新冠疫情防控指揮部安排某中學(xué)進(jìn)行了核酸檢測(cè)采樣演練，演練下午3點(diǎn)開(kāi)始，設(shè)6個(gè)采樣窗口，每個(gè)窗口采樣速度相同，學(xué)生陸續(xù)到操場(chǎng)排隊(duì)，4點(diǎn)半排隊(duì)完畢，小明就排隊(duì)采樣的時(shí)間和人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到下表：小明把記錄的數(shù)據(jù)，在平面直角坐標(biāo)系里，描成點(diǎn)連成線，發(fā)現(xiàn)滿足學(xué)過(guò)的某些函數(shù)圖象如圖，請(qǐng)你解答：（