廣東省珠海一中等六校高三第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)理試題

2018屆廣東省六校第三次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合為實數(shù)，且，為實數(shù)，且，則的元素個數(shù)為()A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】由題意得圓的圓心到直線的距離為，故直線和圓相切，即直線和圓有1個公共點，所以的元素個數(shù)為1．選B．2.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若,則()A.63B.45C.36D.27【答案】A【解析】由題意，，，，∴，，，故選A．3.若變量滿足約束條件，則的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】D【解析】畫出不等式組表示的可行域（如圖陰影部分所示）．由得，平移直線，結(jié)合圖形可得，當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點A時，直線在y軸上的截距最大，此時z取得最大值，由題意得點A的坐標(biāo)為（3,0），∴．當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點B時，直線在y軸上的截距最小，此時z取得最小值，由，解得，故點B的坐標(biāo)為，∴．綜上可得，故的取值范圍是．選D．4.函數(shù)的部分圖象大致為()A.B.C.D.【答案】A【解析】當(dāng)為正且接近于0時，為負且絕對值較在，則，，只有A符合，故選A．5.設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)滿足.若函數(shù)（其中是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）是偶函數(shù)，則等于()A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意得，∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴．又，∴．選A．6.執(zhí)行下面的程序框圖，如果輸入的分別為1，2，3，輸出的,那么，判斷框中應(yīng)填入的條件為()A.B.C.D.【答案】C【解析】依次執(zhí)行程序框圖中的程序，可得：①，滿足條件，繼續(xù)運行；②，滿足條件，繼續(xù)運行；③，不滿足條件，停止運行，輸出．故判斷框內(nèi)應(yīng)填，即．選C．7.已知為虛數(shù)單位），又數(shù)列滿足：當(dāng)時，；當(dāng)，為的虛部，若數(shù)列的前項和為，則()A.B.C.D.【答案】C【解析】，∴，又，∴，，，故選C．8.如圖，在同一個平面內(nèi)，三個單位向量滿足條件：與的夾角為，且，與與的夾角為45°.若，則的值為()A.3B.C.D.【答案】B【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，由知為銳角，且，故，．∴點B,C的坐標(biāo)為，∴．又，∴，∴，解得，∴．選B．9.四面體中，三組對棱的長分別相等，依次為，則的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】C【解析】以四面的棱為一長方體的面對角線，構(gòu)造一個長方體，設(shè)長方體的棱長分別為，則，所以，即，，，∴，故選C．10.從2個不同的紅球、2個不同的黃球、2個不同的籃球共六個球中任取2個，放入紅、黃、藍色的三個袋子中，每個袋子至多放入一個球，且球色與袋色不同，那么不同的放法有()A.42種B.36種C.72種D.46種【答案】A【解析】分以下幾種情況：①取出的兩球同色，有3種可能，取出球后則只能將兩球放在不同色的袋子中，則共有種不同的方法，故不同的放法有種．...........................綜上可得不同的放法有42種．選A．11.已知點為雙曲線的右焦點，直線與交于兩點，若,設(shè),且，則該雙曲線的離心率的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】D【解析】在，，∴，∴，，，∵，∴，，，∴，故選D．點睛：由雙曲線的對稱性知M，N關(guān)于原點對稱，且，由于涉及到M，N到焦點的距離，所以從雙曲線的定義入手，利用可建立一個關(guān)系式，其中，這樣就把離心率與之間的函數(shù)式表示出來，最后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得其范圍．12.已知是函數(shù)與圖象的兩個不同的交點，則的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】D【解析】由得，設(shè)，則，∴當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時函數(shù)單調(diào)遞增，故．由題意得（令）是函數(shù)圖象與直線的兩個交點的橫坐標(biāo)，即，結(jié)合圖象可得．設(shè)，則，∴在上單調(diào)遞增，∴，∴．∴，∴∵，故，且在上單調(diào)遞減，∴，即．由，得，故在上單調(diào)遞增．∴．設(shè)，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，即，又，∴，∴，即，∴，∴．綜上可得，即所求范圍為．選D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則__________．【答案】【解析】．14.已知函數(shù)，若，則函數(shù)恒過定點__________．【答案】15.已知幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為一正方形，則該幾何體的表面積為__________．【答案】【解析】由三四圖可得，該幾何體為如圖所示的三棱錐．∵正方體的棱長為2，∴,∴，∴該幾何體的表面積為．答案：16.若函數(shù)的圖象上存在不同的兩點，其中使得的最大值為0，則稱函數(shù)是“柯西函數(shù)”.給出下列函數(shù)：①；②；③；④.其中是“柯西函數(shù)”的為__________（填上所有正確答案的序號）．【答案】①④【解析】設(shè)，題意即為的最大值為0，因此共線，即三點共線，也即存在過原點的直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，從圖象上看只有①④滿足，故答案為①④．點睛：本題考查新定義問題，新定義“柯西函數(shù)”，在我們引入點的坐標(biāo)后，題意轉(zhuǎn)化為的最大值為0，從而利用平面數(shù)量積的性質(zhì)得共線，即三點共線，也即為過原點的直線與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，為從形上易得結(jié)論．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.設(shè)數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，滿足.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)求數(shù)列的通項公式.【答案】(Ⅰ)，，；(Ⅱ).【解析】試題分析：(Ⅰ)在中，分別令可得到，然后可得到的值．(Ⅱ)先由得到，再由可得，故可得，因此得到數(shù)列為等比數(shù)列，由此可求得數(shù)列的通項公式．試題解析：（Ⅰ）∵，，∴；∵，∴；∵，∴．（Ⅱ）∵…①，∴…②，∴①②得，，又也滿足上式，∴…③，∴…④，③④得，∴．又，∴數(shù)列是首項為3，公比為的等比數(shù)列．∴，∴．點睛：數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系是．在應(yīng)用此結(jié)論解題時要注意：若當(dāng)n＝1時，a1若適合，則n＝1的情況可并入n≥2時的通項an；當(dāng)n＝1時，a1若不適合，則用分段函數(shù)的形式表示．18.某小店每天以每份5元的價格從食品廠購進若干份食品，然后以每份10元的價格出售.如果當(dāng)天賣不完，剩下的食品還可以每份1元的價格退回食品廠處理.(Ⅰ)若小店一天購進16份，求當(dāng)天的利潤（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量（單位：份，）的函數(shù)解析式；(Ⅱ)小店記錄了100天這種食品的日需求量（單位：份），整理得下表：日需求量14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.(i)小店一天購進16份這種食品，表示當(dāng)天的利潤（單位：元），求的分布列及數(shù)學(xué)期望；(ii)以小店當(dāng)天利潤的期望值為決策依據(jù)，你認為一天應(yīng)購進食品16份還是17份？【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)(i)答案見解析；(ii)17份.【解析】試題分析：(Ⅰ)分和兩種情況分別求得利潤，寫成分段的形式即可得到所求．(Ⅱ)(i)由題意知的所有可能的取值為62，71，80，分別求出相應(yīng)的概率可得分布列和期望；(ii)由題意得小店一天購進17份食品時，利潤的所有可能取值為58，67,76,85，分別求得概率后可得的分布列和期望，比較的大小可得選擇的結(jié)論．試題解析：（Ⅰ）當(dāng)日需求量時，利潤，當(dāng)日需求量時，利潤，所以關(guān)于的函數(shù)解析式為．（Ⅱ）（i）由題意知的所有可能的取值為62，71，80，并且，，．∴的分布列為：X627180P0．10．20．7∴元．（ii）若小店一天購進17份食品，表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，那么的分布列為Y58677685P0．10．20．160．54∴的數(shù)學(xué)期望為元．由以上的計算結(jié)果可以看出，即購進17份食品時的平均利潤大于購進16份時的平均利潤．∴所以小店應(yīng)選擇一天購進17份．19.如圖，在四棱錐中，是平行四邊形，，,分別是的中點.(Ⅰ)證明：平面平面；(Ⅱ)求二面角的余弦值.【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).【解析】試題分析：（Ⅰ）運用幾何法和坐標(biāo)法兩種方法進行證明可得結(jié)論．（Ⅱ）運用幾何法和坐標(biāo)法兩種方法求解，利用坐標(biāo)法求解時，在得到兩平面法向量夾角余弦值的基礎(chǔ)上，通過圖形判斷出二面角的大小，最后才能得到結(jié)論．試題解析：解法一：（Ⅰ）取中點，連，∵，∴，∵是平行四邊形，，，∴，∴是等邊三角形，∴，∵，∴平面，∴.∵分別是的中點，∴∥，∥，∴，，∵，∴平面，∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴是二面角的平面角.,，，在中，根據(jù)余弦定理得，∴二面角的余弦值為．解法二：（Ⅰ）∵是平行四邊形，，，∴，∴是等邊三角形，∵是的中點，∴，∵∥，∴.以為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，，，，設(shè)，由，，可得，，，∴，∵是的中點，∴，∵，∴，∵，，∴平面，∵平面，∴平面平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．設(shè)是平面的法向量，由，得，令，則．又是平面的法向量，∴，由圖形知二面角為鈍角，∴二面角的余弦值為.20.已知橢圓的離心率為，分別為橢圓的左、右頂點點滿足.(Ⅰ)求橢圓的方程；(Ⅱ)設(shè)直線經(jīng)過點且與交于不同的兩點，試問：在軸上是否存在點，使得與直線的斜率的和為定值？若存在，請求出點的坐標(biāo)及定值；若不存在，請說明理由.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)答案見解析.【解析】試題分析：（Ⅰ）由可得，再根據(jù)離心率求得，由此可得，故可得橢圓的方程．（Ⅱ）由題意可得直線的斜率存在，設(shè)出直線方程后與橢圓方程聯(lián)立消元后得到一元二次方程，求出直線與直線的斜率，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得，根據(jù)此式的特點可得當(dāng)時，為定值．試題解析：（Ⅰ）依題意得、，，∴，解得．∵，∴，∴，故橢圓的方程為．（Ⅱ）假設(shè)存在滿足條件的點.當(dāng)直線與軸垂直時，它與橢圓只有一個交點，不滿足題意.因此直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，由消去整理得，設(shè)、，則，，∵，∴要使對任意實數(shù)，為定值，則只有，此時．故在軸上存在點，使得直線與直線的斜率的和為定值．點睛：解決解析幾何中定值問題的常用方法（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．（2）直接對所給要證明為定值的解析式進行推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量得到常數(shù)，從而證明得到定值，這是解答類似問題的常用方法．21.已知函數(shù)，其中.(Ⅰ)函數(shù)的圖象能否與軸相切？若能，求出實數(shù)，若不能，請說明理由；(Ⅱ)求最大的整數(shù)，使得對任意，不等式恒成立.【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)3.【解析】試題分析：(Ⅰ)若能與軸相切，則存在，使得，能求出，說明存在，否則說明不存在；(Ⅱ)把已知不等式變形為，由于，因此只要函數(shù)是增函數(shù)即可，由中得，這是必要條件，其中最大整數(shù)是3，因此下面只要證時，恒成立．為此可分類，時，，代入可證有，時，由可證，從而可得結(jié)論．試題解析：(Ⅰ)由于.假設(shè)函數(shù)的圖象與軸相切于點，則有，即.顯然代入方程中得，.∵，∴無解．故無論取何值，函數(shù)的圖象都不能與軸相切.(Ⅱ)依題意，恒成立.設(shè)，則上式等價于，要使對任意恒成立，即使在上單調(diào)遞增，∴在上恒成立.則，∴在上成立的必要條件是：.下面證明：當(dāng)時，恒成立.設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，即.那么，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴恒成立.因此，的最大整數(shù)值為3.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，射線，分別與曲線交于三點（不包括極點）.(Ⅰ)求證：；(Ⅱ)當(dāng)時，若兩點在直線上，求與的值.【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ).【解析】試題分析：(Ⅰ)由曲線C的極坐標(biāo)方程可得點的極徑，即得到，計算后即可證得結(jié)論正確．(Ⅱ)根據(jù)可求得點B,C的極坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)后可得直線BC的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合方程可得與的值．試題解析：（Ⅰ）證明：依題意，，，，則．（Ⅱ）當(dāng)時，兩點的極坐標(biāo)分別為，，故兩點的直角坐標(biāo)為，.所以經(jīng)過點的直線方程為，又直線經(jīng)過點，傾斜角為，故，．