專題930正方形（直通中考）（提升練）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題9.30正方形（直通中考）（提升練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2019·湖南婁底·中考真題）順次連接一個(gè)菱形的各邊中點(diǎn)所得四邊形的形狀是（）A．平行四邊形B．矩形 C．菱形 D．正方形2．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考中考真題）如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形中，M為對(duì)角線上的一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)P．若，則的長(zhǎng)為（）

A． B． C． D．3．（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，O為正方形對(duì)角線的中點(diǎn)，為等邊三角形．若，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．4．（2022·黑龍江牡丹江·統(tǒng)考中考真題）下列圖形是黃金矩形的折疊過程：第一步，如圖（1），在一張矩形紙片一端折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平；第二步，如圖（2），把正方形折成兩個(gè)相等的矩形再把紙片展平；第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對(duì)角線AB，并把AB折到圖（3）中所示的AD處；第四步，如圖（4），展平紙片，折出矩形BCDE就是黃金矩形．則下列線段的比中：①，②，③，④，比值為的是（

） A．①② B．①③ C．②④ D．②③5．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，，AF與相交于點(diǎn)O，連接，若，則與之間的數(shù)量關(guān)系正確的是（

）A．B．C． D．6．（2022·貴州黔東南·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外側(cè)作正方形，過點(diǎn)作，垂足為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．7．（2022·湖北隨州·統(tǒng)考中考真題）七巧板是一種古老的中國(guó)傳統(tǒng)智力玩具，如圖，在正方形紙板ABCD中，BD為對(duì)角線，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，分別交BD，EF于O，P兩點(diǎn)，M，N分別為BO，DC的中點(diǎn)，連接AP，NF，沿圖中實(shí)線剪開即可得到一副七巧板，則在剪開之前，關(guān)于該圖形，下列說法：①圖中的三角形都是等腰直角三角形；②四邊形MPEB是菱形；③四邊形PFDM的面積占正方形ABCD面積的．正確的有（

）A．只有① B．①② C．①③ D．②③8．（2022·山東濱州·統(tǒng)考中考真題）正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O（如圖1），如果繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，其兩邊分別與邊相交于點(diǎn)E、F（如圖2），連接EF，那么在點(diǎn)E由B到A的過程中，線段EF的中點(diǎn)G經(jīng)過的路線是（

）A．線段 B．圓弧 C．折線 D．波浪線9．（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知正方形的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)是對(duì)角線上的一點(diǎn)，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，則（

）

A． B．2 C． D．10．（2023·重慶·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，O為對(duì)角線的中點(diǎn)，E為正方形內(nèi)一點(diǎn)，連接，，連接并延長(zhǎng)，與的平分線交于點(diǎn)F，連接，若，則的長(zhǎng)度為（

）

A．2 B． C．1 D．填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考中考真題）如圖在正方形中，點(diǎn)E在上，連接，，F(xiàn)為的中點(diǎn)連接．若，則的長(zhǎng)為．

12．（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，分別以點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接，則．13．（2023·廣西·統(tǒng)考中考真題）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，E，F(xiàn)分別是上的動(dòng)點(diǎn)，M，N分別是的中點(diǎn)，則的最大值為．

14．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)O，E為上一點(diǎn)，，F(xiàn)為的中點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為32，則的長(zhǎng)為．

15．（2021·青?！そy(tǒng)考中考真題）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為8，M在上，且，N是上的一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．

16．（2022·四川攀枝花·統(tǒng)考中考真題）如圖，以的三邊為邊在上方分別作等邊、、．且點(diǎn)A在內(nèi)部．給出以下結(jié)論：①四邊形是平行四邊形；②當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形；③當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形；④當(dāng)，且時(shí)，四邊形是正方形．其中正確結(jié)論有（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）．17．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）在長(zhǎng)為2，寬為x（）的矩形紙片上，從它的一側(cè)，剪去一個(gè)以矩形紙片寬為邊長(zhǎng)的正方形（第一次操作）；從剩下的矩形紙片一側(cè)再剪去一個(gè)以寬為邊長(zhǎng)的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的紙片恰為正方形，則x的值為．18．（2022·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）【閱讀材料】如圖①，四邊形中，，，點(diǎn)，分別在，上，若，則．【解決問題】如圖②，在某公園的同一水平面上，四條道路圍成四邊形．已知，，，，道路，上分別有景點(diǎn)，，且，，若在，之間修一條直路，則路線的長(zhǎng)比路線的長(zhǎng)少（結(jié)果取整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：）．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·江西·統(tǒng)考中考真題）如圖是的正方形網(wǎng)格，請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求完成以下作圖（保留作圖痕跡）．

（1）在圖1中作銳角，使點(diǎn)C在格點(diǎn)上；（2）在圖2中的線段上作點(diǎn)Q，使最短．20．（8分）（2023·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形中，點(diǎn)，分別在，上，且，與相交于點(diǎn)．

（1）求證：≌；（2）求的大小．21．（10分）（2023·湖北十堰·統(tǒng)考中考真題）如圖，的對(duì)角線交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接．

（1）試判斷四邊形的形狀，并說明理由；（2）請(qǐng)說明當(dāng)?shù)膶?duì)角線滿足什么條件時(shí)，四邊形是正方形？22．（10分）（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，為上一點(diǎn)，連接，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，垂足為，點(diǎn)在上，且．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．23．（10分）（2023·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在正方形中，E是邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合）．邊關(guān)于對(duì)稱的線段為，連接．

（1）若，求證：是等邊三角形；（2）延長(zhǎng)，交射線于點(diǎn)G；①能否為等腰三角形？如果能，求此時(shí)的度數(shù)；如果不能，請(qǐng)說明理由；②若，求面積的最大值，并求此時(shí)的長(zhǎng)．24．（12分）（2023·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖①，正方形的面積為1．

（1）如圖②，延長(zhǎng)到，使，延長(zhǎng)到，使，則四邊形的面積為______；（2）如圖③，延長(zhǎng)到，使，延長(zhǎng)到，使，則四邊形的面積為______；（3）延長(zhǎng)到，使，延長(zhǎng)到，使，則四邊形的面積為______．參考答案：1．B【分析】根據(jù)中位線定理及菱形的對(duì)角線互相垂直可得結(jié)論．解：順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得四邊形必定是：矩形，理由如下：（如圖）根據(jù)中位線定理可得：且，且，，∴，，∴四邊形是平行四邊形．又∵四邊形是菱形，∴，則，∴四邊形是矩形．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了中點(diǎn)四邊形，菱形的性質(zhì)，此題實(shí)際上是矩形的判定和三角形的中位線定理的應(yīng)用，通過做此題培養(yǎng)了學(xué)生的推理能力，題目比較好，難度適中．2．C【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后利用勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可得．解：四邊形是邊長(zhǎng)為6的正方形，，在和中，，，，，，，又，，設(shè)，則，，，解得，，，，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．3．B【分析】利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，再利用等邊三角形的性質(zhì)即可解決問題．解：在正方形中：，∴，∵O為正方形對(duì)角線的中點(diǎn)，∴，∵為等邊三角形,O為的中點(diǎn)，∴，，∴,∴,故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】設(shè)，則，求出，，分別求出比值，作出判斷．解：設(shè)，∴，在中，，由折疊可知，，∴，又∵，∴，，，，，∴比值為的是①③，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查四邊形綜合題，黃金矩形的定義、勾股定理、翻折變換、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．5．A【分析】過點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，先證明四邊形ABFE是正方形，得出，再利用勾股定理得出，即可得出答案．解：過點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，，四邊形ABCD是矩形，，∴∠AEF=180°∠BAD=90°，，∴四邊形ABFE是矩形，又∵AB=AE，四邊形ABFE是正方形，，EF=BF，，，，EF=2CF，由勾股定理得，，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．6．D【分析】過點(diǎn)A分別作AG⊥BC于點(diǎn)G，AH⊥DF于點(diǎn)H，可得四邊形AGFH是矩形，從而得到FH=AG，再由△ABC為等邊三角形，可得∠BAG=30°，BG=1，從而得到，再證得∠DAH=∠BAG=30°，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．解：如圖，過點(diǎn)A分別作AG⊥BC于點(diǎn)G，AH⊥DF于點(diǎn)H，∵DF⊥BC，∴∠GFH=∠AHF=∠AGF=90°，∴四邊形AGFH是矩形，∴FH=AG，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°，BC=AB=2，∴∠BAG=30°，BG=1，∴，∴，在正方形ABED中，AD=AB=2，∠BAD=90°，∴∠DAH=∠BAG=30°，∴，∴．故選：D【點(diǎn)撥】本題主要考查了等邊三角形和正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形和正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．C【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)和中位線定理證明圖中所有三角形是等腰直角三角形，再證明四邊形MPEB是平行四邊形但不是菱形，最后再證明四邊形PFDM的面積占正方形ABCD面積的即可．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABO＝∠ADB＝∠CBD＝∠BDC＝45°，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴△ABD、△BCD是等腰直角三角形，∵，∴∠APF＝∠APE＝90°，∵E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，∴EF是△BCD的中位線，CE＝BC，CF＝CD，∴CE＝CF，∵∠C＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，

∴EFBD，EF＝BD，∴∠APE＝∠AOB＝90°，∠APF＝∠AOD＝90°，∴△ABO、△ADO是等腰直角三角形，∴AO＝BO，AO＝DO，∴BO＝DO，∵M(jìn)，N分別為BO，DO的中點(diǎn)，∴OM＝BM＝BO，ON＝ND＝DO，∴OM＝BM＝ON＝ND，∵∠BAO＝∠DAO＝45°，∴由正方形是軸對(duì)稱圖形，則A、P、C三點(diǎn)共線，PE＝PF＝EF＝ON＝BM＝OM，連接PC，如圖，∴NF是△CDO的中位線，∴NFAC，NF＝OC＝OD＝ON＝ND，∴∠ONF＝180°－∠COD＝90°，∴∠NOP＝∠OPF＝∠ONF＝90°，∴四邊形FNOP是矩形，∴四邊形FNOP是正方形，∴NF＝ON＝ND，∴△DNF是等腰直角三角形，∴圖中的三角形都是等腰直角三角形；故①正確，∵PEBM，PE＝BM，∴四邊形MPEB是平行四邊形，∵BE＝BC，BM＝OB，在Rt△OBC中，BC＞OB，∴BE≠BM，∴四邊形MPEB不是菱形；故②錯(cuò)誤，∵PC＝PO＝PF＝OM，∠MOP＝∠CPF＝90°，∴△MOP≌△CPF（SAS），∴，故③正確，故選：C【點(diǎn)撥】此題考查了七巧板，正方形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理、三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．8．A【分析】連接，根據(jù)題意可知?jiǎng)t線段EF的中點(diǎn)G經(jīng)過的路線是的線段垂直平分線的一段，即線段解：連接，根據(jù)題意可知，，∴點(diǎn)G在線段OB的垂直平分線上．則線段EF的中點(diǎn)G經(jīng)過的路線是的線段垂直平分線的一段，即線段．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了線段垂直平分線的判定，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，正方形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．C【分析】先證四邊形是矩形，可得，，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，可求，的長(zhǎng)，由勾股定理可求的長(zhǎng)，由“”可證，可得．解：如圖：

連接，四邊形是正方形，，，，，，四邊形是矩形，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．10．D【分析】連接，根據(jù)正方形得到，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，求得，再證明，求得，最后根據(jù)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)等于斜邊的一半，即可求出的長(zhǎng)度．解：如圖，連接，

四邊形是正方形，，，，，，，平分，，，在與,，，，，O為對(duì)角線的中點(diǎn)，，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，正方形的性質(zhì)，直角三角形特征，作出正確的輔助線，求得是解題的關(guān)鍵．11．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，，設(shè)，根據(jù)勾股定理求出的值，再根據(jù)勾股定理即可求出的長(zhǎng)．解：正方形，F(xiàn)為的中點(diǎn)，設(shè)，在中，即解得故，在中解得（負(fù)值舍去）故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．12．15【分析】證明是等邊三角形可得，再求出，利用等腰三角形的性質(zhì)可求出，進(jìn)而可求出．解：連接，由作圖方法可知，，∴是等邊三角形，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，∴．故答案為：15．【點(diǎn)撥】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．13．【分析】首先證明出是的中位線，得到，然后由正方形的性質(zhì)和勾股定理得到，證明出當(dāng)最大時(shí)，最大，此時(shí)最大，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)，最大，即的長(zhǎng)度，最后代入求解即可．解：如圖所示，連接，

∵M(jìn)，N分別是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴當(dāng)最大時(shí)，最大，此時(shí)最大，∵點(diǎn)E是上的動(dòng)點(diǎn)，∴當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時(shí)，最大，即的長(zhǎng)度，∴此時(shí)，∴，∴的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了正方形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)．14．【分析】利用斜邊上的中線等于斜邊的一半和的周長(zhǎng)，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，利用三角形的中位線定理，即可得解．解：的周長(zhǎng)為32，．為DE的中點(diǎn)，．，，，，．四邊形是正方形，，O為BD的中點(diǎn)，是的中位線，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)，斜邊上的中線，三角形的中位線定理．熟練掌握斜邊上的中線等于斜邊的一半，是解題的關(guān)鍵．15．10【分析】要求的最小值，，不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化，的值，確定最小值為的長(zhǎng)度，再由勾股定理計(jì)算即可．解：如圖所示，∵正方形是軸對(duì)稱圖形，點(diǎn)B與點(diǎn)D是關(guān)于直線為對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，∴連接，，則直線即為的垂直平分線，

∴，∴，連接交于點(diǎn)P，∵點(diǎn)N為上的動(dòng)點(diǎn)，∴由三角形兩邊之和大于第三邊，知當(dāng)點(diǎn)N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P時(shí)，，的最小值為的長(zhǎng)度．∵四邊形為正方形，∴，，，，即的最小值為10.故答案為：10【點(diǎn)撥】本考查正方形的性質(zhì)和軸對(duì)稱及勾股定理等知識(shí)的綜合應(yīng)用，解題的難點(diǎn)在于確定滿足條件的點(diǎn)N的位置：利用軸對(duì)稱的方法．然后熟練運(yùn)用勾股定理．16．①②③④【分析】對(duì)于結(jié)論①，由等邊三角形的性質(zhì)可得，，則；同理，由，得，由，即可得出四邊形是平行四邊形；對(duì)于結(jié)論②，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合結(jié)論①，可知結(jié)論②正確；對(duì)于結(jié)論③，當(dāng)時(shí)，，結(jié)合結(jié)論①，可知結(jié)論③正確；對(duì)于結(jié)論④，綜合②③的結(jié)論知：當(dāng)，且時(shí)，四邊形既是菱形，又是矩形，故結(jié)論④正確．解：解析：①、是等邊三角形，，，，，，，同理由，得，由，即可得出四邊形是平行四邊形，故結(jié)論①正確；②當(dāng)時(shí)，，由①知四邊形是平行四邊形，平行四邊形是矩形，故結(jié)論②正確；③由①知，，四邊形是平行四邊形，當(dāng)時(shí)，，平行四邊形是菱形，故結(jié)論③正確；④綜合②③的結(jié)論知：當(dāng)，且時(shí)，四邊形既是菱形，又是矩形，四邊形是正方形，故結(jié)論④正確．故答案為：①②③④．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行四邊形、菱形、矩形、正方形的判定方法，熟練掌握以上圖形的判定方法是解題的關(guān)鍵．17．或【分析】分析題意，根據(jù)x的取值范圍不同，對(duì)剩下矩形的長(zhǎng)寬進(jìn)行討論，求出滿足題意的x值即可．解：第一次操作后剩下的矩形兩邊長(zhǎng)為和，，又，，，則第一次操作后，剩下矩形的寬為，所以可得第二次操作后，剩下矩形一邊為，另一邊為：，∵第三次操作后，剩下的紙片恰為正方形，∴第二次操作后剩下矩形的長(zhǎng)是寬的2倍，分以下兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)，即時(shí)，第三次操作后剩下的矩形的寬為，長(zhǎng)是，則由題意可知：，解得：；②當(dāng)，即時(shí)，第三次操作后剩下的矩形的寬為，長(zhǎng)是，由題意得：，解得：，或者．故答案為：或．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)以及分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，熟練掌握矩形，正方形性質(zhì)以及分類討論的方法是解題的關(guān)鍵．18．370【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，根據(jù)已知條件求得,進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得，，從而求得的長(zhǎng)，根據(jù)材料可得，即可求解．解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，，，，，，是等邊三角形，,,在中，，，，，，中，，，，，，中，是等腰直角三角形由閱讀材料可得，路線的長(zhǎng)比路線的長(zhǎng)少．故答案為：370．【點(diǎn)撥】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，理解題意是解題的關(guān)鍵．19．（1）作圖見分析；（2）作圖見分析【分析】（1）如圖，取格點(diǎn)，使，在的左上方的格點(diǎn)滿足條件，再畫三角形即可；（2）利用小正方形的性質(zhì)取格點(diǎn)，連接交于，從而可得答案．（1）解：如圖，即為所求作的三角形；

（2）如圖，即為所求作的點(diǎn)；

【點(diǎn)撥】本題考查的是復(fù)雜作圖，同時(shí)考查了三角形的外角的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，垂線段最短，熟記基本幾何圖形的性質(zhì)再靈活應(yīng)用是解本題的關(guān)鍵．20．（1）見分析；（2）【分析】（1）直接利用證明全等即可；（2）根據(jù)全等的性質(zhì)，得出，再由，從而求出．解：（1）證明：四邊形是正方形，，，，，即，在和中，≌；（2）解：由（1）知≌，，，．【點(diǎn)撥】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)圖形的性質(zhì)和判定．21．（1）平行四邊形，見分析；（2）且【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形判定即可．（2）根據(jù)對(duì)角線相等、平分且垂直的四邊形是正方形判定即可．解：（1）四邊形是平行四邊形．理由如下：∵的對(duì)角線交于點(diǎn)，∴，∵以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，∴∴四邊形是平行四邊形．（2）∵對(duì)角線相等、平分且垂直的四邊形是正方形，∴且時(shí)，四邊形是正方形．【點(diǎn)撥】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（1）見詳解；（2）【分析】（1）先證明四邊形ADFM是矩形，得到AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，再利用MN⊥BE證得∠MBO=∠OMF，結(jié)合∠A=90°=∠NFM即可證明；（2）利用勾股定理求得BE=10=MN，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得BO=OE=5，BM=ME，即有AM=ABBM=8ME，在Rt△AME中，，可得，解得：，即有，再在Rt△BMO中利用勾股定理即可求出MO，則NO可求．解：（1）在正方形ABCD中，有AD=DC=CB=AB，∠A=∠D=∠C=90°，，，∵，∠A=∠D=90°，，∴四邊形ADFM是矩形，∴AD=MF，∠AMF=90°=∠MFD，∴∠BMF=90°=∠NFM，即∠BMO+∠OMF=90°，AB=AD=MF，∵M(jìn)N是BE的垂直平分線，∴MN⊥BE，∴∠BOM=90°=∠BMO+∠MBO，∴∠MBO=∠OMF，∵，∴△ABE≌△FMN；（2）連接ME，如圖，∵AB=8，AE=6，∴在Rt△ABE中，，∴根據(jù)（1）中全等的結(jié)論可知MN=BE=10，∵M(jìn)N是BE的垂直平分線，∴BO=OE==5，BM=ME，∴AM=ABBM=8ME，∴在Rt△AME中，，∴，解得：，∴，∴在Rt△BMO中，，∴，∴ON=MNMO=．即NO的長(zhǎng)為：．【點(diǎn)撥】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，掌握勾股定理是解答本題的關(guān)鍵．23．（1）見分析；（2）①能為等腰三角形，；②【分析】（1）由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，根據(jù)等邊三角形的判定定理即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，得到，推出點(diǎn)B不可能是等腰三角形的頂點(diǎn)，若點(diǎn)F是等腰三角形的頂點(diǎn)，則有，此時(shí)E與