基本不等式技巧-一覽眾山小-換元法

（5）一覽眾山小——換元法分母換元例1.已知實(shí)數(shù)滿足，且，則的值最小時(shí)，實(shí)數(shù)（

）A． B．C． D．1解：利用換元法,設(shè)，即，故，然后利用基本不等式求最值即可．設(shè)，解得，所以，即，設(shè)，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即，則的值最小時(shí)，實(shí)數(shù)，選:．例2.對(duì)任意正數(shù)x，y，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．解：利用基本不等式可求的最大值，從而可求實(shí)數(shù)k的取值范圍.令，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為，故，選：B.注：復(fù)雜的分式型，可以把分母換元（雙換元），達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.比值換元例3.已知a>0,b>0,則6aba2+36b2+aba6ab=6xx2+36+則fx=當(dāng)且僅當(dāng)t=x+6x=5即x=2或3即ab=2或3時(shí)取''=”.

所以6aba2+36b2+aba2+b2的取大值為710.

評(píng)注例4.解：令t=a6aba=6=6t=6t=8t=8t=8≤8例5.已知y2解：令y=kx則由原式把y全部換成x可以得y2?k?k?xk?x=4=4=4k=4∵x=40<k1-k當(dāng)k=此時(shí)y2故x例6.已知a,b,c∈R+且滿足abc=1,求解:令a=x所以1=y=y2y由權(quán)方和不等式y(tǒng)2?x+y+z=x+y+z當(dāng)且僅當(dāng)yy改變條件形式的換元——尋求熟悉的面孔例7.已知實(shí)數(shù)x,y滿足5x2-4xy-y2=5,則2x2+y2的最小值為令x-y=a,5x+y=b,則ab=5,x=a+b62x=1?1=1當(dāng)且僅當(dāng)27a2=3b例8.已知出數(shù)abc+2a2+2b2+2c解：由已知得a-1?a-1?a-1令a-1=x則x?0?x+y+z?x+y+z2+x+y+z2=124-x則t?t?t-6?t?6.

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=2時(shí)取"="

于是可得,a+b+c的最大值為6.一次二次的換元——為了對(duì)勾而代換對(duì)與形如可令進(jìn)行代換例9.函數(shù)有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2解：，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.（方法2）令，，，.將其代入，原函數(shù)可化為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí).選：D例10.已知，函數(shù)的最大值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4解：令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立.選：B.三角換元【規(guī)律點(diǎn)撥】模型1.出現(xiàn)“|x|≤1”,可設(shè)x=sinα或x=cos出現(xiàn)“|x|≥1”,可設(shè)x=secα或出現(xiàn)“x∈R”,可設(shè)x=tanα或x=cotα.

模型2.出現(xiàn)“出現(xiàn)“x2-y2=出現(xiàn)“x+y=rxyr∈R+”可設(shè)x=rcos出現(xiàn)“x2a2-y2b2若出現(xiàn)“a2≤x2+y2≤b2若出現(xiàn)“r2-x2”,可設(shè)出現(xiàn)“x2-r2”,可設(shè)出現(xiàn)“r2+x2”，可設(shè)x=rtanα或rcotα.

模型6.出現(xiàn)“出現(xiàn)“x+y1-xy、x-y1+xy”,可設(shè)x=tanα、y=tanβ.

模型7.出現(xiàn)“x+y+z=xyzα+β+γ=nπ,n∈Z.

模型8.出現(xiàn)“xy+yz+zx=1”，可設(shè)x=tanα2、y=α+β+γ=2n+1π,n∈Z.

模型9.出現(xiàn)“x2+kxy+y例11.已知a>0,b>0,a+b=1,求a+12+b+12的最大值.

解：a+12+b+12=2sin2α+2cos2例12.若實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,則a的最大值為_______

解：由a2+b2+c2=1得b2+c2=1-a例13.設(shè)x,y為實(shí)數(shù),若4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值是_______

解將4x2+所以2x+y=315sin?θ+cos?θ=85sin?(θ+φ),