「初中數(shù)學(xué)」中點(diǎn)相關(guān)的幾何解法探究

「初中數(shù)學(xué)」中點(diǎn)相關(guān)的幾何解法探究中點(diǎn)是幾何中的一個(gè)重要概念，體現(xiàn)了對(duì)稱、和諧之美，是中考的核心考察對(duì)象之一，在命題中占著重要的一席之地.本文擬從與中點(diǎn)有關(guān)的基本定理、基本圖形等入手，以學(xué)生檢測(cè)中的一道中考真題為例，對(duì)中點(diǎn)問題展開解法探究.一、基本圖形先談?wù)勁c中點(diǎn)有關(guān)的基本定理與基本圖形，如圖1所示：1.線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；2.等腰三角形底邊上的中線、底邊上的高線以及頂角的平分線重合，簡(jiǎn)稱“三線合一”；3.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；4.三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半；5.平行四邊形的對(duì)角線互相平分；由這些基本定理及其相關(guān)逆定理衍生出的基本圖形，是我們處理中點(diǎn)問題的常見策略，如倍長(zhǎng)中線等方法.結(jié)合面積問題，還會(huì)有“三角形的中線平分其面積”等結(jié)論.二、例題呈現(xiàn)（2015年遼寧省撫順市中考題）如圖2，四邊形ABCD為矩形，E為邊BC的中點(diǎn)，連接AE，以AD為直徑的⊙O交AE于點(diǎn)F，連接CF.(1)求證：CF與⊙O相切；(2)若AD=2，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，求AB的長(zhǎng).三、解法探究首先解決第(1)小問：思路一：如圖3，要證CF與⊙O相切，必定要連接半徑OF，只要證出OF⊥CF即可.由題易知OD⊥CD，連接OC，若能證明△OCD≌△OCF便可解決問題.要證△OCD≌△OCF，已經(jīng)有OD=OF，OC=OC，還缺一個(gè)條件，如何尋找呢？注意到在矩形ABCD中，點(diǎn)O、E分別為AD、BC的中點(diǎn)，易證四邊形AOCE為平行四邊形，從而有OC∥AE.故∠COF=∠OFA=∠OAF=∠COD，即∠COF=∠COD.因此△OCD≌△OCF（SAS），問題得解.思路一構(gòu)造平行四邊形，通過導(dǎo)角，尋找到了所需的最后一組有關(guān)角的條件.除此之外，還可以考慮證明CD=CF，再利用“SSS”得到全等.下面提供“倍長(zhǎng)中線”的思路來證明CD=CF.思路二：如圖4，延長(zhǎng)AE交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，由E為邊BC的中點(diǎn)，易證△ABE≌△GCE（ASA），從而有AB=GC=DC；由直徑AD聯(lián)想到連接DF，則∠AFD=∠DFG=90°；識(shí)別到“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”基本型，可得FC=DC；至此，除了全等法之外，還可以簡(jiǎn)化過程如下：由OF=OD得∠OFD=∠ODF，再由FC=DC得∠CFD=∠CDF，從而有∠OFC=∠ODC=90°，則OF⊥CF，故CF與⊙O相切，問題得解.課堂上筆者介紹了這兩種思路，學(xué)生直呼過癮.就這樣結(jié)束了嗎？不！愛動(dòng)腦筋，總會(huì)有意想不到的收獲！下課鈴聲一響，班里一學(xué)生興高采烈的堵住我：“老師，我還有一種解法，……”.思路三：如圖5，連接OF、DF、OE、OC、DE，設(shè)OC與DE交于點(diǎn)M，再連接FM.易證四邊形ODCE為矩形，且∠AFD=∠DFE=90°，則FM=1/2DE=1/2OC=OM=CM.由FM=OM=CM，可推出∠OFC=90°，則OF⊥CF，故CF與⊙O相切，問題得解.此解法看似復(fù)雜，但構(gòu)圖充滿美感，不自覺間形成了一個(gè)極其有趣的“★”結(jié)構(gòu)，讓人不禁感嘆幾何構(gòu)造之神奇！而解法來源于學(xué)生，又不禁讓教者驚嘆于學(xué)生無限的創(chuàng)造力!若用共圓的眼光來看，此解法將更有趣.如圖6，易知O、D、C、E、F五點(diǎn)共圓，再借助圓中相關(guān)知識(shí)，此圖中還會(huì)有非常多的等角.四、解后反思“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆”，解題后反思是是一種意識(shí)，一種習(xí)慣，更是一種能力.幾何的學(xué)習(xí)重在基本圖形的識(shí)別與構(gòu)造，學(xué)會(huì)聯(lián)想，將殘缺的圖形補(bǔ)成已學(xué)過或已解決的基本圖形，這就是所謂常見輔助線的構(gòu)造.反思解題過程，重在反思基本圖形.1.“鐵三角結(jié)構(gòu)”思路一中可抽離一個(gè)基本圖形：如圖6，由OA=OF及OC∥AF可推出∠1=∠2，即“等腰三角形＋平行角平分線”.事實(shí)上，對(duì)于條件①：OA=OF；條件②：OC∥AF；條件③：∠1=∠2，其中任意兩個(gè)成立，第三個(gè)一定成立，兩兩組合，共三個(gè)真命題.筆者稱其為“鐵三角結(jié)構(gòu)”，它經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)在中考題里，應(yīng)予以廣泛的關(guān)注.2.“倍長(zhǎng)中線法”思路二中，由中點(diǎn)E聯(lián)想到倍長(zhǎng)AE至點(diǎn)G，如圖7，構(gòu)造出一組“平行8字型”全等，此法即為“倍長(zhǎng)中線法”，是解決與中點(diǎn)相關(guān)問題的重要方法，需引起高度重視.此外，倍長(zhǎng)中線之后，思路二還結(jié)合了一個(gè)重要的定理，即直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，如圖8所示.這條中線了不得，它將直角三角形分割成了兩個(gè)等腰三角形，實(shí)現(xiàn)了兩種特殊三角形之間的相互轉(zhuǎn)化.值得一提的是，該定理還有一些重要的逆定理，比如“若FC=CD=CG，則∠DFG=90°”，再比如“若∠DFG=90°且FC=CD，則CD=CG”，也經(jīng)常會(huì)在中考題里出現(xiàn).3.幾個(gè)有趣的結(jié)論(1)如圖9，在矩形ABCD中，E為邊BC的中點(diǎn)，DF⊥AE，則CF=CD.簡(jiǎn)析：該結(jié)論就是從例題圖中抽離出來的，其中圓被隱去了.其證明，從例題來看，至少有兩種證法：一是取AD的中點(diǎn)，采取全等法；二是延長(zhǎng)AE，采取倍長(zhǎng)中線法.此外，還可以建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，利用解析法，經(jīng)過一番“慘無人道”的計(jì)算，驗(yàn)證出CF=CD成立.這既是解析法的優(yōu)勢(shì)，也是其劣勢(shì)之所在.它不需要聯(lián)想到幾何構(gòu)造的“天馬行空”，僅僅只要實(shí)施暴力計(jì)算的“腳踏實(shí)地”.幾何法是證明，而解析法就是驗(yàn)算.通過證明不難發(fā)現(xiàn)，矩形條件實(shí)屬多余，只需要四邊形ABCD為平行四邊形，其余條件不變，如圖10所示，依然有CF=CD成立.(2)如圖11，在正方形ABCD中，E、M分別為邊BC、AB的中點(diǎn)，則CF=CD.簡(jiǎn)析：易證Rt△ADM≌Rt△BAE（SAS），導(dǎo)角可得DM⊥AE，轉(zhuǎn)化為結(jié)論(1)，下略.圖11中，兩個(gè)中點(diǎn)可導(dǎo)出：DM⊥AE，DM=AE，CF=CD.這是一個(gè)極其有趣的結(jié)構(gòu)，可稱為正方形中“十字架”模型，借助相似，該模型也可以推廣到矩形中，是一個(gè)經(jīng)典的幾何圖形，常出現(xiàn)在考題中.(3)如圖12，在正方形ABCD中，F(xiàn)為邊AB的中點(diǎn)，CF與以AB為直徑的半圓交于點(diǎn)G，連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，則E必為邊BC的一個(gè)黃金分割點(diǎn).簡(jiǎn)析：如圖13，由直徑AB聯(lián)想到連接BG，則BG⊥AE；聯(lián)想到正方形中“十字架”模型，延長(zhǎng)BG交邊CD于點(diǎn)M，則易得Rt△ABE≌Rt△BCM（AAS）；又由邊AB的中點(diǎn)F知，GF=AF=BF，導(dǎo)角易得∠1=∠3=∠4=∠2，∠5=∠8=∠7=∠6；由∠1=∠2知△CGE∽CBG，從而易得CG2=CE×CB；又由∠5=∠6，易得CG=CM=BE，因此有BE2=CE×CB，即點(diǎn)E必為邊BC的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，問題得解.此結(jié)論脫胎于2017年安徽省中考?jí)狠S題，是一個(gè)極其有趣的結(jié)果，它提供了一種用尺規(guī)作圖尋找線段黃金分割點(diǎn)的趣法，值得大家用心揣摩.五、類題鞏固（2017年黑龍江省鶴崗市中考題）已知：△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．連接AD，BC，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，連接OH．(1)如圖14所示，求證：OH＝1/2AD且OH⊥AD；(2)將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖15，圖16所示位置時(shí)，線段OH與AD又有怎樣的關(guān)系，并選擇一個(gè)圖形證明你的結(jié)論．簡(jiǎn)析：(1)如圖17，易證Rt△AOD≌Rt△BOC（SAS），則AD=BC，∠1=∠2；又由H為BC的中點(diǎn)，易得OH=1/2BC=BH，從而∠1=∠3；故OH＝1/2AD，再由∠2=∠3導(dǎo)角可得OH⊥AD；對(duì)于第(2)小問，下面給出幾種方法，供大家參考：方法一：如圖18，延長(zhǎng)BO至點(diǎn)B′，使OB′=BO，連接B′C.由點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，得OH∥B′C且OH=1/2B′C.又易證△AOD≌△B′OC（SAS），則有AD=B′C，于是有OH＝1/2AD.另外，由△AOD≌△B′OC還可得∠OAD=∠OB′C，導(dǎo)角易得B′C⊥AD，從而有OH⊥AD，問題得解.方法一通過倍長(zhǎng)BO的手段，將目標(biāo)線段OH變?yōu)橹形痪€，從而轉(zhuǎn)化為B′C，只要證明B′C與AD的關(guān)系即可.既然可以倍長(zhǎng)BO，同理可以倍長(zhǎng)CO，如圖19所示，“它們是一伙的”，不再贅述.方法二：如圖20，延長(zhǎng)AO至點(diǎn)E，使OE=AO，連接DE，再取DE的中點(diǎn)F，連接OF，則OF∥AD且OF=1/2AD.又易證△BOC≌△EOD（SAS），其中△EOD可看成由△BOC繞著點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°而來.由點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，易知點(diǎn)H與點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得OF=OH且OF⊥OH，從而有OH=1/2AD且OH⊥AD，問題得解.方法二通過倍長(zhǎng)AO的手段，再取一個(gè)中點(diǎn)，將目標(biāo)線段AD轉(zhuǎn)化為中位線OF，只要證明OF與OH的關(guān)系即可.既然可以倍長(zhǎng)AO，同理可以倍長(zhǎng)DO，如圖21所示，“它們也是一伙的”，不再贅述.上面兩種方法都用到了一個(gè)重要的基本圖形，如圖22及圖23所示，可直觀地稱其為“共直角頂點(diǎn)的雙等腰直角三角形模型”.在該模型中，易得△BOD≌△AOC（SAS），這個(gè)全等往往是解題的關(guān)鍵之所在，還可以用旋轉(zhuǎn)的眼光來看待，從而易得AC=BD且AC⊥BD.方法三：如圖24，延長(zhǎng)中線OH至點(diǎn)E，使HE=OH，連接BE，則有△COH≌△BEH（SAS），從而易知BE=CO=DO，且易得BE∥CO，故∠EBO+∠COB=180°.又因?yàn)椤螦OD+∠COB=（∠AOB+∠DOB）+∠COB=∠AOB+(∠DOB+∠COB）=∠AOB+∠DOC=180°，所以有∠EBO=∠AOD.于是有△EBO≌△DOA（SAS），則OE=AD且∠EOB=∠DAO.再