2025屆大連市第九中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2025屆大連市第九中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在棱長(zhǎng)為1的正四面體中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，當(dāng)和的長(zhǎng)度都為最短時(shí)，的值是（）A. B.C. D.2．已知，，，若，，共面，則λ等于（）A. B.3C. D.93．某公司有320名員工，將這些員工編號(hào)為1，2，3，…，320，從這些員工中使用系統(tǒng)抽樣的方法抽取20人進(jìn)行“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的問卷調(diào)查，若54號(hào)被抽到，則下面被抽到的是（）A.72號(hào) B.150號(hào)C.256號(hào) D.300號(hào)4．已知等差數(shù)列{an}中，a4+a9=8，則S12=（）A.96 B.48C.36 D.245．方程表示的曲線是（）A.一個(gè)橢圓和一個(gè)點(diǎn) B.一個(gè)雙曲線的右支和一條直線C.一個(gè)橢圓一部分和一條直線 D.一個(gè)橢圓6．俗話說“好貨不便宜，便宜沒好貨”，依此判斷，“不便宜”是“好貨”的（）A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．已知平面的一個(gè)法向量為=（2，－2，4），=（－1，1，－2），則AB所在直線l與平面的位置關(guān)系為（）A.l⊥ B.C.l與相交但不垂直 D.l∥8．《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），問立夏日影長(zhǎng)為（）A.一尺五寸 B.二尺五寸C.三尺五寸 D.四尺五寸9．在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（）A. B.C. D.10．甲組數(shù)據(jù)為：5，12，16，21，25，37，乙組數(shù)據(jù)為：1，6，14，18，38，39，則甲、乙的平均數(shù)、極差及中位數(shù)相同的是（）A.極差 B.平均數(shù)C.中位數(shù) D.都不相同11．若，，則下列各式中正確的是（）A. B.C. D.12．若關(guān)于x的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，且數(shù)列是嚴(yán)格遞增數(shù)列或嚴(yán)格遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)a取值范圍是______14．已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為____15．在某項(xiàng)測(cè)量中，測(cè)量結(jié)果ξ服從正態(tài)分布（），若ξ在內(nèi)取值的概率為0.4，則ξ在內(nèi)取值的概率為______16．如圖所示，將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊（包括兩個(gè)端點(diǎn)）有個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中點(diǎn)的個(gè)數(shù)記為，按此規(guī)律，則___________，___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2（1）求C的方程;（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率最大值.18．（12分）已知直線過點(diǎn)，且被兩條平行直線，截得的線段長(zhǎng)為.（1）求的最小值；（2）當(dāng)直線與軸平行時(shí)，求的值.19．（12分）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，，.（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）令，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.20．（12分）如圖1，已知矩形中，，E為上一點(diǎn)且.現(xiàn)將沿著折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置，且，得到的圖形如圖2.（1）證明為直角三角形；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M在線段上，判斷直線與平面位置關(guān)系，并說明理由.21．（12分）已知橢圓過點(diǎn)，離心率為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的上頂點(diǎn)作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)①求證：；②設(shè)OA，OB分別與橢圓相交于C，D兩點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線CD的垂線OH，垂足為H，證明：為定值22．（10分）圓經(jīng)過兩點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）求圓與圓的公共弦的長(zhǎng).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)給定條件確定點(diǎn)M，N的位置，再借助空間向量數(shù)量積計(jì)算作答.【詳解】因，則，即，而，則共面，點(diǎn)M在平面內(nèi)，又，即，于是得點(diǎn)N在直線上，棱長(zhǎng)為1的正四面體中，當(dāng)長(zhǎng)最短時(shí)，點(diǎn)M是點(diǎn)A在平面上的射影，即正的中心，因此，，當(dāng)長(zhǎng)最短時(shí)，點(diǎn)N是點(diǎn)D在直線AC上的射影，即正邊AC的中點(diǎn)，，而，，所以.故選：A2、C【解析】由，，共面，設(shè)，列方程組能求出λ的值【詳解】∵，，共面，∴設(shè)(實(shí)數(shù)m、n)，即，∴，解得故選：C3、B【解析】根據(jù)系統(tǒng)抽樣分成20個(gè)小組，每組16人中抽一人，故抽到的序號(hào)相差16的整數(shù)倍，即可求解.【詳解】∵用系統(tǒng)抽樣的方法從320名員工中抽取一個(gè)容量為20的樣本∴，即每隔16人抽取一人∵54號(hào)被抽到∴下面被抽到的是54+16×6=150號(hào)，而其他選項(xiàng)中的數(shù)字不滿足與54相差16的整數(shù)倍，故答案為：B故選：B4、B【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得.故選：B5、C【解析】由可得，或，再由方程判斷所表示的曲線.【詳解】由可得，或，即或，則該方程表示一個(gè)橢圓的一部分和一條直線.故選：C6、A【解析】將“好貨”與“不便宜”進(jìn)行相互推理即可求得答案.【詳解】根據(jù)題意，“好貨”一定“不便宜”，但是“不便宜”不一定是“好貨”，所以“不便宜”是“好貨”的必要不充分條件.故選：A.7、A【解析】由向量與平面法向量的關(guān)系判斷直線與平面的位置關(guān)系【詳解】因?yàn)?，所以，所以故選：A8、D【解析】結(jié)合等差數(shù)列知識(shí)求得正確答案.【詳解】設(shè)冬至日影長(zhǎng)，公差為，則，所以立夏日影長(zhǎng)丈，即四尺五寸.故選：D9、A【解析】根據(jù)圖可得：為定值，利用根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，從而寫出其方程即得【詳解】解：如圖設(shè)與圓切點(diǎn)分別為、、，則有，，，所以根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支（右頂點(diǎn)除外），即、，又，所以，所以方程為故選：A10、B【解析】由平均數(shù)、極差及中位數(shù)的定義依次求解即可比較【詳解】，，故甲、乙的平均數(shù)相同，甲、乙的極差分別為，，故不同，甲、乙的中位數(shù)分別為，，故不同，故選：11、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合，，利用不等式的性質(zhì)可判斷，從而判斷，再利用不等式性質(zhì)得出正確答案.【詳解】，，，又，，兩邊同乘以負(fù)數(shù)，可知故選：D12、C【解析】將對(duì)數(shù)方程化為指數(shù)方程，用x表示出a，利用基本不等式即可求a的范圍【詳解】，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)數(shù)列遞增和遞減的定義求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是嚴(yán)格遞增數(shù)列或嚴(yán)格遞減數(shù)列，所以.若數(shù)列是嚴(yán)格遞增數(shù)列，則，即，即恒成立，故；若數(shù)列是嚴(yán)格遞減數(shù)列，則，即，即恒成立，由，故；綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是故答案為：14、【解析】根據(jù)已知條件求得，由此求得實(shí)軸長(zhǎng).【詳解】由于，雙曲線的漸近線方程為，所以雙曲線的漸近線與軸夾角小于，由得，實(shí)軸長(zhǎng)故答案為：15、4##【解析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性求解【詳解】因?yàn)棣畏恼龖B(tài)分布（），即正態(tài)分布曲線的對(duì)稱軸為，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性，可知ξ在與取值的概率相同，所以ξ在內(nèi)取值的概率為0.4.故答案為：0.416、①.②.【解析】利用題中所給規(guī)律求出即可.【詳解】解：由圖可知，，，，，因?yàn)榉系炔顢?shù)列的定義且公差為所以，所以，故答案為：，.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）最大值為.【解析】（1）由拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離即可得解；（2）設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，進(jìn)而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）[方法一]：軌跡方程+基本不等式法設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，即，所以直線的斜率，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；當(dāng)時(shí)，；綜上，直線斜率的最大值為.[方法二]：【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程為設(shè)直線的方程為，則當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，其斜率k取到最值．聯(lián)立得，其判別式，解得，所以直線斜率的最大值為[方法三]：軌跡方程+換元求最值法同方法一得點(diǎn)Q的軌跡方程為設(shè)直線的斜率為k，則令，則的對(duì)稱軸為，所以．故直線斜率的最大值為[方法四]參數(shù)+基本不等式法由題可設(shè)因，所以于是，所以則直線的斜率為當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以直線斜率的最大值為【整體點(diǎn)評(píng)】方法一根據(jù)向量關(guān)系，利用代點(diǎn)法求得Q的軌跡方程，得到直線OQ的斜率關(guān)于的表達(dá)式，然后利用分類討論，結(jié)合基本不等式求得最大值；方法二同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合法，利用判別式求得直線OQ的斜率的最大值，為最優(yōu)解；方法三同方法一求得Q的軌跡方程，得到直線的斜率k的平方關(guān)于的表達(dá)式，利用換元方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得最大值，進(jìn)而得到直線斜率的最大值；方法四利用參數(shù)法，由題可設(shè)，求得x,y關(guān)于的參數(shù)表達(dá)式，得到直線的斜率關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合使用基本不等式，求得直線斜率的最大值.18、（1）3；（2）5【解析】（1）由題可得和的距離即為的最小值；（2）可得此時(shí)直線的方程為，求出交點(diǎn)坐標(biāo)即可求出距離.【詳解】（1）由題可得當(dāng)且時(shí)，取得最小值，即和的距離，由兩平行線間的距離公式，得，所以的最小值為3.（2）當(dāng)直線與軸平行時(shí)，方程為，設(shè)直線與直線，分別交于點(diǎn)，，則，，所以，即，所以.19、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)條件列關(guān)于公差與公比的方程組，解方程組可得再根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列通項(xiàng)公式得結(jié)果（2）根據(jù)錯(cuò)誤相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和為，注意作差時(shí)項(xiàng)符號(hào)的變化以及求和時(shí)項(xiàng)數(shù)的確定試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為，則由得解得所以，.（2）由（1）可知，∴①②①—②得：，∴.點(diǎn)睛：用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意的問題(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“”與“”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式；(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解.20、（1）證明見解析（2）答案不唯一，見解析【解析】（1）利用折疊前后的線段長(zhǎng)度及勾股定理求證即可；（2）動(dòng)點(diǎn)M滿足時(shí)和，但時(shí)兩種情況，利用線線平行或相交得到結(jié)論.【小問1詳解】在折疊前的圖中，如圖：，E為上一點(diǎn)且，則，折疊后，所以，又，所以，所以為直角三角形.小問2詳解】當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在線段上，滿足，同樣在線段上取，使得，則，當(dāng)時(shí)，則，又且所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，所以此時(shí)平面；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，但，所以四邊形為梯形，所以與必然相交，所以與平面必然相交.綜上，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿足時(shí)，平面；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿足，但時(shí)，與平面相交.21、（1）（2）①證明見解析；②證明見解析【解析】（1）根據(jù)離心率及過點(diǎn)求出求解即可；（2）①設(shè)直線l的方程為，利用向量的數(shù)量積計(jì)算證明即可；②設(shè)直線CD方程為，利用求出，再由點(diǎn)O到直線CD的距離即可求證.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，解得，，所以橢圓的方程為；【小問2詳解】①