2025屆甘肅省寧縣二中數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

2025屆甘肅省寧縣二中數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知等差數(shù)列的公差，是與的等比中項(xiàng)，則（）A. B.C. D.2．設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)，則（）A.2 B.C. D.3．已知雙曲線的離心率為2，則C的漸近線方程為（）A. B.C. D.4．已知為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，，則下列和與公差無(wú)關(guān)的是（）A. B.C. D.5．等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則A. B.C. D.6．已知數(shù)列中，，，是的前n項(xiàng)和，則（）A. B.C. D.7．已知F是拋物線的焦點(diǎn)，直線l是拋物線的準(zhǔn)線，則F到直線l的距離為（）A.2 B.4C.6 D.88．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入t的取值范圍為，則輸出s的取值范圍為（）A. B.C. D.9．北京大興國(guó)際機(jī)場(chǎng)的顯著特點(diǎn)之一是各種彎曲空間的運(yùn)用，在數(shù)學(xué)上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點(diǎn)的曲率等于與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差（多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點(diǎn)的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點(diǎn)的曲率之和.例如：正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)有個(gè)面角，每個(gè)面角是，所以正四面體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，故其總曲率為.給出下列三個(gè)結(jié)論：①正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率均為；②任意四棱錐總曲率均為；③若某類多面體的頂點(diǎn)數(shù)，棱數(shù)，面數(shù)滿足，則該類多面體的總曲率是常數(shù).其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.①② B.①③C.②③ D.①②③10．已知點(diǎn)，則滿足點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線距離為的直線的條數(shù)有（）A.1 B.2C.3 D.411．設(shè)橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，那么的周長(zhǎng)的取值范圍為（）A. B.C. D.12．已知兩圓相交于兩點(diǎn)，，兩圓圓心都在直線上，則值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．我國(guó)古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國(guó)古代皇家建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì)．例如，北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成（如圖），最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則前9圈的石板總數(shù)是__________14．如圖，設(shè)正方形ABCD與正方形ABEF的邊長(zhǎng)都為1，若平面ABCD，則異面直線AC與BF所成角的大小為______15．函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是______16．如圖，把正方形紙片沿對(duì)角線折成直二面角，則折紙后異面直線，所成的角為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，側(cè)面底面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）如下圖，已知點(diǎn)是離心率為的橢圓：上的一點(diǎn)，斜率為的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，且、、三點(diǎn)互不重合（1）求橢圓的方程；（2）求證：直線，的斜率之和為定值19．（12分）已知集合，設(shè)（1）若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若?q是?p的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍20．（12分）設(shè)，為雙曲線：（，）的左、右頂點(diǎn)，直線過(guò)右焦點(diǎn)且與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，△為等腰直角三角形（1）求雙曲線的離心率；（2）若雙曲線左支上任意一點(diǎn)到右焦點(diǎn)點(diǎn)距離的最小值為3，①求雙曲線方程；②已知直線，分別交直線于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線傾斜角變化時(shí)，以為直徑的圓是否過(guò)軸上的定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由21．（12分）如圖，在直棱柱中，已知，點(diǎn)分別的中點(diǎn).（1）求異面直線與所成的角的大??；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的大小是?若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知菱形的頂點(diǎn)和所在直線的方程為.（1）求對(duì)角線所在直線的一般方程；（2）求所在直線的一般方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得即可求.【詳解】由，則，可得.故選：C.2、C【解析】由導(dǎo)數(shù)的定義可得，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，，故.故選：C3、A【解析】根據(jù)離心率及a，b，c的關(guān)系，可求得，代入即可得答案.【詳解】因?yàn)殡x心率，所以，所以，，則，所以C的漸近線方程為.故選：A4、C【解析】依題意根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)椋?，即，所以，，，，故選：C5、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知條件，求得，進(jìn)而求得的值.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，故，所以，故.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對(duì)數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】由，得到為遞增數(shù)列，又由，得到，化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】解：由，得，又，所以，所以，即，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，得，即，又由是的前項(xiàng)和，則.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列求和問題，關(guān)鍵在于由已知條件得出，運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和法.7、B【解析】根據(jù)拋物線定義即可求解【詳解】由得，所以F到直線l的距離為故選：B8、A【解析】由程序圖可得，，再分段求解函數(shù)的值域，即可求解【詳解】由程序圖可得，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，綜上所述，的取值范圍為，故選：A9、D【解析】根據(jù)曲率的定義依次判斷即可.【詳解】①根據(jù)曲率的定義可得正方體在每個(gè)頂點(diǎn)的曲率為，故①正確；②由定義可得多面體的總曲率頂點(diǎn)數(shù)各面內(nèi)角和，因?yàn)樗睦忮F有5個(gè)頂點(diǎn)，5個(gè)面，分別為4個(gè)三角形和1個(gè)四邊形，所以任意四棱錐的總曲率為，故②正確；③設(shè)每個(gè)面記為邊形，則所有的面角和為，根據(jù)定義可得該類多面體的總曲率為常數(shù)，故③正確.故選：D.10、D【解析】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，將所求轉(zhuǎn)化為求圓與圓的公切線條數(shù)，判斷兩圓的位置關(guān)系，從而得公切線條數(shù).【詳解】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，如圖所示，由題意，滿足點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線距離為的直線的條數(shù)即為圓與圓的公切線條數(shù)，因?yàn)?，所以兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線有4條.故選：D【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是將滿足點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線距離為的直線的條數(shù)轉(zhuǎn)化為圓與圓的公切線條數(shù)，從而根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系判斷出公切線條數(shù).11、A【解析】根據(jù)橢圓的對(duì)稱性橢圓的定義可得，結(jié)合的范圍求的周長(zhǎng)的取值范圍.【詳解】的周長(zhǎng)，又因?yàn)锳，B兩點(diǎn)為過(guò)原點(diǎn)O的動(dòng)直線l與橢圓C的交點(diǎn)，所以A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，橢圓C的左焦點(diǎn)為，則，所以，又因?yàn)槿c(diǎn)不共線，所以，所以的周長(zhǎng)的取值范圍為，故選：A.12、A【解析】由相交弦的性質(zhì)，可得與直線垂直，且的中點(diǎn)在這條直線上；由與直線垂直，可得，解可得的值，即可得的坐標(biāo)，進(jìn)而可得中點(diǎn)的坐標(biāo)，代入直線方程可得；進(jìn)而將、相加可得答案【詳解】根據(jù)題意，由相交弦的性質(zhì)，相交兩圓的連心線垂直平分相交弦，可得與直線垂直，且的中點(diǎn)在這條直線上；由與直線垂直，可得，解可得，則，故中點(diǎn)為，且其在直線上，代入直線方程可得，1，可得；故；故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解答圓和圓的位置關(guān)系時(shí)，要注意利用平面幾何圓的知識(shí)來(lái)分析解答.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、405【解析】前9圈的石板數(shù)依次組成一個(gè)首項(xiàng)為9，公差為9的等差數(shù)列，14、##【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出異面直線所成角；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、，所以，，設(shè)直線與所成角為，則，因?yàn)?，所以；故答案為?5、0【解析】通過(guò)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得極值點(diǎn)的情況.【詳解】因?yàn)?，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是0，故答案為：0.16、##30°【解析】過(guò)點(diǎn)E作CE∥AB，且使得CE=AB，則四邊形ABEC是平行四邊形，進(jìn)而（或其補(bǔ)角）是所求角，算出答案即可.【詳解】過(guò)點(diǎn)E作CE∥AB，且使得CE=AB，則四邊形ABEC是平行四邊形，設(shè)所求角為，于是.設(shè)原正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，取AC的中點(diǎn)O，連接DO,BO，則且，而平面平面，且交于AC，所以平面ABEC，則.易得，，，而則于是，,.在中，，取DE的中點(diǎn)F，則，所以，即，于是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】(1)用線線平行證明線面平行，∴在平面PCD內(nèi)作BE的平行線即可；(2)求二面角的大小，可以用空間向量進(jìn)行求解，根據(jù)已知條件，以AD中點(diǎn)O為原點(diǎn)，OB，AD，OP分別為x、y、z軸建立坐標(biāo)系﹒【小問1詳解】如圖，取PD中點(diǎn)F，連接EF，F(xiàn)C﹒∵E是AP中點(diǎn)，∴EFAD，由題知BCAD，∴BCEF，∴BCFE是平行四邊形，∴BE∥CF，又CF平面PCD，BE平面PCD，∴BE∥平面PCD；【小問2詳解】取AD中點(diǎn)O，連接OP，OB，∵是以為斜邊等腰直角三角形，∴OP⊥AD，又平面平面，平面PAD∩平面＝AD，∴OP⊥平面ABCD，∵OB平面ABCD，∴OP⊥OB，由BC∥AD，CD⊥AD，AD＝2BC知OB⊥OD，∴OP、OB、OD兩兩垂直，故以O(shè)原點(diǎn)，OB、OD、OP分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，如圖：設(shè)|BC|＝1，則B(1，0，0)，D(0，1，0)，E(0，)，P(0，0，1)，則，設(shè)平面BED的法向量為，平面PBD的法向量為則，取，，取設(shè)二面角的大小為θ，則cosθ＝﹒18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)離心率為可得，把代入方程可得，又，解方程組即可求得方程；（2）設(shè)直線的方程為，整理方程組，求得，及參數(shù)的范圍，由斜率公式表示出，結(jié)合直線方程和韋達(dá)定理整理即可得到定值.試題解析：（1）由題意，可得，代入得，又，解得，，所以橢圓的方程為.（2）證明：設(shè)直線的方程為，又，，三點(diǎn)不重合，∴，設(shè)，，由得，所以，解得，，①，②設(shè)直線，的斜率分別為，，則（），分別將①②式代入（），得，所以，即直線，的斜率之和為定值考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓的位置關(guān)系.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了方程的思想和考試與運(yùn)算能力，屬于中檔題.求橢圓方程通常用待定系數(shù)法，注意隱含條件；研究圓錐曲線中的定值問題，通常根據(jù)交點(diǎn)與方程組解得對(duì)應(yīng)性，設(shè)而不解，表示出待求定值的表達(dá)式，利用韋達(dá)定理代入整理，消去參數(shù)即可得到定值.19、（1）（2）【解析】（1）先解出集合A、B，然后根據(jù)p是q的充分不必要條件列出不等式組求解.（2）?q是?p的必要不充分條件可知q是p的充分不必要條件，然后求解.【小問1詳解】解：由題意得：，p是q的充分不必要條件，所以集合A是集合B的真子集∴，即，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍.【小問2詳解】?q是?p的必要不充分條件p是q的必要不充分條件，即q是p的充分不必要條件集合B是集合A的真子集∴，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為20、（1）；（2）①；②定點(diǎn)有兩個(gè)，【解析】（1）由雙曲線方程有、、，根據(jù)已知條件有，即可求離心率.（2）①由題設(shè)有，結(jié)合（1）求雙曲線參數(shù)，寫出雙曲線方程即可；②由題設(shè)可設(shè)為，，，聯(lián)立雙曲線方程結(jié)合韋達(dá)定理求，，，，再由、的方程求，坐標(biāo)，若在為直徑的圓上點(diǎn)，由結(jié)合向量垂直的坐標(biāo)表示列方程，進(jìn)而求出定點(diǎn)坐標(biāo).【小問1詳解】由題設(shè)，若，且，又△為等腰直角三角形，∴，即，則又，可得.【小問2詳解】由題設(shè)，，由（1）有，則，即，①由上可知：雙曲線方程為.②由①知：，且直線的斜率不為0，設(shè)為，，，聯(lián)立直線與雙曲線得：，∴，，則，∴，∴直線為；直線為；∴，，若在為直徑的圓上點(diǎn)，∴，且，∴，令，則，∴，即，∴或，即過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問的②，設(shè)直線為，聯(lián)立直線與雙曲線，應(yīng)用韋達(dá)定理求，，，，進(jìn)而根據(jù)、的方程求，坐標(biāo)，再由圓的性質(zhì)及向量垂直的坐標(biāo)表示求定點(diǎn)坐標(biāo).21、（1）（2）（3）不存在，理由見解析【解析】（1）由題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，方向分別為x軸、y軸與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.，利用向量法求解異面直線成角即可.（2）先求出平面DEF的一個(gè)法向量，然后利用向量法求解點(diǎn)面距離.（3）設(shè)（），由可得關(guān)于的方程，從而得出答案.【小問1詳解】由題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，方向分別為x軸、y軸與z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，，故，，