《橢圓的簡單幾何性質(zhì)（第2課時）》教學(xué)設(shè)計(jì)

PAGEPAGE82.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)（第2課時）（名師：張遠(yuǎn)建）一、教學(xué)目標(biāo)1.核心素養(yǎng)發(fā)展直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、等價轉(zhuǎn)化的素養(yǎng)2.學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）會判斷直線與橢圓的位置關(guān)系.（2）能夠解決直線與橢圓相交產(chǎn)生的相關(guān)弦長、定值、取值范圍等問題，初步理解方程思想和“設(shè)而不解”思想在解題過程中的應(yīng)用.（3）理解解析法解決問題的基本思想，掌握用方程研究曲線問題的基本方法.3.學(xué)習(xí)重點(diǎn)直線與橢圓的位置關(guān)系,初步理解方程思想和“設(shè)而不解”思想在解題過程中的應(yīng)用.4.學(xué)習(xí)難點(diǎn)解決直線與橢圓相交產(chǎn)生的相關(guān)弦長、定值、取值范圍等問題.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)任務(wù)1例4，思考橢圓在生活中還有那些應(yīng)用?思考直線與橢圓有那些位置關(guān)系?任務(wù)2回憶橢圓的有那些幾何性質(zhì)?2.預(yù)習(xí)自測1.兩個正數(shù)的等差中項(xiàng)是，等比中項(xiàng)是，則橢圓的離心率等于()A.B.C. D.答案：C解析：橢圓的幾何性質(zhì)2.已知橢圓的焦點(diǎn)分別是是橢圓上一點(diǎn)，若連接三點(diǎn)恰好能構(gòu)成直角三角形，則點(diǎn)到軸的距離是()A. B．C. D.答案：A解析：，∴.設(shè)，代入橢圓方程得.即點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是.（二）課堂設(shè)計(jì)1.知識回顧（1）一元二次方程的根的判別式為；求根公式為．（2）一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若是方程的兩個根，則，．（3）平面內(nèi)兩點(diǎn)之間的距離公式為2.問題探究問題探究一橢圓幾何性質(zhì)在生活中的應(yīng)用例1.某宇宙飛船的運(yùn)行軌道是以地球中心為焦點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)距地面，遠(yuǎn)地點(diǎn)距離地面，地球半徑為，則飛船運(yùn)行軌道的短軸長為()A．B.C．D．【知識點(diǎn)：橢圓的幾何性質(zhì)】詳解：由題意可得．即，，所以橢圓的短軸長為，故選A.★▲問題探究二直線與橢圓的位置關(guān)系1.設(shè)直線方程為，橢圓，聯(lián)立方程得根據(jù)方程解得情況，便可確定直線與橢圓的位置關(guān)系．通常消去方程組的一個變量，得到關(guān)于另一個變量的一元二次方程，一般地：直線與橢圓相交直線與橢圓有兩個公共點(diǎn)；直線與橢圓相切直線與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)直線與橢圓相離直線與橢圓無公共點(diǎn)2.弦長問題設(shè)直線方程為交橢圓于點(diǎn)兩點(diǎn)，則同理可得例2(1)當(dāng)為何值時，直線與橢圓相交、相切、相離?(2)若，求直線與橢圓相交的弦AB的長.【知識點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，二元二次方程組的解法，判別式與違達(dá)定理，弦長公式；數(shù)學(xué)思想：分類的思想】詳解：(1)由消去化簡得(2)當(dāng)m=1，則，直線與橢圓相交，則得設(shè),則：，例3.過點(diǎn)的直線與中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上且離心率為的橢圓相交于、兩點(diǎn)，直線過線段的中點(diǎn)，同時橢圓上存在一點(diǎn)與右焦點(diǎn)關(guān)于直線對稱，試求直線與橢圓的方程．【知識點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，對稱問題，直線的方程】詳解1：由，得，從而.設(shè)橢圓的方程為，在橢圓上．則，兩式相減得，，即.設(shè)線段的中點(diǎn)為，則.又在直線上，所以，于是，故，所以直線的方程為.設(shè)右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得.由點(diǎn)在橢圓上，得，則，故.所以所求橢圓的方程為，直線的方程為.詳解2：由，得，從而，.設(shè)橢圓的方程為，直線的方程為．將直線的方程代入橢圓C的方程，得，則，故.又直線過線段的中點(diǎn)，則，解得或.若，則直線的方程為，焦點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)就是點(diǎn)本身，不可能在橢圓上，所以舍去，從而，故直線的方程為，即，以下同方法1.點(diǎn)拔：由題設(shè)情境中點(diǎn)在直線上，聯(lián)想“點(diǎn)差法”，從而應(yīng)用點(diǎn)差法及點(diǎn)在直線上而求得直線的方程，進(jìn)一步應(yīng)用對稱的幾何性質(zhì)求得“對稱點(diǎn)”，利用“對稱點(diǎn)”在橢圓上求得橢圓方程，同時應(yīng)注意，涉及弦的中點(diǎn)與弦的斜率問題常常可應(yīng)用“點(diǎn)差法”求解．例4設(shè)直線與橢圓相交于、兩個不同的點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，記為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)證明：；(2)若，求的面積的最大值．【知識點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，二元二次方程組的解法，判別式與違達(dá)定理，三角形的面積，基本不等式】【分析】(1)聯(lián)立方程、消元、利用易證．(2)結(jié)合條件分析出易求．詳解：(1)證明：依題意，當(dāng)時，由知，，顯然成立．當(dāng)時，可化為.將代入，消去，得.①由直線與橢圓相交于兩個不同的點(diǎn)，得，化簡整理得.原命題得證(2)設(shè)，由題意知．由①得，②因?yàn)橛?，?③由②③聯(lián)立，解得，△的面積.上式取等號的條件是，所以的最大值為例5.已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為且橢圓E上一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)距離之和為是過點(diǎn)P(0,2)且互相垂直的兩條直線交E于A,B兩點(diǎn)交E于C,D兩點(diǎn),AB,CD的中點(diǎn)分別為M,N.(1)求橢圓E的方程;(2)求的斜率k的取值范圍;(3)求的取值范圍.【知識點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，二元二次方程組的解法，判別式與違達(dá)定理，平面向量的數(shù)量積，直線的斜率】解：(1)設(shè)橢圓方程為由得∴橢圓方程為.(2)由題意知,直線的斜率存在且不為零.∵:y=kx+2,∴:.由消去y并化簡整理,得.根據(jù)題意解得.同理得∴.(3)設(shè)那么∴∴同理得即.∴.∵∴.∴即的取值范圍是.3.課堂總結(jié)【知識梳理】（1）直線，與圓錐曲線C：交于兩點(diǎn).則或（2）橢圓的通徑：過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于長軸的直線被橢圓截得的弦稱為橢圓的通徑，通徑長為（3）已知弦的中點(diǎn)，研究的斜率和方程AB是橢圓的一條弦，是AB的中點(diǎn)，則，點(diǎn)差法求弦的斜率步驟是：（1）將端點(diǎn)坐標(biāo)代入方程：（2）兩等式對應(yīng)相減：（3）分解因式整理：【重難點(diǎn)突破】1.涉及直線與橢圓位置關(guān)系問題時，注意判別式及韋達(dá)定理的運(yùn)用，特別是函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用．2.注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用要注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.在做題時候，最好先畫出草圖，注意觀察、分析圖象的特征，將形與數(shù)結(jié)合起來.3.中點(diǎn)弦問題若問題涉及弦的中點(diǎn)及直線斜率問題，可考慮“點(diǎn)差法”，即把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然后兩式作差，同時常與根與系數(shù)的關(guān)系綜合應(yīng)用.4.隨堂檢測1.直線與橢圓的位置關(guān)系為（）A．相交B．相切C．相離D．不確定答案：A解析：【知識點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系】2.直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)P、Q，若PQ的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則弦長|PQ|等于____________.答案：解析：【知識點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，弦長】由于，消去整得.，，得，從而，因此（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.直線與橢圓的兩個交點(diǎn)在軸上的射影恰為橢圓的兩個焦點(diǎn)，則橢圓的離心率等于（）A.B.C. D.解析：【知識點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的幾何性質(zhì)】答案：B2.直線與橢圓有兩個交點(diǎn)時，的取值范圍是()A.B.C. D.答案：A解析：【知識點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系】3.過橢圓的左焦點(diǎn)作傾斜角為的弦，則弦的長為（）A.B.C. D.答案：B解析：【知識點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系】4．若過橢圓內(nèi)一點(diǎn)的弦被該點(diǎn)平分，則該弦所在直線的方程是________．答案：解析：【知識點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系】設(shè)直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立得，設(shè)交點(diǎn)，，則，解得，所以直線方程為.5.設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率.已知點(diǎn)到這個橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離為，求這個橢圓的方程．答案：見解析解析：【知識點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，橢圓的幾何性質(zhì)】設(shè)橢圓方程為，為橢圓上的點(diǎn)，由得.，若，則當(dāng)時，最大，即，則，故舍去．若時，則當(dāng)時，最大，即，解得.∴所求方程為.能力型師生共研6.已知直線l與橢圓交于、兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為P,設(shè)直線l的斜率為直線OP的斜率為則的值等于（）A.B.C. D.答案：D解析：【知識點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系】設(shè)則.由相減得.故.7.已知橢圓若在此橢圓上存在不同的兩點(diǎn)A、B關(guān)于直線y=4x+m對稱,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A. B.C. D.答案：B解析：【知識點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系】設(shè)的中點(diǎn)為M(x,y),由題意知①②①②兩式相減得即即y=3x,與y=4x+m聯(lián)立得x=-m,y=-3m,而M(x,y)在橢圓的內(nèi)部,則即.8.若直線和圓沒有公共點(diǎn)，則過點(diǎn)的直線與橢圓的交點(diǎn)個數(shù)為_______.答案：2解析：【知識點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系】由，得.而，即點(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以過點(diǎn)的直線與橢圓相交，即有個交點(diǎn).探究型多維突破9.已知焦點(diǎn)為的橢圓與直線l:x+y-9=0有公共點(diǎn),則橢圓長軸長的最小值是()A. B.170 C. D.答案：A解析：【知識點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系】方法一:依題意,設(shè)橢圓方程為0),且c=2,則.將橢圓方程與直線方程聯(lián)立,得消去參數(shù)y,整理得：.因?yàn)橹本€l與橢圓有公共點(diǎn),所以即整理得.解得或舍去),∴即橢圓長軸長的最小值為.方法二:如圖,可設(shè)P為橢圓與直線l的公共點(diǎn),則||+||=2a所以問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)P在l上運(yùn)動時,求||+||的最小值.作關(guān)于l的對稱點(diǎn)′則解得即′(9,7).所以||+||=||+|′||′|即橢圓長軸長的最小值為.10.已知橢圓0)的一個焦點(diǎn)在直線l:x=1上,其離心率.設(shè)P、Q為橢圓上不同的兩點(diǎn),且弦PQ的中點(diǎn)T在直線l上,點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)試證:對于所有滿足條件的P、Q,恒有|RP|=|RQ|.答案：見解析解析：【知識點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，數(shù)學(xué)思想：等價轉(zhuǎn)化】(1)橢圓的一個焦點(diǎn)在直線l:x=1上,所以c=1.又因?yàn)殡x心率即所以a=2,從而.所以橢圓的方程為.(2)證明:設(shè)則.又因?yàn)镻、Q都在橢圓上,所以兩式相減得因?yàn)辄c(diǎn)T是PQ的中點(diǎn),所以于是所以即,所以,即RT是線段PQ的垂直平分線,所以恒有|RP|=|RQ|.四、自助餐1.直線被橢圓所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.B.C. D.答案：C解析：【知識點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系】2.已知直線，橢圓，則直線與橢圓的公共點(diǎn)的個數(shù)為（）A.B.C. D.答案：C解析：【知識點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系】3.過橢圓的右焦點(diǎn)作一條斜率為2的直線與橢圓相交于為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的面積為（）A.B.C. D.答案：A解析：【知識點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系】4.已知橢圓，在橢圓上求一點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離最小，并求出這個最小值.答案：見解析解析：【知識點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系】設(shè)與直線平行且與橢圓相切的直線方程為由消去得則得，當(dāng)時，由圖不符合題意，舍去.則所求切線方程為則兩平行線之間的距離距離的最小值，即又由5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和等于4，設(shè)的軌跡為.（1）寫出的方程.（2）設(shè)直線與交于兩點(diǎn)，則為何值時，此時的值時多少?答案：見解析解析：【知識點(diǎn)：橢圓的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系】（1）由橢圓的定義知的軌跡方程為（2）設(shè)由則又，而6．已知點(diǎn)是⊙：上的任意一點(diǎn)，過作垂直軸于，動點(diǎn)滿足.(1)求動點(diǎn)的軌跡方程；(2)若點(diǎn)，則在動點(diǎn)的軌跡上是否存在不重合的兩點(diǎn)、，使(是坐標(biāo)原點(diǎn))．若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．答案：見解析解析：【知識點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，向量及運(yùn)算,軌跡問題】(1)設(shè)，，依題意，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，．又，∴，即.∵點(diǎn)在⊙上，∴，∴，∴點(diǎn)的軌跡方程為.假設(shè)上存在不重合的兩點(diǎn)，，使，則是線段的中點(diǎn)，有，即.又，在橢圓上，∴①－②，得，∴，∴直線的方程為，∴橢圓上存在不重合的兩點(diǎn)、，使，此時直線的方程為.7.已知橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，直線與該橢圓交于和，若，且，求橢圓方程．【知識點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，二元二次方程組的解法，判別式與違達(dá)定理，】解法一：設(shè)橢圓方程為，依題意知，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組：②①②①=3\*GB3③設(shè)方程=3\*GB3③的兩根為那么直線與橢圓交點(diǎn)為．由得：即．由得：即．∴．解得或．由=3\*GB3③式結(jié)合韋達(dá)定理得：或．解得或∴或．解法二：設(shè)橢圓方程為依題意知，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組，整理得：．則設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為由得：即∴，∴由得：即∴．解得或代入得：或．∴或．8．(本小題滿分15分)已知橢圓：的離心率，原點(diǎn)到過點(diǎn)和的直線的距離為.(1)求橢圓的方程；(2)已知定點(diǎn)，若過點(diǎn)的直線(斜率不等于零)與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、(在與之間)，記，求的取值范圍．答案：見解析解析：【知識點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系，二元二次方程組的解法，判別式與違達(dá)定理，】(1)由題知直線的方程為，即.依題意，得，解得，，∴橢圓的方程為.(2)由題意知直線的斜率存在且不為零，故可設(shè)的方程為，將的方程代入橢圓方程，整理得.由，得，即，∴.設(shè)，，則，且，(*)由，得，由此可得：則，且.由(*)知，，，∴，即，∵，∴，又∵，解得.即的取值范圍是．法二.由題意知直線的斜率存在且不為零，故可設(shè)的方程為代到橢圓方程中，運(yùn)算量會大大減少．【知識點(diǎn)：直線與橢圓的位置關(guān)系】五、數(shù)學(xué)視野

我們將上一節(jié)中橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程作如下改變：由，經(jīng)過化簡，得