查補(bǔ)重難點(diǎn)07 圓的相關(guān)計(jì)算與證明（解析版）

查補(bǔ)重難點(diǎn)07.圓的相關(guān)計(jì)算與證明考點(diǎn)一：圓的基本概念與性質(zhì)1．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。煌普?：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?.圓心角、弧、弦的關(guān)系（定理）：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等．圓心角、弧和弦之間的等量關(guān)系必須在同圓等式中才成立．推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．3．圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．圓周角定理的推論：1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等．2）直徑所對(duì)的圓周角是直角．3）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．題型1.垂徑定理及其運(yùn)用1.如圖，可得①AB過圓心；②AB⊥CD；③CE=DE；④；⑤?？偨Y(jié)：垂徑定理及其推論實(shí)質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過圓心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直徑）；（4）平分弦所對(duì)的優(yōu)??；（5）平分弦所對(duì)的劣弧。若已知五個(gè)條件中的兩個(gè)，那么可推出其中三個(gè)，簡(jiǎn)稱“知二得三”，解題過程中應(yīng)靈活運(yùn)用該定理。2.關(guān)于垂徑定理的計(jì)算常與勾股定理相結(jié)合，解題時(shí)往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂線，構(gòu)造直角三角形．例1.（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）如圖，、、是上的點(diǎn)，，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查垂徑定理（垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧），先根據(jù)垂徑定理得到，再用勾股定理計(jì)算出，然后計(jì)算即可．掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，，∴，，，在中，，∴．故選：D．變式2．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，是的內(nèi)接三角形，若，，則的半徑長(zhǎng)為(

)A．4 B． C．2 D．1【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∴，∴，故選：C．變式3．（2023年湖南省永州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是一個(gè)盛有水的容器的橫截面，的半徑為．水的最深處到水面的距離為，則水面的寬度為．

【答案】【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，依題意，得出，進(jìn)而在中，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，

∵水的最深處到水面的距離為，的半徑為．∴，在中，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．題型2.圓心角、弧、弦的關(guān)系在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等。運(yùn)用這些相等關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)線段相等與角相等之間的相互轉(zhuǎn)化。例1.（2023·遼寧·校聯(lián)考一模）如圖，四邊形內(nèi)接，平分，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A、與的大小關(guān)系不確定，與不一定相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、平分，，，，故本選項(xiàng)正確；C、與的大小關(guān)系不確定，與不一定相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、與的大小關(guān)系不確定，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等．變式1．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D在上，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由可得，再由可得出．【詳解】解：∵在中，∴，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了弧與圓心角的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．變式2.（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，弦相交于點(diǎn)E，連接，已知．(1)求證：；(2)如果的半徑為5，，求的長(zhǎng)．

【答案】(1)見解析(2)7【分析】（1）根據(jù)，可得，再證明，即可；（2）過O作與F，于G，連接，則，根據(jù)垂徑定理可得，證明，可得，從而得到四邊形是正方形，可得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求出x的值，即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，在與中，，∴，∴；（2）解：過O作與F，于G，連接，則，

∴四邊形是矩形，根據(jù)垂徑定理得：，∵，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴四邊形是正方形，∴，設(shè)，則，∴，即，解得：或（舍去），∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，弧、弦，圓心角的關(guān)系，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理，弧、弦，圓心角的關(guān)系，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型3.圓周角定理的運(yùn)用（1）在證明圓周角相等或弧相等時(shí)，通?！坝傻冉钦业然　被颉坝傻然≌业冉恰保唬?）當(dāng)已知圓的直徑時(shí)，常構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角；（3）在圓中求角度時(shí)，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等。例1.（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，在中，點(diǎn)，，在圓上，，的半徑的長(zhǎng)為，則劣弧的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理和弧長(zhǎng)公式，根據(jù)圓周角定理求出度數(shù)，再利用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可，熟練掌握?qǐng)A周角定理和弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∴劣弧的長(zhǎng)是，故選：．變式1．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知四邊形內(nèi)接于，，、的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，連接．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是由圓周角定理求出的度數(shù)．由圓周角定理推出，，得到，由三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：為圓的直徑，，，∵，∴，，，，，．故選：．變式2．（2023·江蘇·中考真題）如圖，是的直徑，是的內(nèi)接三角形．若，，則的直徑．

【答案】【分析】連接，，根據(jù)在同圓中直徑所對(duì)的圓周角是可得，根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)圓心角，弦，弧之間的關(guān)系可得，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，，如圖：

∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，在中，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了在同圓中直徑所對(duì)的圓周角是，圓周角定理，圓心角，弦，弧之間的關(guān)系，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型4.圓的內(nèi)角四邊形性質(zhì)：（1）圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)；（2）圓內(nèi)接四邊形的任意一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角。注意：圓的一條?。ㄏ遥┲粚?duì)著一個(gè)圓心角，對(duì)應(yīng)的圓周角有無數(shù)個(gè)，但圓周角的度數(shù)只有兩個(gè)，這兩個(gè)度數(shù)和為180°。例1（2023·江蘇·中考真題）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，，則的度數(shù)是．【答案】120【分析】解：如圖，連接，由是的直徑，可得，由，可得，，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，故答案為：120．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角為直角，含的直角三角形，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系．變式1．（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，它的3個(gè)外角，，的度數(shù)之比為，則．【答案】/72度【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)以及外角的性質(zhì)可求出，再根據(jù)平角的定義求解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)到H，四邊形內(nèi)接于，，，，，的度數(shù)之比為，，，，的度數(shù)之比為，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角和是360度．變式2．（2023·江蘇宿遷·二模）如圖，點(diǎn)A、B、C在上，P為上任意一點(diǎn)，，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，根據(jù)題意列出關(guān)系式化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：在中，，在中，，∵四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，∴，，則，故選：C．考點(diǎn)二：與圓有關(guān)的位置關(guān)系1.切線的性質(zhì)：（1）切線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)；（2）切線到圓心的距離等于圓的半徑；（3）切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。2.切線的判定（1）與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線（定義法）；（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線（數(shù)量關(guān)系法）；（3）經(jīng)過半徑外端點(diǎn)并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線（判定定理法）。3.切線長(zhǎng)定理：圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。4.三角形外接圓：經(jīng)過三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。5.三角形內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條邊角分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。題型1.點(diǎn)（直線）與圓的位置關(guān)系掌握已知點(diǎn)的位置，可以確定該點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心的距離與半徑的關(guān)系，可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系。例1．（2023·江蘇宿遷·中考真題）在同一平面內(nèi)，已知的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點(diǎn)P為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最大距離是（

）A．2 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，判斷出當(dāng)點(diǎn)為的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，由此即可得．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，，，當(dāng)點(diǎn)為的延長(zhǎng)線與的交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離最大，最大距離為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的性質(zhì)，正確判斷出點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，點(diǎn)的位置是解題關(guān)鍵．變式1．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l與⊙O相交，圓心O到直線l的距離為6，則⊙O的半徑可能為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握判斷直線和圓的位置關(guān)系的方法：設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為．①直線和相交②直線和相切③直線和相離．根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判斷的方法可求解．【詳解】解：和直線相交，，又圓心到直線的距離為，，故選：D．變式2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，在等腰中，，BC=，同時(shí)與邊的延長(zhǎng)線、射線相切，的半徑為3．將繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為、，在旋轉(zhuǎn)的過程中邊所在直線與相切的次數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先以A為圓心，以BC邊的中線為半徑畫圓，可得⊙A的半徑為3，計(jì)算出OA的長(zhǎng)度，可知⊙O與⊙A相切，根據(jù)兩個(gè)相切圓的性質(zhì)，即可得到答案．【詳解】解：如圖：作AD⊥BC，以A為圓心，以AD為半徑畫圓∵AC、AB所在的直線與⊙O相切，令切點(diǎn)分別為P、Q，連接OP、OQ∴AO平分∠PAQ∵∠CAB=120°∴∠PAO=30°∵OP=3∴AO==6∵∠BAC=120°，AB=AC

∴∠ACB=30°，CD=BC=∴AD==3∴⊙A的半徑為3,∴⊙O與⊙A的半徑和為6∵AO=6∴⊙O與⊙A相切∵AD⊥BC∴BC所在的直線是⊙A的切線∴BC所在的直線與⊙O相切∴當(dāng)=360°時(shí)，BC所在的直線與⊙O相切同理可證明當(dāng)=180°時(shí)，所在的直線與⊙O相切．當(dāng)⊥AO時(shí)，即=90°時(shí)，所在的直線與⊙O相切．∴當(dāng)為90°、180°、360°時(shí)，BC所在的直線與⊙O相切故答案選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線，涉及到等腰三角形的性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系和特殊角的三角函數(shù)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)，精準(zhǔn)識(shí)圖并準(zhǔn)確推斷圖形的運(yùn)動(dòng)軌跡，進(jìn)行合理論證是本題的解題關(guān)鍵．題型2.切線的性質(zhì).利用切線的性質(zhì)解決問題時(shí)，通常連過切點(diǎn)的半徑，利用直角三角形的性質(zhì)來解決問題。例1.（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，在中，直徑與弦交于點(diǎn)．連接，過點(diǎn)的切線與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．若，則°．

【答案】66【分析】連接，則有，然后可得，則，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：

∵是的直徑，且是的切線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：66．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)、圓周角、弧之間的關(guān)系，熟練掌握切線的性質(zhì)、圓周角、弧之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·江蘇鹽城·中考真題）如圖，、是的弦，過點(diǎn)A的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則°．【答案】35【分析】連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，首先根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)為的切線，可得，可得，再根據(jù)圓周角定理即可求得．【詳解】解：如圖，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接．為的直徑，，，為的切線，，，，．故答案為：35．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．變式2.（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點(diǎn)D的切線交AC于點(diǎn)E，∠EAD＝25°，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°【答案】C【分析】過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，證明OD∥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠EAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OD∥AE，∴AE⊥DE．故選項(xiàng)A、B都正確；∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故選項(xiàng)D正確；∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，∴DE=DF<OD，故選項(xiàng)C不正確；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．題型3.切線的判定切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共點(diǎn)時(shí)，作垂直，證垂線段等于半徑。例1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在中，是上（異于點(diǎn)，）的一點(diǎn)，恰好經(jīng)過點(diǎn)，，于點(diǎn)，且平分．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的半徑長(zhǎng)．

【答案】(1)見解析(2)的半徑長(zhǎng)為．【分析】（1）連接，證明，即可證得，從而證得是圓的切線；（2）設(shè)，則，利用勾股定理求得，推出，利用相似三角形的性質(zhì)列得比例式，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：連接，如下圖所示，

∵是的平分線，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，即，又∵過半徑的外端點(diǎn)B，∴與相切；（2）解：設(shè)，則，∵在中，，，，∴，∵，∴，∴，即，解得．故的半徑長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握切線的判定是解本題的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且，點(diǎn)O在上，以點(diǎn)O為圓心的圓經(jīng)過C、D兩點(diǎn)．(1)試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若的半徑為3，求的長(zhǎng)．

【答案】(1)直線與相切，理由見解析(2)6【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理，得到，進(jìn)而得到，即可得出與相切；（2）解直角三角形，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，再解直角三角形，求出的長(zhǎng)即可．【詳解】（1）解：直線與相切，理由如下：連接，則：，

∵，即：，∴，∵，∴，∴，∴，∵為的半徑，∴直線與相切；（2）解：∵，的半徑為3，∴，∴，∴，∵，∴，設(shè)：，則：，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查切線的判定，解直角三角形．熟練掌握切線的判定方法，正弦的定義，是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，為的弦，交于點(diǎn)，交過點(diǎn)的直線于點(diǎn)，且．(1)試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)相切，證明見詳解(2)6【分析】（1）連接OB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，，從而求出，再根據(jù)切線的判定得出結(jié)論；（2）分別作交AB于點(diǎn)M，交AB于N，根據(jù)求出OP，AP的長(zhǎng)，利用垂徑定理求出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BP的長(zhǎng)，然后在等腰三角形CPB中求解CB即可．【詳解】（1）證明：連接OB，如圖所示：，，，，，，即，，，為半徑，經(jīng)過點(diǎn)O，直線與的位置關(guān)系是相切．（2）分別作交AB于點(diǎn)M，交AB于N，如圖所示：，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的證明，垂徑定理的性質(zhì)，等腰三角形，勾股定理，三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵，抓住直角三角形邊的關(guān)系求解線段長(zhǎng)度是解題的主線思路．題型4.內(nèi)切圓與外接圓（1）三角形內(nèi)切圓半徑：，其中S為三角形的面積；C為三角形的周長(zhǎng)；（2）直角三角形內(nèi)切圓半徑：，其中a，b為直角三角形的直角邊長(zhǎng)，c為斜邊長(zhǎng)。（3）切線長(zhǎng)定理經(jīng)常用來證明線段相等，通常要連接圓心與切點(diǎn)構(gòu)造直角三角形來求解。例1．（2024·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，一塊四邊形材料，，，，，．現(xiàn)用此材料截出一個(gè)面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓半徑與三角形的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，構(gòu)造三角形用等面積法是解題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，當(dāng)這個(gè)圓是的內(nèi)切圓時(shí)，此圓的面積最大，構(gòu)造三角形，通過等面積法求解即可．【詳解】解：延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于

，，，，即，解得，，在中，，，設(shè)這個(gè)圓的圓心為，與分別相切于，，，，，，即，解得，故選：B．變式1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問勾中容圓，徑幾何？”譯文：現(xiàn)在有一個(gè)直角三角形，短直角邊的長(zhǎng)為8步，長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng)為15步．問這個(gè)直角三角形內(nèi)切圓的直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)短直角邊的長(zhǎng)和長(zhǎng)直角邊的長(zhǎng)，求得斜邊的長(zhǎng)．用直角三角形三條邊的長(zhǎng)相加作為除數(shù)，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數(shù)，計(jì)算所得的商就是這個(gè)直角三角形內(nèi)切圓的直徑．根據(jù)以上方法，求得該直徑等于步．（注：“步”為長(zhǎng)度單位）

【答案】6【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓的半徑的求法確定出內(nèi)切圓半徑，得到直徑．【詳解】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊為，則該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）半徑（步），即直徑為6步，故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，掌握中，兩直角邊分別為、，斜邊為，其內(nèi)切圓半徑是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形．若，，則的半徑是．【答案】1【分析】連接、，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．【詳解】解：連接、，，，，即，解得：，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握?qǐng)A周角定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三：與圓有關(guān)的計(jì)算設(shè)⊙OQUOTE的半徑為R，n°QUOTE圓心角所對(duì)弧長(zhǎng)為l，n為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)，則（1）弧長(zhǎng)公式：；（2）扇形面積公式：或．（3）圓錐側(cè)面積公式：S圓錐側(cè)=πrl（其中l(wèi)是圓錐的母線長(zhǎng)，r是圓錐的底面半徑）（4）圓錐全面積公式：S圓錐全=πrl+πr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）題型1.正多邊形與圓的相關(guān)計(jì)算正多邊形的常用公式（Rn為正多邊形外接圓的半徑）邊長(zhǎng)：；周長(zhǎng)：；邊心距：；面積：；內(nèi)角度數(shù)：；外角/中心角度數(shù)：；邊長(zhǎng)、半徑、邊心距的關(guān)系：。例1.（2024·江蘇無錫·一模）魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無限逼近圓面積．如圖所示的圓的內(nèi)接正十二邊形，若該圓的半徑為1，則這個(gè)圓的內(nèi)接正十二邊形的面積為（

）A．1 B． C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查正多邊形與圓，三角形的面積的計(jì)算，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．過作于，得到圓的內(nèi)接正十二邊形的圓心角，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，過作于，圓的內(nèi)接正十二邊形的圓心角為，，，，這個(gè)圓的內(nèi)接正十二邊形的面積為，故選：C變式1．（2023·江蘇無錫·中考真題）下列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形；②正多邊形是中心對(duì)稱圖形；③正六邊形的外接圓半徑與邊長(zhǎng)相等；④正n邊形共有n條對(duì)稱軸．其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)以及正多邊形與圓的關(guān)系逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：各邊相等各角相等的多邊形是正多邊形，只有各邊相等的多邊形不一定是正多邊形，如菱形，故①是假命題；正三角形和正五邊形就不是中心對(duì)稱圖形，故②為假命題；正六邊形中由外接圓半徑與邊長(zhǎng)可構(gòu)成等邊三角形，所以外接圓半徑與邊長(zhǎng)相等，故③為真命題；根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義和正多邊形的特點(diǎn)，可知正n邊形共有n條對(duì)稱軸，故④為真命題.故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形的概念以及正多邊形與圓的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型．變式2．（2023·江蘇泰州·中考真題）半徑為的圓內(nèi)接正五邊形一邊所對(duì)劣弧的長(zhǎng)為．【答案】【分析】根據(jù)正多邊形和圓的性質(zhì)，計(jì)算半徑為的圓周長(zhǎng)的五分之一即可．【詳解】解：由題意得，半徑為的圓內(nèi)接正五邊形一邊所對(duì)劣弧的長(zhǎng)是半徑為的圓周長(zhǎng)的五分之一，所以，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，掌握弧長(zhǎng)、圓周長(zhǎng)計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．題型2.圓錐的相關(guān)計(jì)算圓錐的相關(guān)公式難以記憶，建議牢記圓錐與側(cè)面展開圖的圖形形式，并理解側(cè)面展開圖與扇形之間的關(guān)系。相關(guān)公式在解題過程中進(jìn)行推導(dǎo)。例1.（2023·江蘇·中考真題）如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的側(cè)面積是（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得這個(gè)幾何體為圓錐，然后求出圓錐的母線長(zhǎng)為，再根據(jù)圓錐的側(cè)面（扇形）面積公式，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：這個(gè)幾何體為圓錐，如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

根據(jù)題意得：，，，∴，∴，即圓錐的母線長(zhǎng)為，∴這個(gè)幾何體的側(cè)面積是．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單幾何體的三視圖，求圓錐的側(cè)面積，根據(jù)題意得到這個(gè)幾何體為圓錐是解題的關(guān)鍵．變式14．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個(gè)扇形．若母線長(zhǎng)l為，扇形的圓心角為，則圓錐的底面圓的半徑r為．

【答案】2【分析】本題考查了圓錐的計(jì)算，首先求得展開之后扇形的弧長(zhǎng)也就是圓錐的底面周長(zhǎng)，進(jìn)一步利用弧長(zhǎng)計(jì)算公式求得圓錐的底面圓的半徑r．【詳解】解：由題意得：母線長(zhǎng)l為，，，∴，故答案為：2．變式2．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，圓錐的母線長(zhǎng)為l，滿足2r+l＝6，這樣的圓錐的側(cè)面積（

）A．有最大值π B．有最小值π C．有最大值π D．有最小值π【答案】C【分析】由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圓錐的側(cè)面積公式：S側(cè)＝πrl，利用配方法整理得出，S側(cè)＝﹣2π(r﹣)2+π，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵2r+l＝6，∴l(xiāng)＝6﹣2r，∴圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣)2﹣]＝﹣2π(r﹣)2+π，∴當(dāng)r＝時(shí)，S側(cè)有最大值．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算,二次函數(shù)的最值,圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形,這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng).熟記圓錐的側(cè)面積:是解題的關(guān)鍵．題型3.不規(guī)則圖形的相關(guān)計(jì)算求與圓有關(guān)的不規(guī)則圖形的面積時(shí)，最基本的思想就是轉(zhuǎn)化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．常用的方法有：割補(bǔ)法、等積變換法、圖形變換法等。例1.（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，矩形內(nèi)接于，分別以為直徑向外作半圓．若，則陰影部分的面積是（

）

A． B． C． D．20【答案】D【分析】根據(jù)陰影部分面積為2個(gè)直徑分別為的半圓的面積加上矩形的面積減去直徑為矩形對(duì)角線長(zhǎng)的圓的面積即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵矩形內(nèi)接于，∴∴陰影部分的面積是，故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，矩形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，有一個(gè)半徑為2的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)刻度間的弧長(zhǎng)均相等，過9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】陰影部分的面積等于扇形面積減去三角形面積，分別求出扇形面積和等邊三角形的面積即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)OC作OD⊥AB于點(diǎn)D，∵∠AOB=2×=60°，∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1，∴OD=，∴陰影部分的面積為，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積、等邊三角形的面積計(jì)算方法，掌握扇形面積、等邊三角形的面積的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．變式2．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，對(duì)角線的長(zhǎng)為半徑畫弧，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)求出，再根據(jù)扇形面積公式和三角形面積公式即可求出陰影部分的面積．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，則在等腰中，由勾股定理可得，由正方形性質(zhì)可知，，陰影部分的面積，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求不規(guī)則圖形面積，涉及扇形面積公式、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，掌握扇形面積公式和正方形性質(zhì)的應(yīng)用，由等腰直角三角形求出是解題關(guān)鍵．題型4.圓的相關(guān)證明與計(jì)算綜合在解決圓的相關(guān)證明與計(jì)算綜合問題中，經(jīng)常用到的重要性質(zhì)及技法：①運(yùn)用圓是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱圖形可以對(duì)相關(guān)結(jié)論作合理的猜測(cè)；②利用垂徑定理，通過在由半弦、半徑、弦心距組成的直角三角形，運(yùn)用勾股定理或銳角三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算；③在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦、弦心距等量對(duì)等量關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化相等關(guān)系；④由直徑所對(duì)的圓周角是直角構(gòu)造直角三角形；⑤相似三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理是計(jì)算線段長(zhǎng)度及其線段數(shù)量關(guān)系的重要手段。例1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，將矩形沿對(duì)角線翻折，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，以矩形的頂點(diǎn)為圓心、為半徑畫圓，與相切于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．(1)求證：．(2)當(dāng)，時(shí)，求的長(zhǎng)．

【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由切線的性質(zhì)得，則，由矩形的性質(zhì)得，再由直角三角形兩銳角互余得，根據(jù)對(duì)頂角相等和同圓的半徑相等得，，然后由等角的余角相等得，最后由等角對(duì)等邊得出結(jié)論；（2）由銳角三角函數(shù)得，，得，由翻折得，由得，再由矩形對(duì)邊相等得，最后在中解直角三角形即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，連接．

∵與相切于點(diǎn)E，∴，∴．∵四邊形是矩形，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．（2）解：在中，，，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，由翻折可知，，∵四邊形是矩形，∴，在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題是四邊形與圓的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、翻折的有關(guān)性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，正確作出輔助線，巧用解直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇宿遷·中考真題）（1）如圖，是的直徑，與交于點(diǎn)F，弦平分，點(diǎn)E在上，連接、，________．求證：________．

從①與相切；②中選擇一個(gè)作為已知條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，將題目補(bǔ)充完整（填寫序號(hào)），并完成證明過程．（2）在（1）的前提下，若，，求陰影部分的面積．【答案】（1）②①，證明見解析（或①②，證明見解析）（2）【分析】（1）一：已知條件為②，結(jié)論為①與相切；連接，先證出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；二：已知條件為①與相切，結(jié)論為②；連接，先證出，再根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得證；（2）連接，先解直角三角形求出的長(zhǎng)，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得的長(zhǎng)，從而可得的長(zhǎng)，然后根據(jù)圓周角定理可得，最后根據(jù)陰影部分的面積等于直角梯形的面積減去扇形的面積即可得．【詳解】解：（1）一：已知條件為②，結(jié)論為①與相切，證明如下：如圖，連接，，，弦平分，，，，，，又是的半徑，與相切；二：已知條件為①與相切，結(jié)論為②，證明如下：如圖，連接，

，，弦平分，，，，與相切，，；（2）如圖，連接，

，，，，，又，，是等邊三角形，，，由圓周角定理得：，則陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)、解直角三角形、扇形的面積、圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A的切線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．變式2．（2023·江蘇泰州·中考真題）已知：A、B為圓上兩定點(diǎn)，點(diǎn)C在該圓上，為所對(duì)的圓周角．

知識(shí)回顧(1)如圖①，中，B、C位于直線異側(cè)，．①求的度數(shù)；②若的半徑為5，，求的長(zhǎng)；逆向思考(2)如圖②，P為圓內(nèi)一點(diǎn)，且，，．求證：P為該圓的圓心；拓展應(yīng)用(3)如圖③，在（2）的條件下，若，點(diǎn)C在位于直線上方部分的圓弧上運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)D在上，滿足的所有點(diǎn)D中，必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變．請(qǐng)證明．【答案】(1)①；②；(2)見解析；(3)見解析【分析】（1）①根據(jù)，結(jié)合圓周角定理求的度數(shù)；②構(gòu)造直角三角形；（2）只要說明點(diǎn)到圓上、和另一點(diǎn)的距離相等即可；（3）根據(jù)，構(gòu)造一條線段等于，利用三角形全等來說明此線段和相等．【詳解】（1）解：①，，，．②連接，過作，垂足為，

，，是等腰直角三角形，且，，，是等腰直角三角形，，在直角三角形中，，．（2）證明：延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，則，，，，，，，，為該圓的圓心．（3）證明：過作的垂線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)，連接，，

，，是等腰直角三角形，，，，，是直徑，，，，，，，，必有一個(gè)點(diǎn)的位置始終不變，點(diǎn)即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，還考查了勾股定理和三角形全等的知識(shí)，對(duì)于（3）構(gòu)造一條線段等于是關(guān)鍵．題型5.圓與尺規(guī)作圖的相關(guān)運(yùn)算例1．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在中，．

(1)尺規(guī)作圖：作，使得圓心在邊上，過點(diǎn)且與邊相切于點(diǎn)（請(qǐng)保留作圖痕跡，標(biāo)明相應(yīng)的字母，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，若，求與重疊部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）作的角平分線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，以為圓心，為半徑作，即可；（2）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得圓的半徑，設(shè)交于點(diǎn)，連接，可得是等邊三角形，進(jìn)而根據(jù)與重疊部分的面積等于扇形面積與等邊三角形的面積和，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）解：∵，是的切線，∴，∴，則，解得：，如圖所示，設(shè)交于點(diǎn)，連接，∵，∴是等邊三角形，如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴∴在中，,∴,∴，則，∴與重疊部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了基本作圖，切線的性質(zhì)，求扇形面積，熟練掌握基本作圖與切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，已知，點(diǎn)M是上的一個(gè)定點(diǎn)．

(1)尺規(guī)作圖：請(qǐng)?jiān)趫D1中作，使得與射線相切于點(diǎn)M，同時(shí)與相切，切點(diǎn)記為N；(2)在（1）的條件下，若，則所作的劣弧與所圍成圖形的面積是____．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先作的平分線，再過M點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)O，接著過O點(diǎn)作于N點(diǎn)，然后以O(shè)點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，則滿足條件；（2）先利用切線的性質(zhì)得到，，根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到，則，再利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算出，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用的劣弧與所圍成圖形的面積進(jìn)行計(jì)算．【詳解】（1）解：如圖，為所作；

；（2）解：∵和為的切線，∴，，，∴，∴，在中，，∴，∴的劣弧與所圍成圖形的面積．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了切線的判定與性質(zhì)、扇形的面積計(jì)算．變式2．（2022·江蘇常州·中考真題）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點(diǎn)是圓心，直徑的長(zhǎng)是，是半圓弧上的一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合），連接、．(1)沿、剪下，則是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)分別取半圓弧上的點(diǎn)、和直徑上的點(diǎn)、．已知剪下的由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為的菱形．請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在圖中作出一個(gè)符合條件的菱形（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(3)經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對(duì)于半圓弧上的任意一點(diǎn)，一定存在線段上的點(diǎn)、線段上的點(diǎn)和直徑上的點(diǎn)、，使得由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為的菱形．小明的猜想是否正確？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)直角(2)見詳解(3)小明的猜想正確，理由見詳解【分析】（1）AB是圓的直徑，根據(jù)圓周角定理可知∠ACB=90°，即可作答；（2）以A為圓心，AO為半徑畫弧交⊙O于點(diǎn)E，再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于⊙O點(diǎn)F連接EF、FO、EA，G、H點(diǎn)分別與A、O點(diǎn)重合，即可；（3）當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)A時(shí)，設(shè)，，可證,推出，分別以M，N為圓心，MN為半徑作弧交AB于點(diǎn)P，Q，可得，進(jìn)而可證四邊形MNQP是菱形；當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)B時(shí)，同理可證．【詳解】（1）解：如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACB是直角，即△ABC是直角三角形，故答案為：直角；（2）解：以A為圓心，AO為半徑畫弧交⊙O于點(diǎn)E，再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于⊙O點(diǎn)F連接EF、FO、EA，G、H點(diǎn)分別與A、O點(diǎn)重合，即可，作圖如下：由作圖可知AE=EF=FH=HG=OA=AB=6，即四邊形EFHG是邊長(zhǎng)為6cm的菱形；（3）解：小明的猜想正確，理由如下：如圖，當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)A時(shí)，設(shè)，，∴,∴,∴,∴．分別以M，N為圓心，MN為半徑作弧交AB于點(diǎn)P，Q，作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，∴．∵,，，∴，在和中，，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形MNQP是平行四邊形，又∵，∴四邊形MNQP是菱形；同理，如圖，當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)B時(shí)，采樣相同方法可以得到四邊形MNQP是菱形，故小明的猜想正確．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、尺規(guī)作圖、菱形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用上述知識(shí)解決問題．課后訓(xùn)練1．（2024·江蘇鹽城·一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，點(diǎn)E在上，且，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得，根據(jù)圓周角定理求出，，進(jìn)而求出，計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，連接，四邊形內(nèi)接于，，，是的直徑，，，∵，故選：D．

2．（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）如圖，如圖，是的直徑，是的弦，過點(diǎn)的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．連接，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得，再利用互余得，由于，則，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)求解．【詳解】解：連接，如圖，為的切線，，，而，，，，，．故選：A．3.（2023年四川省宜賓中考數(shù)學(xué)真題）《夢(mèng)溪筆談》是我國(guó)古代科技著作，其中它記錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”．如圖，是以點(diǎn)O為圓心、為半徑的圓弧，N是的中點(diǎn)，．“會(huì)圓術(shù)”給出的弧長(zhǎng)的近似值計(jì)算公式：．當(dāng)，時(shí)，則的值為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)，后代入公式計(jì)算即可．【詳解】連接，根據(jù)題意，是以點(diǎn)O為圓心、為半徑的圓弧，N是的中點(diǎn)，，

得，∴點(diǎn)M，N，O三點(diǎn)共線，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，特殊角的函數(shù)值，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．4．（2024·北京海淀·一模）某校舉辦校慶晚會(huì)，其主舞臺(tái)為一圓形舞臺(tái)，圓心為O，A，由線段及優(yōu)弧圍成的區(qū)域是表演區(qū)．若在A處安裝一臺(tái)某種型號(hào)的燈光裝置，恰好可以照亮整個(gè)表演區(qū)，如圖2中陰影所示．若將燈光裝置改放在如圖3所示的點(diǎn)M，N或P處，能使表演區(qū)完全照亮的方案可能是（）①在M處放置2臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置；②在M，N處各放置1臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置；③在P處放置2臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】本題考查了圓、三角形內(nèi)角和的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A周角的性質(zhì)，從而完成求解．【詳解】解：①在M處放置2臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置，如圖：攝像裝置的視角為，∵，∴在M處放置2臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置，能使表演區(qū)完全照亮；②在M，N處各放置1臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置∵，∴在M，N處各放置1臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置；③在P處放置2臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置，如圖：∵，不能找到一個(gè)角和相等∴由圖可知，在P處放置2臺(tái)該型號(hào)的燈光裝置，不能使表演區(qū)完全照亮；故選：A．5．（2024·江蘇宿遷·二模）如圖，等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，的半徑為，P為邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作的切線，切點(diǎn)為Q，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】本題考查的是切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、垂線段最短，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．連接，過點(diǎn)C作于H，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)垂線段最短解答即可．【詳解】解：連接，過點(diǎn)C作于H，是的切線，，，當(dāng)時(shí)，最小，取最小值，為等邊三角形，，，的最小值為：，故選：C．6．（2023·江蘇宿遷·二模）如圖，將沿弦折疊，交直徑于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)．由沿弦折疊知，弧與弧相等，得到，由外角公式知，得，可知是等腰三角形，再證得，可求出，進(jìn)而能求．【詳解】如圖，連接，過點(diǎn)作于．沿弦折疊弧與弧相等是直徑即即．故選：B．7．（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，是半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，，連接，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．設(shè)的面積為的面積為，若，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，過作于，證明，由，即，可得，證明，可得，設(shè)，則，可得，，再利用正切的定義可得答案．【詳解】解：如圖，過作于，

∵，∴，∵，即，∴，∵，∴，∴，即，設(shè)，則，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．8．（2023·南通·中考真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)，在上．若，則度．

【答案】【分析】連接，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，同弧所對(duì)的圓周角相等，可得，，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，

∵是直徑，∴，∵，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了直徑所對(duì)的圓周角是直角，同弧所對(duì)的圓周角相等，熟練掌握?qǐng)A周角定理的推論是解題的關(guān)鍵．9．（2023·江蘇·中考真題）如圖，3個(gè)大小完全相同的正六邊形無縫隙、不重疊的拼在一起，連接正六邊形的三個(gè)頂點(diǎn)得到，則的值是．

【答案】【分析】如圖所示，補(bǔ)充一個(gè)與已知相同的正六邊形，根據(jù)正六邊形的內(nèi)角為，設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，求得，根據(jù)正切的定義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，補(bǔ)充一個(gè)與已知相同的正六邊形，

∵正六邊形對(duì)邊互相平行，且內(nèi)角為，∴過點(diǎn)作于，∴設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為1，則，，∴故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·江蘇宿遷·中考真題）若圓錐的底面圓半徑為，側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，則這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)是．【答案】6【分析】本題考查了扇形的弧長(zhǎng)的計(jì)算，設(shè)這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)是，先求得扇形的弧長(zhǎng)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可求解，熟練掌握扇形的弧長(zhǎng)公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)是，依題意得：圓錐的底面周長(zhǎng)為：，則展開后扇形的弧長(zhǎng)為，即：，解得：，這個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)是，故答案為：6．11．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，將扇形翻折，使點(diǎn)A與圓心O重合，展開后折痕所在直線l與交于點(diǎn)C，若，則的長(zhǎng)為．【答案】/【分析】本題考查了弧長(zhǎng)公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，連接，，根據(jù)折疊性質(zhì)可得，，先證明為等邊三角形，得到，再利用弧長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】解：如圖，連接，，扇形翻折，使點(diǎn)A與圓心O重合，，，又，又，，為等邊三角形，，．故答案為：．12．（2023·江蘇泰州·中考真題）小明對(duì)《數(shù)書九章》中的“遙度圓城”問題進(jìn)行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個(gè)門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一顆大樹，向樹的方向走9里到達(dá)城堡邊，再往前走6里到達(dá)樹下．則該城堡的外圍直徑為里．

【答案】9【分析】由切圓于D，切圓于C，連接，得到，里，由勾股定理求出，由，求出（里），即可得到答案．【詳解】解：如圖，表示圓形城堡，

由題意知：切圓于D，切圓于C，連接，∴，里，∵里，∴里，∴，∵，∴，∴（里）．∴城堡的外圍直徑為（里）．故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理，解直角三角形，切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，關(guān)鍵是理解題意，得到，求出長(zhǎng)即可．13．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，圓錐母線，底面半徑，則其側(cè)面展開圖扇形的圓心角的度數(shù)為．

【答案】【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和弧長(zhǎng)公式得到，然后解方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，解得：，∴側(cè)面展開圖扇形的圓心角為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．掌握?qǐng)A錐側(cè)面展開圖的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在中，，垂足為．以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，與分別交于點(diǎn)．若用扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為；用扇形圍成另一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為，則．（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】/【分析】由，，，，，，，，求解，，證明，可得，再分別計(jì)算圓錐的底面半徑即可．【詳解】解：∵在中，，，∴，，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，，解得：，，∴；故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，扇形的弧長(zhǎng)的計(jì)算，圓錐的底面半徑的計(jì)算，熟記圓錐的側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)是解本題的關(guān)鍵．15．（2023·江蘇·中考真題）在四邊形中，為內(nèi)部的任一條射線（不等于），點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，直線與交于點(diǎn)，連接，則面積的最大值是．

【答案】【分析】連接，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得在半徑為的上，證明是等邊三角形，當(dāng)取得最大值時(shí)，面積最大，根據(jù)圓的直徑最大，進(jìn)而得出最大值為，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，

∵點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，∴，∵，∴在半徑為的上，在優(yōu)弧上任取一點(diǎn)，連接,則，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，當(dāng)取得最大值時(shí)，面積最大，∵在上運(yùn)動(dòng)，則最大值為，則面積的最大值是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，等邊三角形的性質(zhì)，得出最大值為是解題的關(guān)鍵．16．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，等腰三角形的頂角，和底邊相切于點(diǎn)，并與兩腰，分別相交于，兩點(diǎn)，連接，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．

【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，從而可得和都是等邊三角形，最后利用等邊三角形的性質(zhì)可得，即可解答；（2）連接交于點(diǎn)，利用菱形的性質(zhì)可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的長(zhǎng)，從而求出的長(zhǎng)，最后根據(jù)圖中陰影部分的面積扇形的面積菱形的面積，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】（1）證明：連接，和底邊相切于點(diǎn)，，

，，，，，和都是等邊三角形，，，，四邊形是菱形；（2）解：連接交于點(diǎn)，四邊形是菱形，，，，在中，，，，圖中陰影部分的面積扇形的面積菱形的面積，圖中陰影部分的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．17．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，是的直徑，與相交于點(diǎn)．過點(diǎn)的圓O的切線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的半徑．

【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，根據(jù)為的切線，則，由，則，根據(jù)圓周角定理可得，又，根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，代入數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】（1）如圖，連接．

為的切線，．，．，．，．（2）如圖，連接，，，．，，且，，，即，，，即半徑為．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，