北京順義牛欄山一中2025屆高二數(shù)學第一學期期末經(jīng)典模擬試題含解析

北京順義牛欄山一中2025屆高二數(shù)學第一學期期末經(jīng)典模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設等比數(shù)列的前項和為，若，則的值是（）A. B.C. D.42．函數(shù)的圖像在點處的切線方程為（）A. B.C. D.3．如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個球放在容器口，再向容器內注水，當球面恰好接觸水面時測得水深為6cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為A. B.C. D.4．已知拋物線的焦點為，準線為，是上一點，是直線與拋物線的一個交點，若，則（）A. B.3C. D.25．已知不等式解集為，下列結論正確的是（）A. B.C. D.6．彬塔，又稱開元寺塔、彬縣塔，民間稱“雷峰塔”，位于陜西省彬縣城內西南紫薇山下.某同學為測量彬塔高度，選取了與塔底在同一水平面內的兩個測量基點與，現(xiàn)測得，，，在點測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，則塔高（）A.30m B.C. D.7．已知圓的圓心在x軸上，半徑為1，且過點，圓：，則圓，的公共弦長為A. B.C. D.28．已知函數(shù)，若，則（）A. B.0C.1 D.29．已知雙曲線的右焦點為F,雙曲線C的右支上有一點P滿是(點O為坐標原點),那么雙曲線C的離心率為()A. B.C. D.10．已知等差數(shù)列前項和為，且，，則此數(shù)列中絕對值最小的項為A.第5項 B.第6項C.第7項 D.第8項11．如圖，在四棱錐中，平面，，，則點到直線的距離為（）A. B.C. D.212．如圖，、分別為橢圓的左、右焦點，為橢圓上的點，是線段上靠近的三等分點，為正三角形，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)在區(qū)間內存在最大值，則實數(shù)的取值范圍是____________.14．在中，，是線段上的點，，若的面積為，當取到最大值時，___________.15．已知、是橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且，，則橢圓離心率是___________16．函數(shù)在處的切線與平行，則________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，是橢圓：的左、右焦點，離心率為，點A在橢圓C上，且的周長為.（1）求橢圓C的方程；（2）若B為橢圓C上頂點，過的直線與橢圓C交于兩個不同點P、Q，直線BP與x軸交于點M，直線BQ與x軸交于點N，判斷是否為定值.若是，求出定值，若不是，請說明理由.18．（12分）已知命題：，在下面①②中任選一個作為：，使為真命題，求出實數(shù)a的取值范圍.①關于x的方程有兩個不等正根；②.（若選①、選②都給出解答，只按第一個解答計分.）19．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓的離心率為，且短軸長為2.（1）求橢圓C的方程；（2）設橢圓C的上頂點為B，右焦點為F，直線l與橢圓交于M，N兩點，問是否存在直線l，使得F為的垂心，若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.20．（12分）已知圓C的圓心在x軸上，且經(jīng)過點，.（1）求圓C的標準方程；（2）過斜率為的直線與圓C相交于M，N，兩點，求弦MN的長.21．（12分）自疫情爆發(fā)以來，由于黨和國家對抗疫工作高度重視，在人民群眾的不懈努力下，我國抗疫工作取得階段性成功，國家經(jīng)濟很快得到復蘇.在餐飲業(yè)恢復營業(yè)后，某快餐店統(tǒng)計了近天內每日接待的顧客人數(shù)，將前天的數(shù)據(jù)進行整理得到頻率分布表和頻率分布直方圖.組別分組頻數(shù)頻率第組第組第組第組第組合計（1）求、、的值，并估計該快餐店在前天內每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)；（2）已知該快餐店在前50天內每日接待的顧客人數(shù)的方差為，在后天內每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)為、方差為，估計這家快餐店這天內每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)和方差.（）22．（10分）在等差數(shù)列中，記為數(shù)列的前項和，已知：.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）求使成立的的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的性質可知成等比數(shù)列，從而可得，即可求出的結果.【詳解】解：已知等比數(shù)列的前項和為，，由等比數(shù)列的性質得：成等比數(shù)列，且公比不為-1即成等比數(shù)列，，，.故選：B.2、B【解析】求得函數(shù)的導數(shù)，計算出和的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡即可.詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.【點睛】本題考查利用導數(shù)求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎題3、A【解析】根據(jù)題意可求出正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm，再根據(jù)截面圓半徑，球的半徑以及球心距的關系，即可求出球的半徑，從而得到球的體積【詳解】設球的半徑為cm，根據(jù)已知條件知，正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4cm，球心到截面圓的距離為cm，所以由，得，所以球的體積為故選：A【點睛】本題主要考查球的體積公式的應用，以及球的結構特征的應用，屬于基礎題4、D【解析】根據(jù)拋物線的定義求得，由此求得的長.【詳解】過作，垂足為，設與軸交點為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于，所以，所以，所以，所以.故選：D【點睛】本小題主要考查拋物線定義，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想方法，屬于基礎題.5、C【解析】根據(jù)不等式解集為，得方程的解為或，且，利用韋達定理即可將用表示，即可判斷各選項的正誤.【詳解】解：因為不等式解集為，所以方程的解為或，且，所以，所以，所以，故ABD錯誤；，故C正確.故選：C.6、D【解析】在△中有，再應用正弦定理求，再在△中，即可求塔高.【詳解】由題設知：，又，△中，可得，在△中，，則.故選：D7、A【解析】根據(jù)題意設圓方程為:,代點即可求出,進而求出方程,兩圓方程做差即可求得公共弦所在直線方程,再利用垂徑定理去求弦長.【詳解】設圓的圓心為,則其標準方程為:,將點代入方程,解得,故方程為:,兩圓,方程作差得其公共弦所在直線方程為:,圓心到該直線的距離為,因此公共弦長為,故選:A.【點睛】本題綜合考查圓的方程及直線與圓,圓與圓位置關系,屬于中檔題.一般遇見直線與圓相交問題時,常利用垂徑定理解決問題.8、D【解析】求出函數(shù)的導數(shù)，直接代入即可求值.【詳解】因為，所以，所以，所以.故選：D.9、D【解析】分析焦點三角形即可【詳解】如圖,設左焦點為,因為,所以不妨設,則離心率故選:D10、C【解析】設等差數(shù)列的首項為，公差為，，則，又，則，說明數(shù)列為遞減數(shù)列，前6項為正，第7項及后面的項為負，又，則，則在數(shù)列中絕對值最小的項為，選C.11、A【解析】如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，然后利用空間向量求解即可【詳解】因為平面，平面，平面，所以，，因為所以如圖，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，則，，，，，即.在上的投影向量的長度為，故點到直線的距離為.故選：A12、D【解析】根據(jù)橢圓定義及正三角形的性質可得到\，再在中運用余弦定理得到、的關系，進而求得橢圓的離心率【詳解】由橢圓的定義知，，則，因為正三角形，所以，在中，由余弦定理得，則，，故選：D【點睛】本題考查橢圓的離心率的求解，考查考生的邏輯推理能力及運算求解能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，再根據(jù)函數(shù)在開區(qū)間內存在最大值，可判斷極大值點就是最大值點，列式求解.【詳解】由題可知：所以函數(shù)在單調遞減，在單調遞增，故函數(shù)的極大值為.所以在開區(qū)間內的最大值一定是又，所以得實數(shù)的取值范圍是故答案為：【點睛】關鍵點點睛：由函數(shù)在開區(qū)間內若存在最大值，即極大值點在區(qū)間內，同時還得滿足極大值點是最大值，還需列不等式，不要忽略這個不等式.14、【解析】由三角形面積公式得出，設，由可得出，利用基本不等式可求出的值，利用等號成立可得出、的值，再利用余弦利用可得出的值.【詳解】由題意可得，解得，設，則，可得，由基本不等式可得，當且僅當時，取得最大值，，，由余弦定理得，解得．故答案為【點睛】本題考查余弦定理解三角形，同時也考查了三角形的面積公式以及利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值時，需要結合已知條件得出定值條件，同時要注意等號成立的條件，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.15、【解析】先由，根據(jù)橢圓的定義，求出，，再由余弦定理，根據(jù)，即可列式求出離心率.【詳解】因為點在橢圓上，所以，又，所以，因，在中，由，根據(jù)余弦定理可得，解得（負值舍去）故答案為：.【點睛】本題主要考查求橢圓的離心率，屬于?？碱}型.16、2【解析】由得出的值.【詳解】因為函數(shù)在處的切線與平行所以，故故答案為：2三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用橢圓的定義可得，而離心率，解方程組，即可得解；（2）設直線的方程為，將其與橢圓的方程聯(lián)立，由，，三點的坐標寫出直線，的方程，進而知點，的坐標，再結合韋達定理，進行化簡，即可得解【小問1詳解】解：因為的周長為，所以，即，又離心率，所以，，所以，故橢圓的方程為【小問2詳解】解：由題意知，直線的斜率一定不可能為0，設其方程為，，，，，聯(lián)立，得，所以，，因為點為，所以直線的方程為，所以點，，直線的方程為，所以點，，所以，即為定值18、答案見解析【解析】根據(jù)題意，分析、為真時的取值范圍，又由復合命題真假的判斷方法可得、都是真命題，據(jù)此分析可得答案.【詳解】解：選①時由知在上恒成立，∴，即又由q：關于x的方程有兩個不等正根，知解得，由為真命題知,解得.實數(shù)a的取值范圍.選②時由知在上恒成立，∴，即又由，知在上恒成立，∴，又，當且僅當時取“=”號，∴，由為真命題知，解得.實數(shù)a的取值范圍.19、（1）（2）存在，【解析】（1）根據(jù)離心率及短軸長，利用橢圓中的關系可以求出橢圓方程；（2）設直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)關系，結合已知和斜率公式，可以求出直線的方程.【小問1詳解】，，，，橢圓的標準方程為.【小問2詳解】由已知可得，，，∴，∵，設直線的方程為：，代入橢圓方程整理得，設，，則，，∵，∴.即，因為，，即..所以，或.又時，直線過點，不合要求，所以.故存在直線：滿足題設條件.20、（1）（2）【解析】（1）由圓的性質可得圓心在線段的垂直平分線上，由題意求出的垂直平分線方程，從而得出圓心坐標，再求出半徑，得到答案.（2）由題意先求出滿足條件的直線方程，求出圓心到直線的距離，由垂經(jīng)定理可得圓的弦長.【小問1詳解】由題意設圓C的標準方程為設的中點為，則,由圓的性質可得則,又，所以則直線的方程為，即則圓C的圓心在直線上，即，故所以圓心,半徑所以圓C的標準方程為【小問2詳解】過斜率為的直線方程為：圓心到該直線的距離為所以21、（1），，，平均數(shù)為；（2）平均數(shù)為，方差為.【解析】（1）計算出第組的頻數(shù)，可求得的值，利用頻數(shù)、頻率和總數(shù)的關系可求出的值，求出第組的頻率，除以組距可得的值，利用平均數(shù)公式可求得該快餐店在前天內每日接待的顧客人數(shù)的平均數(shù)；（2）設前天接待的顧客人數(shù)分別為、、、，后天接待的顧客人數(shù)分別為、、、，利用平均數(shù)公式和方差公式可求得結果.【小問1詳解】解：由表可知第組的頻數(shù)為，所以，，，第組的頻率為，