2025屆山東省桓臺第一中學高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析

2025屆山東省桓臺第一中學高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z=，則復數(shù)z的虛部為（）A.i B.-iC.1 D.-12．均勻壓縮是物理學一種常見現(xiàn)象.在平面直角坐標系中曲線均勻壓縮，可用曲線上點的坐標來描述.設曲線上任意一點，若將曲線縱向均勻壓縮至原來的一半，則點的對應點為.同理，若將曲線橫向均勻壓縮至原來的一半，則曲線上點的對應點為.若將單位圓先橫向均勻壓縮至原來的一半，再縱向均勻壓縮至原來的，得到的曲線方程為（）A. B.C. D.3．已知、是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個公共點，且，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則（）A.2 B.3C.4 D.54．如圖，在直三棱柱中，，，D為AB的中點，點E在線段上，點F在線段上，則線段EF長的最小值為（）A B.C.1 D.5．已知x是上的一個隨機的實數(shù)，則使x滿足的概率為（）A. B.C. D.6．直線與直線平行，則兩直線間的距離為（）A. B.C. D.7．若不等式在上有解，則的最小值是（）A.0 B.-2C. D.8．已知平面，的法向量分別為，，且，則（）A. B.C. D.9．圓心在x軸負半軸上，半徑為4，且與直線相切的圓的方程為（）A. B.C. D.10．已知平面上兩點，則下列向量是直線的方向向量是（）A. B.C. D.11．已知等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列前6項的和（）A.510 B.126C.256 D.51212．已知直線平分圓C：，則最小值為（）A.3 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，滿足約束條件，則的最小值為______.14．已知向量，，，若，則____________.15．已知函數(shù)是定義域上的單調遞增函數(shù)，是的導數(shù)且為定義域上的單調遞減函數(shù)，請寫出一個滿足條件的函數(shù)的解析式___________16．已知平面的法向量分別為，，若，則的值為___三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，，，，，為中點，且平面.（1）求點到平面的距離；（2）線段上是否存在一點，使平面？如果不存在，請說明理由；如果存在，求的值.18．（12分）小張在2020年初向建行貸款50萬元先購房，銀行貸款的年利率為4%，要求從貸款開始到2030年要分10年還清，每年年底等額歸還且每年1次，每年至少要還多少錢呢(保留兩位小數(shù))？(提示：(1＋4%)10≈1.48)19．（12分）中國共產(chǎn)黨建黨100周年華誕之際，某高校積極響應黨和國家的號召，通過“增強防疫意識，激發(fā)愛國情懷”知識競賽活動，來回顧中國共產(chǎn)黨從成立到發(fā)展壯大的心路歷程，表達對建黨100周年以來的豐功偉績的傳頌．教務處為了解學生對相關知識的掌握情況，隨機抽取了100名學生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖（1）求值并估計中位數(shù)所在區(qū)間（2）需要從參賽選手中選出6人代表學校參與省里的此類比賽，你認為怎么選最合理，并說明理由20．（12分）如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內部）以邊所在直線為旋轉軸旋轉得到的封閉圖形.（1）設，，求這個幾何體的表面積；（2）設G是弧DF的中點，設P是弧CE上的一點，且.求異面直線AG與BP所成角的大小.21．（12分）已知定點，圓：，點Q為圓上動點，線段MQ的垂直平分線交NQ于點P，記P的軌跡為曲線C（1）求曲線C的方程；（2）過點M與N作平行直線和，分別交曲線C于點A，B和點D，E，求四邊形ABDE面積的最大值22．（10分）如圖，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，∠ADC＝∠BAD＝90°，F(xiàn)為PA中點，，．四邊形PDCE為矩形，線段PC交DE于點N（1）求證：AC∥平面DEF；（2）求二面角A－BC－P的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先通過復數(shù)的除法運算求出z，進而求出虛部.【詳解】由題意，，則z的虛部為1.故選：C.2、C【解析】設單位圓上一點為，經(jīng)過題設變換后坐標為，則，代入圓的方程即可得曲線方程.【詳解】由題設，單位圓上一點坐標為，經(jīng)過橫向均勻壓縮至原來的一半，縱向均勻壓縮至原來的，得到對應坐標為，∴，則，故中，可得：.故選：C.3、C【解析】依據(jù)橢圓和雙曲線定義和題給條件列方程組，得到關于橢圓的離心率和雙曲線的離心率的關系式，即可求得的值.【詳解】設橢圓的長軸長為，雙曲線的實軸長為，令，不妨設則，解之得代入，可得整理得，即，也就是故選：C4、B【解析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標系，令，用表示出點E，F(xiàn)坐標，再由兩點間距離公式計算作答.【詳解】依題意，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設，則，設，有，線段EF長最短，必滿足，則有，解得，即，因此，，當且僅當時取“=”，所以線段EF長的最小值為.故選：B5、B【解析】先解不等式得到的范圍，再利用幾何概型的概率公式進行求解.【詳解】由得，即，所以使x滿足的概率為故選：B.6、B【解析】先根據(jù)直線平行求得，再根據(jù)公式可求平行線之間的距離.【詳解】由兩直線平行，得，故，當時，，，此時，故兩直線平行時又之間的距離為，故選：B.7、D【解析】將題設條件轉化為在上有解,然后求出的最大值即可得解.【詳解】不等式在上有解,即為在上有解,設,則在上單調遞減,所以,所以,即,故選:D.【點睛】本題主要考查二次不等式能成立問題,可以選擇分離參數(shù)轉化為最值問題,也可以進行分情況討論.8、D【解析】由題得，解方程即得解.【詳解】解：因為，所以所以，所以，所以.故選：D9、A【解析】根據(jù)題意，設圓心為坐標為，，由直線與圓相切的判斷方法可得圓心到直線的距離，解得的值，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，設圓心為坐標為，，圓的半徑為4，且與直線相切，則圓心到直線的距離，解得：或13（舍，則圓的坐標為，故所求圓的方程為，故選：A10、D【解析】由空間向量的坐標運算和空間向量平行的坐標表示，以及直線的方向向量的定義可得選項.【詳解】解：因為兩點，則，又因為與向量平行，所以直線的方向向量是，故選：D.11、B【解析】設等比數(shù)列的公比為，由題設條件，求得，再結合等比數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，因為，，可得，解得，所以數(shù)列前6項的和.故選：B.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的前項和公式的應用，其中解答中熟記等比數(shù)列的通項公式和求和公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查推理與運算能力.12、D【解析】根據(jù)直線過圓心求得，再利用基本不等式求和的最小值即可.【詳解】根據(jù)題意，直線過點，即，則，當且僅當，即時取得最小值.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0【解析】作出約束條件對應的可行域，當目標函數(shù)過點時，取得最小值，求解即可.【詳解】作出約束條件對應的可行域，如下圖陰影部分，聯(lián)立，可得交點為，目標函數(shù)可化為，當目標函數(shù)過點時，取得最小值，即.故答案為：0.【點睛】本題考查線性規(guī)劃，考查數(shù)形結合的數(shù)學思想的應用，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.14、【解析】首先求出的坐標，再根據(jù)向量垂直得到，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：因為向量，，，所以向量，因為，所以，即，解得故答案為：15、（答案不唯一）【解析】由題意可得0，結合在定義域上為減函數(shù)可取.【詳解】因為在定義域為單調增函數(shù)所以在定義域上0，又因為在定義域上為減函數(shù)，且大于等于0.所以可取()，()，滿足條件所以可為().故答案為：（答案不唯一）.16、【解析】由平面互相垂直可知其對應的法向量也垂直，然后用空間向量垂直的坐標運算求解即可.【詳解】∵，∴平面的法向量互相垂直，∴，即，解得,故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）線段上存在一點，當時，平面.【解析】（1）設點到平面的距離為，則由，由體積法可得答案.（2）由（1）連接,可得則從而平面，過點作交于點，連接，可證明平面平面，從而可得出答案.【小問1詳解】由，，為中點，則由平面，平面,則又，且,則平面又，則平面,且都在平面內所以所以,取的中點，連接，則,所以,所以所以所以則設點到平面的距離為，則由即,即【小問2詳解】線段上是否存在一點，使平面.由（1）連接,則四邊形為平行四邊形，則過點作交于，則為中點，則為的中點,即又平面，則平面過點作交于點，連接，則,即又平面,所以平面又，所以平面平面又平面,所以平面所以線段上存在一點，當時，平面.18、每年至少要還6.17萬元.【解析】根據(jù)貸款總額和還款總額相等，50(1＋4%)10=x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x，求解即可.【詳解】50萬元10年產(chǎn)生本息和與每年還x萬元的本息和相等，故有購房款50萬元十年的本息和：50(1＋4%)10，每年還x萬元的本息和：x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x＝，從而有50(1＋4%)10＝，解得x≈6.17，即每年至少要還6.17萬元.19、（1）；中位數(shù)所在區(qū)間（2）選90分以上的人去參賽；答案見解析【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中，所有小矩形面積和為1，即可求得a值，根據(jù)各組的頻率，即可分析中位數(shù)所在區(qū)間.（2）計算可得之間共有6人，滿足題意，分析即可得答案.【小問1詳解】，解得成績在區(qū)間上的頻率為，，所以中位數(shù)所在區(qū)間，【小問2詳解】選成績最好的同學去參賽，分數(shù)在之間共有人，所以選90分以上的人去參賽．（其它方案如果合理也可以給分）20、（1）（2）【解析】（1）將幾何體的表面積分成上下兩個扇形、兩個矩形和一個圓柱形側面的一部分組成，分別求出后相加即可；（2）先根據(jù)條件得到面，通過平移將異面直線轉化為同一個平面內的直線夾角即可【小問1詳解】上下兩個扇形的面積之和為：兩個矩形面積之和為：4側面圓弧段的面積為：故這個幾何體的表面積為：【小問2詳解】如下圖，將直線平移到下底面上為由，且，，可得：面則而G是弧DF的中點，則由于上下兩個平面平行且全等，則直線與直線的夾角等于直線與直線的夾角，即為所求，則則直線與直線的夾角為21、（1）（2）6【解析】（1）由橢圓的定義求解（2）設直線方程后與橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理表示弦長，將面積轉化為函數(shù)后求求解【小問1詳解】由題意可得，所以動點P的軌跡是以M，N為焦點，長軸長為4的橢圓，即曲線C的方程為：；【小問2詳解】由題意可設的方程為，聯(lián)立方程得，設，，則由根與系數(shù)關系有，所以，根據(jù)橢圓的對稱性可得，與的距離即為點M到直線的距離，為，所以四邊形ABDE面積為，令得，由對勾函數(shù)性質可知：當且僅當，即時，四邊形ABDE面積取得最大值為6．22、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）記PC交DE于點N，然后證明FN∥AC，進而通過線面平行的判定定理證明問題；（2）建立空間直角坐標系，進而通過空間向量夾角公式求得答案.【小問1詳解】因為四邊形PDCE為矩形，線段PC交DE于點N，所