湖南省名校大聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

高二數(shù)學(xué)專版考生注意：1?答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2?回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可得對(duì)應(yīng)的點(diǎn)求解.【詳解】由可得，故對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，故選：D2.已知橢圓的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為為橢圓上除左?右頂點(diǎn)外的一動(dòng)點(diǎn)，則的面積最大為（）A.1 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)離心率求出，進(jìn)而可求，當(dāng)點(diǎn)A在橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大.【詳解】由題可知橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，解得，所以，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)A與橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)重合時(shí)，的面積最大，此時(shí)的最大面積為，故選：B3.設(shè)，直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】求出的值，再利用充分條件和必要條件的判斷方法，即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即可以推出，當(dāng)時(shí)，，解得或，又時(shí)，，此時(shí)，所以推不出，所以“”是“”的充分不必要條件，故選：A.4.若函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A. B.0 C.1 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故選：B.5.已知點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，則的最小值是（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】的幾何意義為直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式可得．【詳解】點(diǎn)為直線上任意一點(diǎn)，又的幾何意義為直線上的點(diǎn)到的距離，故最小值為到直線的距離，即最小值為故選：C．6.如圖，在異面直線上分別取點(diǎn)和，使，且，若，則線段的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】過作，過作于，連接，根據(jù)條件得到面，從而得到，進(jìn)而得，在中，利用余弦定理得到，從而可求出.【詳解】如圖，過作，過作于，連接，因?yàn)?，所以，又，，面，所以面，又面，所以，又易知，所以，又，所以，在中，，所以，在中，，，所以，又，所以，故選：C.7.已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（）A. B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，設(shè)，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到，再利用輔助角公式及的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題可設(shè)，則點(diǎn)到直線的距離為，其中，所以當(dāng)時(shí)，最小，最小值為.故選：D.8.如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用基底表示出向量，然后求出的模，余弦定理求出的長(zhǎng)，在中，利用余弦定理的變形即可求出【詳解】如圖連接,則由題可知，∴，，，∴，在中,,,中,故選：D.二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.黨的二十大作出“發(fā)展海洋經(jīng)濟(jì)，保護(hù)海洋生態(tài)環(huán)境，加快建設(shè)海洋強(qiáng)國(guó)”的戰(zhàn)略部署．如圖是2018—2023年中國(guó)海洋生產(chǎn)總值的條形統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)可知下列結(jié)論正確的是（）A.從2018年開始，中國(guó)海洋生產(chǎn)總值逐年增大B.從2019年開始，中國(guó)海洋生產(chǎn)總值的年增長(zhǎng)率最大的是2021年C.這6年中國(guó)海洋生產(chǎn)總值的極差為15122D.這6年中國(guó)海洋生產(chǎn)總值的80%分位數(shù)是94628【答案】BD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)條形圖數(shù)據(jù)可判斷；對(duì)B，根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算年增長(zhǎng)率可判斷；對(duì)C，計(jì)算極差可判斷；對(duì)D，根據(jù)80%分位數(shù)概念計(jì)算可判斷.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)條形圖數(shù)據(jù)可以看到2020年較2019年海洋生產(chǎn)總值是下降的，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，2019年海洋生產(chǎn)總值年增長(zhǎng)率是，2020年海洋生產(chǎn)總值年增長(zhǎng)率是，2021年海洋生產(chǎn)總值年增長(zhǎng)率是，2022年海洋生產(chǎn)總值年增長(zhǎng)率是，2023年海洋生產(chǎn)總值年增長(zhǎng)率是，故年增長(zhǎng)率最大的是2021年，故B正確；對(duì)于C，這6年中國(guó)海洋生產(chǎn)總值的極差為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，將這6年的海洋生產(chǎn)總值按照從小到大排列80010，83415，89415，90385，94628，98537，又，所以這6年中國(guó)海洋生產(chǎn)總值的80%分位數(shù)是94628，故D正確.故選：BD.10.已知圓與圓相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），則（）A.直線的方程是B.四點(diǎn)不共圓C.圓的過點(diǎn)的切線方程為D.【答案】AC【解析】【分析】選項(xiàng)A，利用兩圓方程相減，即可求解；選項(xiàng)B，聯(lián)立直線的方程與圓的方程，直接求出，，進(jìn)而可得中點(diǎn)到四點(diǎn)距離相等，即可求解；選項(xiàng)C，利用選項(xiàng)B中結(jié)果，先求出，進(jìn)而得到切線方程的斜率為，即可求解；選項(xiàng)D，直接求出，，利用余弦定理即可求解.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)閳A與圓，兩圓方程相減得到，即直線的方程是，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，由和，解得或，即，，又，所以中點(diǎn)為，則，又，所以到四點(diǎn)距離相等，即四共圓，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，由選項(xiàng)B知，所以，得到圓的過點(diǎn)的切線方程為，整理得到，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，在中，由余弦定理得，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AC.11.在正方體中，點(diǎn)滿足，其中，則下列說法正確的是（）A.若在同一球面上，則B.若平面，則C.若點(diǎn)到四點(diǎn)的距離相等，則D.若平面，則【答案】BCD【解析】【分析】由題知點(diǎn)在線段上(不包含點(diǎn))；對(duì)于A，若在同一球面上,則此球?yàn)檎襟w的外接球,所以與重合，由此求出的值；對(duì)于B，利用線面平行的性質(zhì)定理得為的中點(diǎn)，據(jù)此求值；對(duì)于C，點(diǎn)到四點(diǎn)的距離相等,則為正方體外接球的球心,即的中點(diǎn),據(jù)此求值；對(duì)于D，若平面,則,由對(duì)稱性知，所以，進(jìn)而可得是上靠近的三等分點(diǎn)，據(jù)此求值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以點(diǎn)在線段上(不包含點(diǎn)).對(duì)于A，若在同一球面上，則此球?yàn)檎襟w的外接球，所以與重合，所以，故A錯(cuò)誤;對(duì)于B，如圖1，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則平面與平面的交線為直線，要使平面，則需，則為的中點(diǎn)，此時(shí)，故B正確;對(duì)于C，點(diǎn)到四點(diǎn)的距離相等，則為正方體外接球的球心，即的中點(diǎn)，此時(shí)，故正確;對(duì)于D，如圖2，設(shè)正方形的中心為，連接，與交于點(diǎn)，連接易證，所以，所以是上靠近的三等分點(diǎn)，假設(shè)正方體的邊長(zhǎng)，則,如圖所示，在平面中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則,所以,因?yàn)椋?，若平面，面，則，由對(duì)稱性易知，則，從而是上靠近的三等分點(diǎn)，此時(shí)，故D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線在軸上的截距為1，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，利用橫截距的定義，即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€，令，得到，由題有，解得，故答案為：.13.已知，則__________.【答案】##【解析】【分析】用弦切互化的方法即可求解.詳解】,故答案為：.14.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》中有這樣一個(gè)結(jié)論：平面內(nèi)與兩點(diǎn)距離的比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人稱這個(gè)圓為阿波羅尼斯圓.已知點(diǎn)，為直線上的動(dòng)點(diǎn)，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________.【答案】9【解析】【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓的定義可設(shè)，利用待定系數(shù)法得的坐標(biāo)為，即可根據(jù)三點(diǎn)共線，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】令，則．由題意可得圓是關(guān)于點(diǎn)，的阿波羅尼斯圓，且，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，整理得，由題意得該圓的方程為，即所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，當(dāng)時(shí)，此時(shí)最小，最小值為，因此當(dāng)時(shí)，的值最小為，故答案為：9【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)的形式，設(shè)，則，利用阿波羅尼斯圓的定義待定出點(diǎn)，即可利用點(diǎn)到直線的距離求解.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知直線的方程為，直線經(jīng)過點(diǎn)和.（1）若，求的值；（2）若當(dāng)變化時(shí)，總過定點(diǎn)，求.【答案】（1）或.（2）【解析】【分析】（1）求出直線和的斜率，利用斜率相乘為1求解即可；（2）將直線的方程為進(jìn)行變形，然后解方程組即可得到直線經(jīng)過的定點(diǎn)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式求解即可.【小問1詳解】直線經(jīng)過點(diǎn)和,所以，所以直線的斜率為，因?yàn)橹本€的斜率為，,所以,解得或.小問2詳解】直線的方程為可以改寫為,由，解得，所以總過定點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,16.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.（1）求；（2）若的面積為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角得到，再利用輔助角及特殊角三角函數(shù)值，即可求解；（2）根據(jù)條件及（1）中結(jié)果，得到，利用正弦定理得到，再利用面積公式，即可求解.【小問1詳解】由，得到，又，，得到，即，所以，得到，又，所以，所以，解得.【小問2詳解】因?yàn)?，由?）知，所以，由正弦定理，得到，又，所以，又面積為，所以，整理得到，解得.17.已知圓，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為.（1）求的方程；（2）若與圓相交于兩點(diǎn)，圓心到的距離為，圓的圓心在線段上，且圓與圓相切，切點(diǎn)在劣弧上，求圓的半徑的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用直線與垂直，可得，再利用中點(diǎn)在上，即可求解；（2）根據(jù)條件求出，聯(lián)立直線與圓的方程得到，解得，設(shè)出，其中，利用圓與圓的位置關(guān)系得到，即可求解.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，所以，得到，又易知中點(diǎn)為，則，解得，所以直線的方程為.【小問2詳解】因?yàn)閳A的圓心為，由題有，解得或，當(dāng)時(shí)，圓，不合題意，所以，圓，即，設(shè)，由，消得到，所以，設(shè)圓的圓心為，半徑為，又圓與圓相切，切點(diǎn)在劣弧上，則，得到，又易知，所以當(dāng)時(shí)，圓的半徑最大，最大值為.18.如圖，在三棱錐中，分別是棱，上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且.（1）證明：平面平面.（2）設(shè)，則當(dāng)為何值時(shí)，的長(zhǎng)度最小？（3）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度最小時(shí)，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）時(shí)，的長(zhǎng)度最小（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)，利用線面垂直的判定定理，證得平面進(jìn)而由面面垂直的判定即可求解；（3）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合余弦定理和勾股定理，得到的表達(dá)式，即可由二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值.（3）建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)而求得平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】由于又平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問2詳解】作交于，連接，由于平面，故平面，平面，故，，故，，故又易知是等腰直角三角形，由余弦定理可得，故，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)的最小值為.【小問3詳解】由于，故，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線分別為和軸，以過點(diǎn)垂直與平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，當(dāng)時(shí)，分別為的中點(diǎn)，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，可得平面的一個(gè)法向量，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的所成角為，則，故平面與平面的所成角的余弦值為.19.已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）求的方程.（2）過點(diǎn)且不與軸重合的動(dòng)直線與相交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為.（i）證明：直線與的斜率之積為定值；（ii）當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）（2）①證明見解析；②或..【解析】【分析】（1）根據(jù)已知點(diǎn)在橢圓上及離心率列方程組求解可得橢圓方程；（2）設(shè)方程，直線與橢