高考總復習文數(shù)（北師大版）講義第8章第03節(jié)空間中的平行關(guān)系

第三節(jié)空間中的平行關(guān)系考點高考試題考查內(nèi)容核心素養(yǎng)直線、平面平行的判定與性質(zhì)2017·全國卷Ⅰ·T6·5分線面平行的判定直觀想象邏輯推理2016·全國卷Ⅰ·T11·5分面面平行的性質(zhì)定理2016·全國卷Ⅲ·T19·12分線面平行的證明與體積計算命題分析高考對本節(jié)內(nèi)容的考查以直線與平面平行的判定和應用，及平面與平面平行的判定和應用為主，多以解答題的形式呈現(xiàn)，難度中等.1．直線與平面平行的判定與性質(zhì)判定定理性質(zhì)定理文字語言若平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行如果一條直線與一個平面平行，那么過該直線的任意一個平面與已知平面的交線與該直線平行圖形語言符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(leq\o(?,/)α，,bα，,l∥b))?l∥αeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l∥α，,lβ，,α∩β＝b))?b∥l2．平面與平面平行的判定與性質(zhì)判定定理性質(zhì)定理文字語言如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行圖形語言符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(aα，,bα，,a∩b＝A，,a∥β，,b∥β))?α∥βeq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β，,γ∩α＝a，,γ∩β＝b))?b∥a提醒：1.辨明三個易誤點(1)直線與平面平行的判定中易忽視“線在面內(nèi)”這一關(guān)鍵條件．(2)面面平行的判定中易忽視“面內(nèi)兩條相交線”這一條件．2．線面、面面平行的判定中所遵循的原則一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應用性質(zhì)定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，不可過于“模式化”．1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α.()(2)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個平面．()(3)若一條直線平行于一個平面，則這條直線平行于這個平面內(nèi)的任一條直線．()(4)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．()(5)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√2．(教材習題改編)下列命題中正確的是()A．若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面B．若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行C．平行于同一條直線的兩個平面平行D．若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，beq\o(?,/)α，則b∥α解析：選DA中，a可以在過b的平面內(nèi)；B中，a與α內(nèi)的直線可能異面；C中，兩平面可相交；D中，由直線與平面平行的判定定理知，b∥α，正確．3．(2017·全國卷Ⅰ)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()解析：選AA項，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點，則QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交，∴直線AB與平面MNQ相交．B項，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又ABeq\o(?,/)平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.C項，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又ABeq\o(?,/)平面MNQ，MQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.D項，作如圖④所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥NQ.∴AB∥NQ.又ABeq\o(?,/)平面MNQ，NQ平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故選A．4．(教材習題改編)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E是DD1的中點，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為________解析：連接BD,設BD∩AC＝O,連接EO,在△BDD1中，點E,O分別是DD1,BD的中點，則EO∥BD1,又因為EO平面ACE,BD1eq\o(?,/)平面AEC,所以BD1∥平面ACE.答案：平行5．如圖，在空間四邊形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是________．解析：在平面ABD中，eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，∴MN∥BD.又MNeq\o(?,/)平面BCD，BD平面BCD，∴MN∥平面BCD.答案：平行直線與平面平行的判定與性質(zhì)[明技法]證明直線與平面平行的3種方法(1)定義法：一般用反證法；(2)判定定理法：關(guān)鍵是在平面內(nèi)找(或作)一條直線與已知直線平行，證明時注意用符號語言敘述證明過程；(3)性質(zhì)判定法：即兩平面平行時，其中一個平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個平面．[提能力]【典例】如圖所示，斜三棱柱ABC－A1B1C1中，點D，D1分別為AC，A1C1(1)證明AD1∥平面BDC1；(2)證明BD∥平面AB1D1.證明：(1)∵D1，D分別為A1C1與AC的中點，四邊形ACC1A1為平行四邊形，∴C1D1∥DA，C1D1＝∴四邊形ADC1D1為平行四邊形，∴AD1∥C1D.又AD1eq\o(?,/)平面BDC1，C1D平面BDC1，∴AD1∥平面BDC1.(2)連接D1D.∵BB1∥平面ACC1A1，BB1平面BB1D1D，平面ACC1A1∩平面BB1D1D＝D1∴BB1∥D1D.又D1，D分別為A1C1，AC中點，∴BB1＝DD1∴四邊形BDD1B1為平行四邊形，∴BD∥B1D1.又BDeq\o(?,/)平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，∴BD∥平面AB1D1.[母題變式1]將本例條件“D1，D分別為AC，A1C1上的中點”變?yōu)椤癉1，D分別為AC，A1C1上的點”．試問當eq\f(A1D1,D1C1)等于何值時，BC1∥平面AB1D1?解：如圖，取D1為線段A1C1的中點，此時eq\f(A1D1,D1C1)＝1，連接A1B交AB1于點O，連接OD1，由棱柱的性質(zhì)知四邊形A1ABB1為平行四邊形，∴O為A1B的中點．在△A1BC1中，點O，D1分別為A1B，A1C1∴OD1∥BC1，又OD1平面AB1D1，BC1eq\o(?,/)平面AB1D1，∴BC1∥平面AB1D1.∴當eq\f(A1D1,D1C1)＝1時，BC1∥平面AB1D1.[母題變式2]將本例條件“D，D1分別為AC，A1C1上的中點”變?yōu)椤癉，D1分別為AC，A1C1上的點且平面BC1D∥平面AB1D1”，試求eq\f(AD,DC)的值．解：由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得BC1∥D1O，∴eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB).又eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD)，eq\f(A1O,OB)＝1，∴eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.平面與平面平行的判定與性質(zhì)[明技法]證明面面平行的方法(1)面面平行的定義；(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行；(4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行；(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化．[提能力]【典例】如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，(1)B，C，H，G四點共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.解：(1)∵G，H分別是A1B1，A1C1∴GH是△A1B1C1的中位線，∴GH∥B1C又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC∴B，C，H，G四點共面．(2)∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，∴EF∥BC.∵EFeq\o(?,/)平面BCHG，BC平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB且A1G＝∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1Eeq\o(?,/)平面BCHG，GB平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.[母題變式1]在本例條件下，若D為BC1的中點，求證：HD∥平面A1B1BA.證明：如圖所示，連接HD，A1B，∵D為BC1的中點，H為A1C1的中點，∴HD∥A1B又HDeq\o(?,/)平面A1B1BA，A1B平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.[母題變式2]在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點，求證：平面A1BD1∥平面AC1D證明：如圖所示，連接A1C交AC1于點M∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴M是A1C連接MD，∵D為BC的中點，∴A1B∥DM.∵A1B平面A1BD1，DMeq\o(?,/)平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1BD，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，∴DC1∥BD1.又DC1eq\o(?,/)平面A1BD1，BD1平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.直線、平面平行的綜合問題[明技法]解決與平行有關(guān)的存在性問題的基本策略先假定題中的數(shù)學對象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個前提下進行邏輯推理，若能導出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實，說明假設成立，即存在，并可進一步證明；若導出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)果，則說明假設不成立，即不存在．[提能力]【典例】一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M，N分別是AB，AC的中點，G是DF上的一動點．(1)求該多面體的體積與表面積；(2)當點G在什么位置時，有GN∥平面BEF,給出證明．解：(1)由題中圖可知該多面體為直三棱柱，在△ADF中，AD⊥DF，DF＝AD＝DC＝a，所以該多面體的體積為eq\f(1,2)a3，表面積為eq\f(1,2)a2×2＋eq\r(2)a2＋a2＋a2＝(3＋eq\r(2))a2.(2)當G是DF的中點時，有GN∥平面BEF,證明如下：連接BD.∵四邊形ABCD是平行四邊形，且N是AC的中點，∴N是BD的中點，∴GN∥BF，又BF平面BEF，GNeq\o(?,/)平面BEF，∴GN∥平面BEF.[母題變式]當G是DF的中點