183矩形的性質(zhì)與判定（原卷版）

八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》18.3矩形的性質(zhì)與判定知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)一矩形的定義●●定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形.【注意】（1）由矩形的定義知，矩形一定是平行四邊形，但平行四邊形不一定是矩形.（2）矩形必須具備兩個(gè)條件：①它是一個(gè)平行四邊形；②它有一個(gè)角是直角，這兩個(gè)條件缺一不可.（3）矩形的定義既可以作為矩形的性質(zhì)運(yùn)用，又可作為矩形的判定運(yùn)用.知識(shí)點(diǎn)二矩形的性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)二矩形的性質(zhì)●●性質(zhì)：矩形的四個(gè)角都是直角；矩形的對(duì)角線相等.幾何語(yǔ)言：∵四邊形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD.◆1、矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì).◆2、矩形是軸對(duì)稱圖形，鄰邊不相等的矩形有兩條對(duì)稱軸，分別是對(duì)邊所在中點(diǎn)連線的直線.◆3、矩形的四個(gè)角都是直角，常把矩形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問(wèn)題來(lái)解決，同時(shí)，矩形被兩條對(duì)角線分成兩對(duì)全等的等腰三角形，因此在解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)，也常常用到等腰三角形的性質(zhì).◆4、矩形的面積=長(zhǎng)×寬，矩形的面積=被對(duì)角線分成的四個(gè)面積相等的小三角形（等腰三角形）面積之和.知識(shí)點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)三直角三角形斜邊上的中線◆1、直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.幾何語(yǔ)言：∵在Rt△ABC中，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，∴OB=AO=CO=AC.◆3、直角三角形的這條性質(zhì)與直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半、三角形的中位線定理都是證明線段倍分關(guān)系的重要依據(jù)．“三角形的中位線定理”適用于任何三角形；“直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)適用于任何直角三角形”；“含30°角的直角三角形性質(zhì)”僅適用于含30°角的特殊直角三角形.知識(shí)點(diǎn)四知識(shí)點(diǎn)四矩形的判定●矩形的判定方法：方法一：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；幾何語(yǔ)言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且∠A=90°(或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°)，

∴四邊形ABCD是矩形.方法二：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；幾何語(yǔ)言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AC=BD，

∴四邊形ABCD是矩形.方法三：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；幾何語(yǔ)言：∵∠A=∠B=∠C=90°,

∴四邊形ABCD是矩形.◆思路總結(jié)：判定一個(gè)四邊形是矩形要分兩種情況：一是在平行四邊形的基礎(chǔ)上判定矩形，只要證出有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等即可；二是在四邊形的基礎(chǔ)上判定矩形，可以直接證出三個(gè)角是直角或先證出四邊形是平行四邊形，再進(jìn)一步證明有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等.題型一利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)題型一利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)【例題1】（2022秋?滕州市校級(jí)期末）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC＝4，∠BOA＝120°，則AB的長(zhǎng)是（）A．3 B．2 C．23 D．4解題技巧提煉在利用矩形的性質(zhì)計(jì)算線段長(zhǎng)度時(shí)，常常與特殊三角形的性質(zhì)和勾股定理結(jié)合起來(lái)應(yīng)用.【變式11】（2022秋?錦江區(qū)期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O．點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AO，AD的中點(diǎn)，連接EF，則△AEF的周長(zhǎng)為（）A．6 B．7 C．8 D．9【變式12】（2022秋?峰峰礦區(qū)校級(jí)期末）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，且EC平分∠BED，AB＝2，∠ABE＝45°，則DE的長(zhǎng)為（）A．22?2 B．22?1 C．3?【變式13】（2022春?余干縣期末）已知一矩形的兩邊長(zhǎng)分別為10cm和15cm，其中一個(gè)內(nèi)角的平分線分長(zhǎng)邊為兩部分，這兩部分的長(zhǎng)為（）A．6cm和9cm B．5cm和10cm C．4cm和11cm D．7cm和8cm【變式14】（2021?香坊區(qū)模擬）在矩形ABCD中，AB＝3，∠ABC的平分線BE交AD所在的直線于點(diǎn)E，若DE＝2，則AD的長(zhǎng)為．【變式15】（2022春?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，P是矩形ABCD的邊AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，矩形的兩條邊AB、BC的長(zhǎng)分別為3和4，那么點(diǎn)P到矩形的兩條對(duì)角線AC和BD的距離之和是（）A．125 B．65 C．24題型二利用矩形的性質(zhì)求角度題型二利用矩形的性質(zhì)求角度【例題2】（2022秋?衡南縣期末）如圖，分別在長(zhǎng)方形ABCD的邊DC，BC上取兩點(diǎn)E，F(xiàn)，使得AE平分∠DAF，若∠BAF＝60°，則∠DAE＝（）A．45° B．30° C．15° D．60°解題技巧提煉矩形內(nèi)求角度的問(wèn)題主要是利用矩形的性質(zhì)和結(jié)合題中的條件求解，有時(shí)要利用等腰三角形的性質(zhì).【變式21】（2022春?承德縣期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)E，DF⊥AC于F點(diǎn)，若∠ADF＝3∠FDC，則∠DEC的度數(shù)是（）A．30° B．45° C．50° D．55°【變式22】（2022春?撫順期末）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，若DF⊥AC，∠ADF：∠FDC＝3：2，則∠BDF＝．【變式23】如圖，四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，F(xiàn)是DA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CF交AB于點(diǎn)E，G是CF上一點(diǎn)，且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F．若∠ECB＝20°，則∠ACD的度數(shù)是．【變式24】（2022春?洪澤區(qū)校級(jí)月考）如圖，延長(zhǎng)矩形ABCD的邊BC至點(diǎn)E，使CE＝BD，連結(jié)AE，如果∠ACB＝36°，求∠E的度數(shù)．【變式25】（2022秋?薌城區(qū)校級(jí)期中）長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝12，AD＝17，E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，BE＝5，DF＝7，則∠AEB+∠AFD等于（）A．105° B．120° C．90° D．135°題型三利用矩形的性質(zhì)求面積題型三利用矩形的性質(zhì)求面積【例題3】如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，連接ED，若ED＝5，EC＝3，則長(zhǎng)方形的面積為（）A．22 B．24 C．26 D．28解題技巧提煉求矩形的面積問(wèn)題，主要是利用矩形的性質(zhì)求出矩形的長(zhǎng)和寬，再根據(jù)面積的計(jì)算公式求解即可，有時(shí)與勾股定理結(jié)合起來(lái)用.【變式31】如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ACB＝30°，BD＝4，則矩形ABCD的面積是．【變式32】（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）如圖，點(diǎn)O是矩形ABCD的對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接OA，OE．若OA＝2，OE＝1，則矩形ABCD的面積為．【變式33】如圖，△ABC中，AC的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、F，BE⊥DF交DF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，則四邊形BCDE的面積是（）A．23 B．33 C．4 D．43【變式34】如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)在BD上，BE＝DF．（1）求證：AE＝CF；（2）若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面積．題型四利用矩形的性質(zhì)證明題型四利用矩形的性質(zhì)證明【例題4】（2022春?江西月考）如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，連接OE，若∠AOB＝60°，求證：△OBE是等腰三角形．解題技巧提煉與矩形有關(guān)的問(wèn)題，常與全等三角形和特殊三角形等知識(shí)融為一體進(jìn)行探索，利用矩形的性質(zhì)，可以得到許多的結(jié)論，在解題時(shí)，針對(duì)問(wèn)題列出有用的結(jié)論作論據(jù)即可.【變式41】在矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足為F．（1）求證：DF＝AB；（2）若∠FDC＝30°，且AB＝4，求AD．【變式42】（2022春?姜堰區(qū)校級(jí)月考）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，在AB的延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)E，連接EC，使得EC＝AC．（1）求證：四邊形BDCE是平行四邊形；（2）若AB＝6，BC＝8，求點(diǎn)E到AC的距離．【變式43】（2022?安順模擬）如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC的垂直平分線分別與邊AB，CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，N，與邊AD交于點(diǎn)E，垂足為O．（1）求證：△AOM≌△CON；（2）若AD＝8，CD＝4，求AE的長(zhǎng)．【變式44】（2022秋?石阡縣期中）如圖，在矩形ABCD中，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作EF⊥AC，分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）求證：△AOE≌△COF；（2）若AE+BF＝16，求BC的長(zhǎng)．【變式45】（2022秋?南岸區(qū)校級(jí)期中）如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AF于點(diǎn)G，連接DG、BG、CG．（1）求證：BG＝DG；（2）連接BD，求∠BDG的度數(shù)．題型五直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)題型五直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)【例題5】（2022秋?沭陽(yáng)縣期中）如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)E，CE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)M，N分別是BC，DE的中點(diǎn)．（1）求證：MN⊥DE；（2）若∠ECB+∠DBC＝45°，DE＝10，求MN的長(zhǎng)．解題技巧提煉在直角三角形中，遇到斜邊的中點(diǎn)常作斜邊的中線，從而利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)解決問(wèn)題.【變式51】（2022?寧南縣模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD為中線，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)E，使BE＝BC，連結(jié)DE，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連結(jié)BF．若AB＝10，則BF的長(zhǎng)為．【變式52】（2022秋?新田縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8cm，AM是BC上的高，MN∥AC，MN交AB于點(diǎn)N，BC＝6cm，求△BMN的周長(zhǎng)．【變式53】（2021秋?蓮都區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝45°，AD是BC邊上的高線，CE是AB邊上的中線．（1）求證：AE＝CD；（2）求∠ACE的度數(shù)．【變式54】（2022秋?大名縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝2∠B，D是BC上的一點(diǎn)，且AD⊥AB，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，連接AE．（1）求證：∠AEC＝∠C；（2）求證：BD＝2AC；（3）若AE＝6.5，AD＝5，求△ABE的周長(zhǎng)．【變式55】（2022秋?興化市校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，CF⊥AB于點(diǎn)F，BE⊥AC于點(diǎn)E，M為BC的中點(diǎn)．（1）求證：△MEF是等腰三角形；（2）若∠EBC＝30°，BC＝10cm，求CE的長(zhǎng)度．題型六判斷四邊形是矩形題型六判斷四邊形是矩形【例題6】（2021秋?天府新區(qū)期末）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點(diǎn)E．求證：四邊形ADCE為矩形；解題技巧提煉如果已知四邊形的兩個(gè)角是直角，此時(shí)可以選擇“有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”證明比較簡(jiǎn)單.【變式61】（2021秋?中牟縣期末）檢查一個(gè)門框是否為矩形，下列方法中正確的是（）A．測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線，是否相等 B．測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線，是否互相平分 C．測(cè)量門框的三個(gè)角，是否都是直角 D．測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線，是否互相垂直【變式62】（2021春?新市區(qū)校級(jí)期末）四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD于點(diǎn)O，下列各組條件，不能判定四邊形ABCD是矩形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD B．∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠A＝∠B C．OA＝OC，OB＝OD，∠BAD＝90° D．∠A＝∠C，∠B+∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC【變式63】已知，如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，DF、DE分別是△BDC、△ADC的角平分線．求證：四邊形DECF是矩形．【變式64】如圖，MN∥PQ，直線l分別交MN、PQ于點(diǎn)A、C，同旁內(nèi)角的平分線AB、CB相交于點(diǎn)B，AD、CD相交于點(diǎn)D．試證明四邊形ABCD是矩形．【變式65】（2021春?西吉縣期末）已知：如圖，在?ABCD中，AF、BH、CH、DF分別是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分線．求證：四邊形EFGH是矩形．題型七判斷平行四邊形是矩形題型七判斷平行四邊形是矩形【例題7】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥CD，CF⊥AB，垂足分別為E，F(xiàn)．求證：四邊形AFCE是矩形．解題技巧提煉已知四邊形是平行四邊形時(shí)，判定矩形的方法只需再證有一個(gè)角為直角（定義法），或再證明對(duì)角線相等.當(dāng)已知對(duì)角線相等時(shí)，只需證這個(gè)四邊形是平行四邊形即可.【變式71】（2022春?南票區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝BC，BD平分∠ABC．四邊形ABED是平行四邊形，DE交BC于點(diǎn)F，連接CE．求證：四邊形BECD是矩形．【變式72】如圖，已知在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，E，G分別是AC，DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為DE延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，∠FCA＝∠CEG．（1）求證：AD∥CF；（2）求證：四邊形ADCF是矩形．【變式73】已知：如圖，平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分別為E，F(xiàn)．且BE＝CF．求證：平行四邊形ABCD是矩形．【變式74】如圖，AC、BD相交于點(diǎn)O，且O是AC、BD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在四邊形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°，求證：四邊形ABCD是矩形．【變式75】如圖所示，在?ABCD中，AE⊥BD于點(diǎn)E，CF⊥BD于點(diǎn)F，延長(zhǎng)AE至點(diǎn)G，使EG＝AE，連接CG．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）求證：四邊形EGCF是矩形．【變式76】如圖，在?ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F在CB的延長(zhǎng)線上，且EF∥BD．（1）求證：四邊形OBFE是平行四邊形；（2）當(dāng)線段