高考總復習文數（人教版）課時作業(yè)提升40空間幾何體的表面積和體積

課時作業(yè)提升(四十)空間幾何體的表面積和體積A組夯實基礎1．圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，則球的體積與圓柱的體積比V球∶V柱為()A．1∶2 B．2∶3C．3∶4 D．1∶3解析：選B設球的半徑為R.則eq\f(V球,V柱)＝eq\f(\f(4,3)πR3,πR2×2R)＝eq\f(2,3)，故選B．2．把球的表面積擴大到原來的2倍，那么體積擴大到原來的()A．2倍 B．2eq\r(2)倍C．eq\r(2)倍 D．eq\r(3,2)倍解析：選B由題意知球的半徑擴大到原來的eq\r(2)倍，則由體積V＝eq\f(4,3)πR3，知體積擴大到原來的2eq\r(2)倍．3．(2015·全國卷Ⅰ)《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米(如圖，米堆為一個圓錐的四分之一)，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有()A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛解析：選B設米堆的底面半徑為r尺，則eq\f(π,2)r＝8，所以r＝eq\f(16,π)，所以米堆的體積為V＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)π·r2·5＝eq\f(π,12)×(eq\f(16,π))2×5≈eq\f(320,9)(立方尺)．故堆放的米約有eq\f(320,9)÷1.62≈22(斛)．故選B．4．已知正六棱柱的12個頂點都在一個半徑為3的球面上，當正六棱柱的底面邊長為eq\r(6)時，其高的值為()A．3eq\r(3) B．eq\r(3)C．2eq\r(6) D．2eq\r(3)解析：選D設正六棱柱的高為h，則可得(eq\r(6))2＋eq\f(h2,4)＝32，解得h＝2eq\r(3).5．如圖，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為()A．eq\f(32,3) B．64C．eq\f(32\r(3),3) D．eq\f(64,3)解析：選D由三視圖可知，該多面體是一個四棱錐，且由一個頂點出發(fā)的三條棱兩兩垂直，長度都為4，∴其體積為eq\f(1,3)×4×4×4＝eq\f(64,3)，故選D．6．(2016·全國卷Ⅱ)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A．20π B．24πC．28π D．32π解析：選C由三視圖可得圓錐的母線長為eq\r(22＋2\r(3)2)＝4，∴S圓錐側＝π×2×4＝8π.又S圓柱側＝2π×2×4＝16π，S圓柱底＝4π，∴該幾何體的表面積為8π＋16π＋4π＝28π.故選C．7．若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的表面積是________．解析：由三視圖可知，該幾何體由一個正四棱柱和一個棱臺組成，其表面積S＝3×4×2＋2×2×2＋4×2eq\r(2)×2＋4×6＋eq\f(1,2)×(2＋6)×2×2＝72＋16eq\r(2).答案：72＋16eq\r(2)8．中國古代數學名著《九章算術》中記載了公元前344年商鞅督造一種標準量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示(單位：寸)：若π取3，其體積為12.6(立方寸)，則圖中的x的值為________．解析：由三視圖知，商鞅銅方升由一圓柱和一長方體組合而成，由題意得：(5.4－x)×3×1＋π·(eq\f(1,2))2x＝12.6，解得x＝1.6.答案：1.69．(2017·天津卷)已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為________．解析：設正方體的棱長為a，則6a2＝18，∴a＝eq\r(3).設球的半徑為R，則由題意知2R＝eq\r(a2＋a2＋a2)＝3，∴R＝eq\f(3,2).故球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9,2)π.答案：eq\f(9,2)π10．一個幾何體的三視圖如圖所示．已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形，側視圖是一個長為eq\r(3)，寬為1的矩形，俯視圖為兩個邊長為1的正方形拼成的矩形．(1)求該幾何體的體積V；(2)求該幾何體的表面積S.解：(1)由三視圖可知，該幾何體是一個平行六面體(如圖)，其底面是邊長為1的正方形，高為eq\r(3)，所以V＝1×1×eq\r(3)＝eq\r(3).(2)由三視圖可知，該平行六面體中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，側面ABB1A1，CDD1CS＝2×(1×1＋1×eq\r(3)＋1×2)＝6＋2eq\r(3).11．某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖①所示，墩的上半部分是正四棱錐P-EFGH，下半部分是長方體ABCD-EFGH，圖②、③分別是該標識墩的正視圖和俯視圖．(1)請畫出該安全標識墩的側視圖；(2)求該安全標識墩的體積．解：(1)側視圖同正視圖，如圖所示．(2)該安全標識墩的體積為V＝VP-EFGH＋VABCD-EFGH＝eq\f(1,3)×402×60＋402×20＝32000＋32000＝64000(cm3)．B組能力提升1．如圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的外接球的表面積為()A．eq\f(16π,3) B．eq\f(8π,3)C．4eq\r(3)π D．2eq\r(3)π解析：選A由對稱性可知外接球球心在側視圖中直角三角形的高線上，設外接球的半徑為R，則(eq\r(3)－R)2＋12＝R2，R＝eq\f(2\r(3),3)，其表面積S＝4πR2＝4πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))2＝eq\f(16π,3).2．(2018·臨沂檢測)已知S、A、B、C是球O表面上的點，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝eq\r(2)，則球O的表面積等于________．解析：將三棱錐S-ABC補形成以SA、AB、BC為棱的長方體，其對角線SC為球O的直徑，所以2R＝SC＝2，R＝1，∴表面積為4πR2＝4π.答案：4π3．(2017·全國卷Ⅰ)如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D，E，F(xiàn)為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形．沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐．當△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積(單位：cm3)解析：如圖，連接OD，交BC于點G，由題意，知OD⊥BC，OG＝eq\f(\r(3),6)BC.設OG＝x，則BC＝2eq\r(3)x，DG＝5－x，三棱錐的高h＝eq\r(DG2－OG2)＝eq\r(25－10x＋x2－x2)＝eq\r(25－10x)，S△ABC＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)x×3x＝3eq\r(3)x2，則三棱錐的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·h＝eq\r(3)x2·eq\r(25－10x)＝eq\r(3)·eq\r(25x4－10x5).令f(x)＝25x4－10x5，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,2)))，則f′(x)＝100x3－50x4.令f′(x)＝0得x＝2.當x∈(0,2)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，當x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2)))時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，故當x＝2時，f(x)取得最大值80，則V≤eq\r(3)×eq\r(80)＝4eq\r(15).∴三棱錐體積的最大值為4eq\r(答案：4eq\r(15)4．如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，已知PB＝PD＝2，PA＝eq\r(6).(1)證明：PC⊥BD；(2)若E為PA的中點，求三棱錐P-BCE的體積．(1)證明：連接AC，交BD于O點，連接PO.因為底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，BO＝DO.由PB＝PD知，PO⊥BD.再由PO∩AC＝O知，BD⊥平面APC，因此BD⊥PC.(2)解：因為E是PA的中點，所以VP-BCE＝VC-PEB＝eq\f(1,2)VC-PAB＝eq\f(1,2)VB-APC.由PB＝PD＝AB＝AD＝2知，△ABD≌△PBD.因為∠BAD＝60°，所以PO＝AO＝eq\r(3)，AC＝2eq\r(3)，BO＝1.又PA＝eq\r(6)，PO2＋AO2＝PA2，即PO⊥AC.故S△APC＝eq\f(1,2)PO·AC＝3.由(1)知，BO⊥平面APC，因此VP-BCE＝eq\f(1,2)VB-APC＝eq\f(1,2)·eq\f(1,3)·BO·S△APC＝eq\f(1,2).5．如圖，在三棱錐D-ABC中，已知BC⊥AD，BC＝2，AD＝6，AB＋BD＝AC＋CD＝10，求