查補重難點07 圓的相關(guān)計算與證明（解析版）

查補重難點07.圓的相關(guān)計算與證明考點一：圓的基本概念與性質(zhì)1．垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。普?：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；推論2：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條?。?.圓心角、弧、弦的關(guān)系（定理）：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等．圓心角、弧和弦之間的等量關(guān)系必須在同圓等式中才成立．推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．3．圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．圓周角定理的推論：1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等．2）直徑所對的圓周角是直角．3）圓內(nèi)接四邊形的對角互補．題型1.垂徑定理及其運用1.如圖，可得①AB過圓心；②AB⊥CD；③CE=DE；④；⑤?？偨Y(jié)：垂徑定理及其推論實質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過圓心；（2）垂直于弦；（3）平分弦（被平分的弦不是直徑）；（4）平分弦所對的優(yōu)??；（5）平分弦所對的劣弧。若已知五個條件中的兩個，那么可推出其中三個，簡稱“知二得三”，解題過程中應(yīng)靈活運用該定理。2.關(guān)于垂徑定理的計算常與勾股定理相結(jié)合，解題時往往需要添加輔助線，一般過圓心作弦的垂線，構(gòu)造直角三角形．例1.（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）如圖，、、是上的點，，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查垂徑定理（垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。?，先根據(jù)垂徑定理得到，再用勾股定理計算出，然后計算即可．掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，，∴，，，在中，，∴．故選：D．變式2．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，是的內(nèi)接三角形，若，，則的半徑長為(

)A．4 B． C．2 D．1【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，連接，過點作于點，則，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，過點作于點，∵，∴，∴，∴，故選：C．變式3．（2023年湖南省永州市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是一個盛有水的容器的橫截面，的半徑為．水的最深處到水面的距離為，則水面的寬度為．

【答案】【分析】過點作于點，交于點，則，依題意，得出，進(jìn)而在中，勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作于點，交于點，則，

∵水的最深處到水面的距離為，的半徑為．∴，在中，∴故答案為：．【點睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．題型2.圓心角、弧、弦的關(guān)系在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量分別相等。運用這些相等關(guān)系，可以實現(xiàn)線段相等與角相等之間的相互轉(zhuǎn)化。例1.（2023·遼寧·校聯(lián)考一模）如圖，四邊形內(nèi)接，平分，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對各選項進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A、與的大小關(guān)系不確定，與不一定相等，故本選項錯誤；B、平分，，，，故本選項正確；C、與的大小關(guān)系不確定，與不一定相等，故本選項錯誤；D、與的大小關(guān)系不確定，故本選項錯誤．故選：B．【點睛】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系，在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．變式1．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，點C，D在上，，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先由可得，再由可得出．【詳解】解：∵在中，∴，∵，∴，故選：B．【點睛】此題考查了弧與圓心角的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．變式2.（2023·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，在中，弦相交于點E，連接，已知．(1)求證：；(2)如果的半徑為5，，求的長．

【答案】(1)見解析(2)7【分析】（1）根據(jù)，可得，再證明，即可；（2）過O作與F，于G，連接，則，根據(jù)垂徑定理可得，證明，可得，從而得到四邊形是正方形，可得，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理求出x的值，即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，在與中，，∴，∴；（2）解：過O作與F，于G，連接，則，

∴四邊形是矩形，根據(jù)垂徑定理得：，∵，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴四邊形是正方形，∴，設(shè)，則，∴，即，解得：或（舍去），∴，∴．【點睛】本題主要考查了垂徑定理，弧、弦，圓心角的關(guān)系，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握垂徑定理，弧、弦，圓心角的關(guān)系，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型3.圓周角定理的運用（1）在證明圓周角相等或弧相等時，通?！坝傻冉钦业然　被颉坝傻然≌业冉恰?；（2）當(dāng)已知圓的直徑時，常構(gòu)造直徑所對的圓周角；（3）在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化。比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進(jìn)行轉(zhuǎn)化等。例1.（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，在中，點，，在圓上，，的半徑的長為，則劣弧的長是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了圓周角定理和弧長公式，根據(jù)圓周角定理求出度數(shù)，再利用弧長公式計算即可，熟練掌握圓周角定理和弧長公式的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，∴，∴劣弧的長是，故選：．變式1．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，已知四邊形內(nèi)接于，，、的延長線相交于點E，連接．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是由圓周角定理求出的度數(shù)．由圓周角定理推出，，得到，由三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：為圓的直徑，，，∵，∴，，，，，．故選：．變式2．（2023·江蘇·中考真題）如圖，是的直徑，是的內(nèi)接三角形．若，，則的直徑．

【答案】【分析】連接，，根據(jù)在同圓中直徑所對的圓周角是可得，根據(jù)圓周角定理可得，根據(jù)圓心角，弦，弧之間的關(guān)系可得，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】解：連接，，如圖：

∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，在中，，故答案為：．【點睛】本題考查了在同圓中直徑所對的圓周角是，圓周角定理，圓心角，弦，弧之間的關(guān)系，勾股定理，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．題型4.圓的內(nèi)角四邊形性質(zhì)：（1）圓內(nèi)接四邊形對角互補；（2）圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角。注意：圓的一條?。ㄏ遥┲粚χ粋€圓心角，對應(yīng)的圓周角有無數(shù)個，但圓周角的度數(shù)只有兩個，這兩個度數(shù)和為180°。例1（2023·江蘇·中考真題）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是的直徑，，則的度數(shù)是．【答案】120【分析】解：如圖，連接，由是的直徑，可得，由，可得，，根據(jù)，計算求解即可．【詳解】解：如圖，連接，∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，故答案為：120．【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角為直角，含的直角三角形，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系．變式1．（2022·江蘇南京·中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，它的3個外角，，的度數(shù)之比為，則．【答案】/72度【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補以及外角的性質(zhì)可求出，再根據(jù)平角的定義求解．【詳解】解：如圖，延長到H，四邊形內(nèi)接于，，，，，的度數(shù)之比為，，，，的度數(shù)之比為，，，．故答案為：．【點睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補，外角和是360度．變式2．（2023·江蘇宿遷·二模）如圖，點A、B、C在上，P為上任意一點，，則等于（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理和圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，根據(jù)題意列出關(guān)系式化簡即可．【詳解】解：在中，，在中，，∵四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，∴，，則，故選：C．考點二：與圓有關(guān)的位置關(guān)系1.切線的性質(zhì)：（1）切線與圓只有一個公共點；（2）切線到圓心的距離等于圓的半徑；（3）切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。2.切線的判定（1）與圓只有一個公共點的直線是圓的切線（定義法）；（2）到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線（數(shù)量關(guān)系法）；（3）經(jīng)過半徑外端點并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線（判定定理法）。3.切線長定理：圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。4.三角形外接圓：經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形。5.三角形內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條邊角分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形。題型1.點（直線）與圓的位置關(guān)系掌握已知點的位置，可以確定該點到圓心的距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點到圓心的距離與半徑的關(guān)系，可以確定該點與圓的位置關(guān)系。例1．（2023·江蘇宿遷·中考真題）在同一平面內(nèi)，已知的半徑為2，圓心O到直線l的距離為3，點P為圓上的一個動點，則點P到直線l的最大距離是（

）A．2 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】過點作于點，連接，判斷出當(dāng)點為的延長線與的交點時，點到直線的距離最大，由此即可得．【詳解】解：如圖，過點作于點，連接，，，當(dāng)點為的延長線與的交點時，點到直線的距離最大，最大距離為，故選：B．【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，正確判斷出點到直線的距離最大時，點的位置是解題關(guān)鍵．變式1．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）已知直線l與⊙O相交，圓心O到直線l的距離為6，則⊙O的半徑可能為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，熟練掌握判斷直線和圓的位置關(guān)系的方法：設(shè)的半徑為，圓心到直線的距離為．①直線和相交②直線和相切③直線和相離．根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系的判斷的方法可求解．【詳解】解：和直線相交，，又圓心到直線的距離為，，故選：D．變式2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，在等腰中，，BC=，同時與邊的延長線、射線相切，的半徑為3．將繞點按順時針方向旋轉(zhuǎn)，、的對應(yīng)點分別為、，在旋轉(zhuǎn)的過程中邊所在直線與相切的次數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先以A為圓心，以BC邊的中線為半徑畫圓，可得⊙A的半徑為3，計算出OA的長度，可知⊙O與⊙A相切，根據(jù)兩個相切圓的性質(zhì)，即可得到答案．【詳解】解：如圖：作AD⊥BC，以A為圓心，以AD為半徑畫圓∵AC、AB所在的直線與⊙O相切，令切點分別為P、Q，連接OP、OQ∴AO平分∠PAQ∵∠CAB=120°∴∠PAO=30°∵OP=3∴AO==6∵∠BAC=120°，AB=AC

∴∠ACB=30°，CD=BC=∴AD==3∴⊙A的半徑為3,∴⊙O與⊙A的半徑和為6∵AO=6∴⊙O與⊙A相切∵AD⊥BC∴BC所在的直線是⊙A的切線∴BC所在的直線與⊙O相切∴當(dāng)=360°時，BC所在的直線與⊙O相切同理可證明當(dāng)=180°時，所在的直線與⊙O相切．當(dāng)⊥AO時，即=90°時，所在的直線與⊙O相切．∴當(dāng)為90°、180°、360°時，BC所在的直線與⊙O相切故答案選C．【點睛】本題主要考查了圓的切線，涉及到等腰三角形的性質(zhì)、兩圓的位置關(guān)系和特殊角的三角函數(shù)等知識，熟練掌握相關(guān)知識，精準(zhǔn)識圖并準(zhǔn)確推斷圖形的運動軌跡，進(jìn)行合理論證是本題的解題關(guān)鍵．題型2.切線的性質(zhì).利用切線的性質(zhì)解決問題時，通常連過切點的半徑，利用直角三角形的性質(zhì)來解決問題。例1.（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，在中，直徑與弦交于點．連接，過點的切線與的延長線交于點．若，則°．

【答案】66【分析】連接，則有，然后可得，則，進(jìn)而問題可求解．【詳解】解：連接，如圖所示：

∵是的直徑，且是的切線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：66．【點睛】本題主要考查切線的性質(zhì)、圓周角、弧之間的關(guān)系，熟練掌握切線的性質(zhì)、圓周角、弧之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·江蘇鹽城·中考真題）如圖，、是的弦，過點A的切線交的延長線于點，若，則°．【答案】35【分析】連接并延長，交于點，連接，首先根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)為的切線，可得，可得，再根據(jù)圓周角定理即可求得．【詳解】解：如圖，連接并延長，交于點，連接．為的直徑，，，為的切線，，，，．故答案為：35．【點睛】本題考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵．變式2.（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，AB是圓O的直徑，弦AD平分∠BAC，過點D的切線交AC于點E，∠EAD＝25°，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．AE⊥DE B．AE//OD C．DE=OD D．∠BOD=50°【答案】C【分析】過點D作DF⊥AB于點F，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OD⊥DE，證明OD∥AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的性質(zhì)逐一判斷即可．【詳解】解：∵DE是⊙O的切線，∴OD⊥DE，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠EAD，∴∠EAD=∠ODA，∴OD∥AE，∴AE⊥DE．故選項A、B都正確；∵∠OAD=∠EAD=∠ODA=25°，∠EAD=25°，∴∠BOD=∠OAD+∠ODA=50°，故選項D正確；∵AD平分∠BAC，AE⊥DE，DF⊥AB，∴DE=DF<OD，故選項C不正確；故選：C．【點睛】本題考查的是切線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理，平行線的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．題型3.切線的判定切線判定常用的證明方法：①知道直線和圓有公共點時，連半徑，證垂直；②不知道直線與圓有沒有公共點時，作垂直，證垂線段等于半徑。例1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在中，是上（異于點，）的一點，恰好經(jīng)過點，，于點，且平分．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的半徑長．

【答案】(1)見解析(2)的半徑長為．【分析】（1）連接，證明，即可證得，從而證得是圓的切線；（2）設(shè)，則，利用勾股定理求得，推出，利用相似三角形的性質(zhì)列得比例式，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）證明：連接，如下圖所示，

∵是的平分線，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，即，又∵過半徑的外端點B，∴與相切；（2）解：設(shè)，則，∵在中，，，，∴，∵，∴，∴，即，解得．故的半徑長為．【點睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理，熟練掌握切線的判定是解本題的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇揚州·中考真題）如圖，在中，，點D是上一點，且，點O在上，以點O為圓心的圓經(jīng)過C、D兩點．(1)試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若的半徑為3，求的長．

【答案】(1)直線與相切，理由見解析(2)6【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理，得到，進(jìn)而得到，即可得出與相切；（2）解直角三角形，求出的長，進(jìn)而求出的長，再解直角三角形，求出的長即可．【詳解】（1）解：直線與相切，理由如下：連接，則：，

∵，即：，∴，∵，∴，∴，∴，∵為的半徑，∴直線與相切；（2）解：∵，的半徑為3，∴，∴，∴，∵，∴，設(shè)：，則：，∴，∴．【點睛】本題考查切線的判定，解直角三角形．熟練掌握切線的判定方法，正弦的定義，是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·江蘇揚州·中考真題）如圖，為的弦，交于點，交過點的直線于點，且．(1)試判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，求的長．【答案】(1)相切，證明見詳解(2)6【分析】（1）連接OB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，，從而求出，再根據(jù)切線的判定得出結(jié)論；（2）分別作交AB于點M，交AB于N，根據(jù)求出OP，AP的長，利用垂徑定理求出AB的長，進(jìn)而求出BP的長，然后在等腰三角形CPB中求解CB即可．【詳解】（1）證明：連接OB，如圖所示：，，，，，，即，，，為半徑，經(jīng)過點O，直線與的位置關(guān)系是相切．（2）分別作交AB于點M，交AB于N，如圖所示：，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了切線的證明，垂徑定理的性質(zhì)，等腰三角形，勾股定理，三角函數(shù)等知識點，熟練掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解決此題的關(guān)鍵，抓住直角三角形邊的關(guān)系求解線段長度是解題的主線思路．題型4.內(nèi)切圓與外接圓（1）三角形內(nèi)切圓半徑：，其中S為三角形的面積；C為三角形的周長；（2）直角三角形內(nèi)切圓半徑：，其中a，b為直角三角形的直角邊長，c為斜邊長。（3）切線長定理經(jīng)常用來證明線段相等，通常要連接圓心與切點構(gòu)造直角三角形來求解。例1．（2024·江蘇揚州·一模）如圖，一塊四邊形材料，，，，，．現(xiàn)用此材料截出一個面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓半徑與三角形的關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，構(gòu)造三角形用等面積法是解題的關(guān)鍵．延長交延長線于，當(dāng)這個圓是的內(nèi)切圓時，此圓的面積最大，構(gòu)造三角形，通過等面積法求解即可．【詳解】解：延長交延長線于

，，，，即，解得，，在中，，，設(shè)這個圓的圓心為，與分別相切于，，，，，，即，解得，故選：B．變式1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股一十五步．問勾中容圓，徑幾何？”譯文：現(xiàn)在有一個直角三角形，短直角邊的長為8步，長直角邊的長為15步．問這個直角三角形內(nèi)切圓的直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)短直角邊的長和長直角邊的長，求得斜邊的長．用直角三角形三條邊的長相加作為除數(shù)，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數(shù)，計算所得的商就是這個直角三角形內(nèi)切圓的直徑．根據(jù)以上方法，求得該直徑等于步．（注：“步”為長度單位）

【答案】6【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓的半徑的求法確定出內(nèi)切圓半徑，得到直徑．【詳解】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊為，則該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）半徑（步），即直徑為6步，故答案為：6．【點睛】此題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，掌握中，兩直角邊分別為、，斜邊為，其內(nèi)切圓半徑是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·江蘇常州·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形．若，，則的半徑是．【答案】1【分析】連接、，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)勾股定理計算即可．【詳解】解：連接、，，，，即，解得：，故答案為：1．【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、勾股定理是解題的關(guān)鍵．考點三：與圓有關(guān)的計算設(shè)⊙OQUOTE的半徑為R，n°QUOTE圓心角所對弧長為l，n為弧所對的圓心角的度數(shù)，則（1）弧長公式：；（2）扇形面積公式：或．（3）圓錐側(cè)面積公式：S圓錐側(cè)=πrl（其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的底面半徑）（4）圓錐全面積公式：S圓錐全=πrl+πr2（圓錐的表面積=扇形面積+底面圓面積）題型1.正多邊形與圓的相關(guān)計算正多邊形的常用公式（Rn為正多邊形外接圓的半徑）邊長：；周長：；邊心距：；面積：；內(nèi)角度數(shù)：；外角/中心角度數(shù)：；邊長、半徑、邊心距的關(guān)系：。例1.（2024·江蘇無錫·一模）魏晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”，用圓內(nèi)接正多邊形的面積去無限逼近圓面積．如圖所示的圓的內(nèi)接正十二邊形，若該圓的半徑為1，則這個圓的內(nèi)接正十二邊形的面積為（

）A．1 B． C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查正多邊形與圓，三角形的面積的計算，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題關(guān)鍵．過作于，得到圓的內(nèi)接正十二邊形的圓心角，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，過作于，圓的內(nèi)接正十二邊形的圓心角為，，，，這個圓的內(nèi)接正十二邊形的面積為，故選：C變式1．（2023·江蘇無錫·中考真題）下列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形；②正多邊形是中心對稱圖形；③正六邊形的外接圓半徑與邊長相等；④正n邊形共有n條對稱軸．其中真命題的個數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根據(jù)正多邊形的性質(zhì)以及正多邊形與圓的關(guān)系逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：各邊相等各角相等的多邊形是正多邊形，只有各邊相等的多邊形不一定是正多邊形，如菱形，故①是假命題；正三角形和正五邊形就不是中心對稱圖形，故②為假命題；正六邊形中由外接圓半徑與邊長可構(gòu)成等邊三角形，所以外接圓半徑與邊長相等，故③為真命題；根據(jù)軸對稱圖形的定義和正多邊形的特點，可知正n邊形共有n條對稱軸，故④為真命題.故選：C．【點睛】本題考查的是正多邊形的概念以及正多邊形與圓的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型．變式2．（2023·江蘇泰州·中考真題）半徑為的圓內(nèi)接正五邊形一邊所對劣弧的長為．【答案】【分析】根據(jù)正多邊形和圓的性質(zhì)，計算半徑為的圓周長的五分之一即可．【詳解】解：由題意得，半徑為的圓內(nèi)接正五邊形一邊所對劣弧的長是半徑為的圓周長的五分之一，所以，故答案為：．【點睛】本題考查正多邊形和圓，掌握弧長、圓周長計算方法是正確解答的關(guān)鍵．題型2.圓錐的相關(guān)計算圓錐的相關(guān)公式難以記憶，建議牢記圓錐與側(cè)面展開圖的圖形形式，并理解側(cè)面展開圖與扇形之間的關(guān)系。相關(guān)公式在解題過程中進(jìn)行推導(dǎo)。例1.（2023·江蘇·中考真題）如圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的側(cè)面積是（

）．

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得這個幾何體為圓錐，然后求出圓錐的母線長為，再根據(jù)圓錐的側(cè)面（扇形）面積公式，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：這個幾何體為圓錐，如圖，過點作于點，

根據(jù)題意得：，，，∴，∴，即圓錐的母線長為，∴這個幾何體的側(cè)面積是．故選：B【點睛】本題考查簡單幾何體的三視圖，求圓錐的側(cè)面積，根據(jù)題意得到這個幾何體為圓錐是解題的關(guān)鍵．變式14．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形．若母線長l為，扇形的圓心角為，則圓錐的底面圓的半徑r為．

【答案】2【分析】本題考查了圓錐的計算，首先求得展開之后扇形的弧長也就是圓錐的底面周長，進(jìn)一步利用弧長計算公式求得圓錐的底面圓的半徑r．【詳解】解：由題意得：母線長l為，，，∴，故答案為：2．變式2．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，圓錐的母線長為l，滿足2r+l＝6，這樣的圓錐的側(cè)面積（

）A．有最大值π B．有最小值π C．有最大值π D．有最小值π【答案】C【分析】由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圓錐的側(cè)面積公式：S側(cè)＝πrl，利用配方法整理得出，S側(cè)＝﹣2π(r﹣)2+π，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵2r+l＝6，∴l(xiāng)＝6﹣2r，∴圓錐的側(cè)面積S側(cè)＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣)2﹣]＝﹣2π(r﹣)2+π，∴當(dāng)r＝時，S側(cè)有最大值．故選：C．【點睛】本題考查了圓錐的計算,二次函數(shù)的最值,圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形,這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.熟記圓錐的側(cè)面積:是解題的關(guān)鍵．題型3.不規(guī)則圖形的相關(guān)計算求與圓有關(guān)的不規(guī)則圖形的面積時，最基本的思想就是轉(zhuǎn)化思想，即把所求的不規(guī)則的圖形的面積轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積．常用的方法有：割補法、等積變換法、圖形變換法等。例1.（2023·江蘇連云港·中考真題）如圖，矩形內(nèi)接于，分別以為直徑向外作半圓．若，則陰影部分的面積是（

）

A． B． C． D．20【答案】D【分析】根據(jù)陰影部分面積為2個直徑分別為的半圓的面積加上矩形的面積減去直徑為矩形對角線長的圓的面積即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵矩形內(nèi)接于，∴∴陰影部分的面積是，故選：D．

【點睛】本題考查了勾股定理，矩形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·江蘇連云港·中考真題）如圖，有一個半徑為2的圓形時鐘，其中每個刻度間的弧長均相等，過9點和11點的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】陰影部分的面積等于扇形面積減去三角形面積，分別求出扇形面積和等邊三角形的面積即可．【詳解】解：如圖，過點OC作OD⊥AB于點D，∵∠AOB=2×=60°，∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOD=∠BOD=30°，OA=OB=AB=2，AD=BD=AB=1，∴OD=，∴陰影部分的面積為，故選：B．【點睛】本題考查了扇形面積、等邊三角形的面積計算方法，掌握扇形面積、等邊三角形的面積的計算方法是正確解答的關(guān)鍵．變式2．（2024·江蘇蘇州·一模）如圖，正方形的邊長為1，對角線，相交于點，以點為圓心，對角線的長為半徑畫弧，交的延長線于點，則圖中陰影部分的面積為．【答案】【分析】先根據(jù)銳角三角函數(shù)求出，再根據(jù)扇形面積公式和三角形面積公式即可求出陰影部分的面積．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，則在等腰中，由勾股定理可得，由正方形性質(zhì)可知，，陰影部分的面積，故答案為：．【點睛】本題考查求不規(guī)則圖形面積，涉及扇形面積公式、正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，掌握扇形面積公式和正方形性質(zhì)的應(yīng)用，由等腰直角三角形求出是解題關(guān)鍵．題型4.圓的相關(guān)證明與計算綜合在解決圓的相關(guān)證明與計算綜合問題中，經(jīng)常用到的重要性質(zhì)及技法：①運用圓是軸對稱圖形也是中心對稱圖形可以對相關(guān)結(jié)論作合理的猜測；②利用垂徑定理，通過在由半弦、半徑、弦心距組成的直角三角形，運用勾股定理或銳角三角函數(shù)進(jìn)行計算；③在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦、弦心距等量對等量關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化相等關(guān)系；④由直徑所對的圓周角是直角構(gòu)造直角三角形；⑤相似三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理是計算線段長度及其線段數(shù)量關(guān)系的重要手段。例1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，將矩形沿對角線翻折，的對應(yīng)點為點，以矩形的頂點為圓心、為半徑畫圓，與相切于點，延長交于點，連接交于點．(1)求證：．(2)當(dāng)，時，求的長．

【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由切線的性質(zhì)得，則，由矩形的性質(zhì)得，再由直角三角形兩銳角互余得，根據(jù)對頂角相等和同圓的半徑相等得，，然后由等角的余角相等得，最后由等角對等邊得出結(jié)論；（2）由銳角三角函數(shù)得，，得，由翻折得，由得，再由矩形對邊相等得，最后在中解直角三角形即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖，連接．

∵與相切于點E，∴，∴．∵四邊形是矩形，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴．（2）解：在中，，，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，由翻折可知，，∵四邊形是矩形，∴，在中，，∴．【點睛】本題是四邊形與圓的綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、翻折的有關(guān)性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義，正確作出輔助線，巧用解直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇宿遷·中考真題）（1）如圖，是的直徑，與交于點F，弦平分，點E在上，連接、，________．求證：________．

從①與相切；②中選擇一個作為已知條件，余下的一個作為結(jié)論，將題目補充完整（填寫序號），并完成證明過程．（2）在（1）的前提下，若，，求陰影部分的面積．【答案】（1）②①，證明見解析（或①②，證明見解析）（2）【分析】（1）一：已知條件為②，結(jié)論為①與相切；連接，先證出，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)圓的切線的判定即可得證；二：已知條件為①與相切，結(jié)論為②；連接，先證出，再根據(jù)圓的切線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得證；（2）連接，先解直角三角形求出的長，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得的長，從而可得的長，然后根據(jù)圓周角定理可得，最后根據(jù)陰影部分的面積等于直角梯形的面積減去扇形的面積即可得．【詳解】解：（1）一：已知條件為②，結(jié)論為①與相切，證明如下：如圖，連接，，，弦平分，，，，，，又是的半徑，與相切；二：已知條件為①與相切，結(jié)論為②，證明如下：如圖，連接，

，，弦平分，，，，與相切，，；（2）如圖，連接，

，，，，，又，，是等邊三角形，，，由圓周角定理得：，則陰影部分的面積為．【點睛】本題考查了圓的切線的判定與性質(zhì)、解直角三角形、扇形的面積、圓周角定理等知識點，熟練掌握圓的切線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．變式2．（2023·江蘇泰州·中考真題）已知：A、B為圓上兩定點，點C在該圓上，為所對的圓周角．

知識回顧(1)如圖①，中，B、C位于直線異側(cè)，．①求的度數(shù)；②若的半徑為5，，求的長；逆向思考(2)如圖②，P為圓內(nèi)一點，且，，．求證：P為該圓的圓心；拓展應(yīng)用(3)如圖③，在（2）的條件下，若，點C在位于直線上方部分的圓弧上運動．點D在上，滿足的所有點D中，必有一個點的位置始終不變．請證明．【答案】(1)①；②；(2)見解析；(3)見解析【分析】（1）①根據(jù)，結(jié)合圓周角定理求的度數(shù)；②構(gòu)造直角三角形；（2）只要說明點到圓上、和另一點的距離相等即可；（3）根據(jù)，構(gòu)造一條線段等于，利用三角形全等來說明此線段和相等．【詳解】（1）解：①，，，．②連接，過作，垂足為，

，，是等腰直角三角形，且，，，是等腰直角三角形，，在直角三角形中，，．（2）證明：延長交圓于點，則，，，，，，，，為該圓的圓心．（3）證明：過作的垂線交的延長線于點，連接，延長交圓于點，連接，，

，，是等腰直角三角形，，，，，是直徑，，，，，，，，必有一個點的位置始終不變，點即為所求．【點睛】本題考查了圓周角定理，還考查了勾股定理和三角形全等的知識，對于（3）構(gòu)造一條線段等于是關(guān)鍵．題型5.圓與尺規(guī)作圖的相關(guān)運算例1．（2023·江蘇·中考真題）如圖，在中，．

(1)尺規(guī)作圖：作，使得圓心在邊上，過點且與邊相切于點（請保留作圖痕跡，標(biāo)明相應(yīng)的字母，不寫作法）；(2)在（1）的條件下，若，求與重疊部分的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）作的角平分線交于點，過點作，交于點，以為圓心，為半徑作，即可；（2）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，求得圓的半徑，設(shè)交于點，連接，可得是等邊三角形，進(jìn)而根據(jù)與重疊部分的面積等于扇形面積與等邊三角形的面積和，即可求解．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）解：∵，是的切線，∴，∴，則，解得：，如圖所示，設(shè)交于點，連接，∵，∴是等邊三角形，如圖所示，過點作于點，∴∴在中，,∴,∴，則，∴與重疊部分的面積為．【點睛】本題考查了基本作圖，切線的性質(zhì)，求扇形面積，熟練掌握基本作圖與切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，已知，點M是上的一個定點．

(1)尺規(guī)作圖：請在圖1中作，使得與射線相切于點M，同時與相切，切點記為N；(2)在（1）的條件下，若，則所作的劣弧與所圍成圖形的面積是____．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先作的平分線，再過M點作的垂線交于點O，接著過O點作于N點，然后以O(shè)點為圓心，為半徑作圓，則滿足條件；（2）先利用切線的性質(zhì)得到，，根據(jù)切線長定理得到，則，再利用含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系計算出，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用的劣弧與所圍成圖形的面積進(jìn)行計算．【詳解】（1）解：如圖，為所作；

；（2）解：∵和為的切線，∴，，，∴，∴，在中，，∴，∴的劣弧與所圍成圖形的面積．故答案為：．【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了切線的判定與性質(zhì)、扇形的面積計算．變式2．（2022·江蘇常州·中考真題）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點是圓心，直徑的長是，是半圓弧上的一點（點與點、不重合），連接、．(1)沿、剪下，則是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)分別取半圓弧上的點、和直徑上的點、．已知剪下的由這四個點順次連接構(gòu)成的四邊形是一個邊長為的菱形．請用直尺和圓規(guī)在圖中作出一個符合條件的菱形（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(3)經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對于半圓弧上的任意一點，一定存在線段上的點、線段上的點和直徑上的點、，使得由這四個點順次連接構(gòu)成的四邊形是一個邊長為的菱形．小明的猜想是否正確？請說明理由．【答案】(1)直角(2)見詳解(3)小明的猜想正確，理由見詳解【分析】（1）AB是圓的直徑，根據(jù)圓周角定理可知∠ACB=90°，即可作答；（2）以A為圓心，AO為半徑畫弧交⊙O于點E，再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于⊙O點F連接EF、FO、EA，G、H點分別與A、O點重合，即可；（3）當(dāng)點C靠近點A時，設(shè)，，可證,推出，分別以M，N為圓心，MN為半徑作弧交AB于點P，Q，可得，進(jìn)而可證四邊形MNQP是菱形；當(dāng)點C靠近點B時，同理可證．【詳解】（1）解：如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACB是直角，即△ABC是直角三角形，故答案為：直角；（2）解：以A為圓心，AO為半徑畫弧交⊙O于點E，再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于⊙O點F連接EF、FO、EA，G、H點分別與A、O點重合，即可，作圖如下：由作圖可知AE=EF=FH=HG=OA=AB=6，即四邊形EFHG是邊長為6cm的菱形；（3）解：小明的猜想正確，理由如下：如圖，當(dāng)點C靠近點A時，設(shè)，，∴,∴,∴,∴．分別以M，N為圓心，MN為半徑作弧交AB于點P，Q，作于點D，于點E，∴．∵,，，∴，在和中，，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形MNQP是平行四邊形，又∵，∴四邊形MNQP是菱形；同理，如圖，當(dāng)點C靠近點B時，采樣相同方法可以得到四邊形MNQP是菱形，故小明的猜想正確．【點睛】本題考查了圓周角定理、尺規(guī)作圖、菱形的性質(zhì)與判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用上述知識解決問題．課后訓(xùn)練1．（2024·江蘇鹽城·一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，點E在上，且，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得，根據(jù)圓周角定理求出，，進(jìn)而求出，計算即可．【詳解】解：如圖，連接，四邊形內(nèi)接于，，，是的直徑，，，∵，故選：D．

2．（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）如圖，如圖，是的直徑，是的弦，過點的切線交的延長線于點，若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．連接，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得，再利用互余得，由于，則，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)求解．【詳解】解：連接，如圖，為的切線，，，而，，，，，．故選：A．3.（2023年四川省宜賓中考數(shù)學(xué)真題）《夢溪筆談》是我國古代科技著作，其中它記錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”．如圖，是以點O為圓心、為半徑的圓弧，N是的中點，．“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值計算公式：．當(dāng)，時，則的值為（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】連接,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)，后代入公式計算即可．【詳解】連接，根據(jù)題意，是以點O為圓心、為半徑的圓弧，N是的中點，，

得，∴點M，N，O三點共線，∵，，∴是等邊三角形，∴，∴．故選B．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，特殊角的函數(shù)值，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．4．（2024·北京海淀·一模）某校舉辦校慶晚會，其主舞臺為一圓形舞臺，圓心為O，A，由線段及優(yōu)弧圍成的區(qū)域是表演區(qū)．若在A處安裝一臺某種型號的燈光裝置，恰好可以照亮整個表演區(qū)，如圖2中陰影所示．若將燈光裝置改放在如圖3所示的點M，N或P處，能使表演區(qū)完全照亮的方案可能是（）①在M處放置2臺該型號的燈光裝置；②在M，N處各放置1臺該型號的燈光裝置；③在P處放置2臺該型號的燈光裝置．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】本題考查了圓、三角形內(nèi)角和的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角的性質(zhì)，從而完成求解．【詳解】解：①在M處放置2臺該型號的燈光裝置，如圖：攝像裝置的視角為，∵，∴在M處放置2臺該型號的燈光裝置，能使表演區(qū)完全照亮；②在M，N處各放置1臺該型號的燈光裝置∵，∴在M，N處各放置1臺該型號的燈光裝置；③在P處放置2臺該型號的燈光裝置，如圖：∵，不能找到一個角和相等∴由圖可知，在P處放置2臺該型號的燈光裝置，不能使表演區(qū)完全照亮；故選：A．5．（2024·江蘇宿遷·二模）如圖，等邊三角形的邊長為4，的半徑為，P為邊上一動點，過點P作的切線，切點為Q，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】本題考查的是切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、垂線段最短，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關(guān)鍵．連接，過點C作于H，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)垂線段最短解答即可．【詳解】解：連接，過點C作于H，是的切線，，，當(dāng)時，最小，取最小值，為等邊三角形，，，的最小值為：，故選：C．6．（2023·江蘇宿遷·二模）如圖，將沿弦折疊，交直徑于點，若，，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查圓周角定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)．由沿弦折疊知，弧與弧相等，得到，由外角公式知，得，可知是等腰三角形，再證得，可求出，進(jìn)而能求．【詳解】如圖，連接，過點作于．沿弦折疊弧與弧相等是直徑即即．故選：B．7．（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，是半圓的直徑，點在半圓上，，連接，過點作，交的延長線于點．設(shè)的面積為的面積為，若，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，過作于，證明，由，即，可得，證明，可得，設(shè)，則，可得，，再利用正切的定義可得答案．【詳解】解：如圖，過作于，

∵，∴，∵，即，∴，∵，∴，∴，即，設(shè)，則，∴，∴，∴，∵，∴，∴；故選A【點睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．8．（2023·南通·中考真題）如圖，是的直徑，點，在上．若，則度．

【答案】【分析】連接，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角相等，可得，，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，

∵是直徑，∴，∵，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，同弧所對的圓周角相等，熟練掌握圓周角定理的推論是解題的關(guān)鍵．9．（2023·江蘇·中考真題）如圖，3個大小完全相同的正六邊形無縫隙、不重疊的拼在一起，連接正六邊形的三個頂點得到，則的值是．

【答案】【分析】如圖所示，補充一個與已知相同的正六邊形，根據(jù)正六邊形的內(nèi)角為，設(shè)正六邊形的邊長為1，求得，根據(jù)正切的定義，即可求解．【詳解】解：如圖所示，補充一個與已知相同的正六邊形，

∵正六邊形對邊互相平行，且內(nèi)角為，∴過點作于，∴設(shè)正六邊形的邊長為1，則，，∴故答案為：．【點睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2023·江蘇宿遷·中考真題）若圓錐的底面圓半徑為，側(cè)面展開圖是一個圓心角為的扇形，則這個圓錐的母線長是．【答案】6【分析】本題考查了扇形的弧長的計算，設(shè)這個圓錐的母線長是，先求得扇形的弧長，再根據(jù)弧長公式即可求解，熟練掌握扇形的弧長公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)這個圓錐的母線長是，依題意得：圓錐的底面周長為：，則展開后扇形的弧長為，即：，解得：，這個圓錐的母線長是，故答案為：6．11．（2024·江蘇徐州·一模）如圖，將扇形翻折，使點A與圓心O重合，展開后折痕所在直線l與交于點C，若，則的長為．【答案】/【分析】本題考查了弧長公式，等邊三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，連接，，根據(jù)折疊性質(zhì)可得，，先證明為等邊三角形，得到，再利用弧長公式即可求解．【詳解】解：如圖，連接，，扇形翻折，使點A與圓心O重合，，，又，又，，為等邊三角形，，．故答案為：．12．（2023·江蘇泰州·中考真題）小明對《數(shù)書九章》中的“遙度圓城”問題進(jìn)行了改編：如圖，一座圓形城堡有正東、正南、正西和正北四個門，出南門向東走一段路程后剛好看到北門外的一顆大樹，向樹的方向走9里到達(dá)城堡邊，再往前走6里到達(dá)樹下．則該城堡的外圍直徑為里．

【答案】9【分析】由切圓于D，切圓于C，連接，得到，里，由勾股定理求出，由，求出（里），即可得到答案．【詳解】解：如圖，表示圓形城堡，

由題意知：切圓于D，切圓于C，連接，∴，里，∵里，∴里，∴，∵，∴，∴（里）．∴城堡的外圍直徑為（里）．故答案為：9．【點睛】本題考查勾股定理，解直角三角形，切線的性質(zhì)，切線長定理，關(guān)鍵是理解題意，得到，求出長即可．13．（2022·江蘇徐州·中考真題）如圖，圓錐母線，底面半徑，則其側(cè)面展開圖扇形的圓心角的度數(shù)為．

【答案】【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到，然后解方程即可．【詳解】解：根據(jù)題意得，解得：，∴側(cè)面展開圖扇形的圓心角為．故答案為：．【點睛】本題考查圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．掌握圓錐側(cè)面展開圖的相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．14．（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在中，，垂足為．以點為圓心，長為半徑畫弧，與分別交于點．若用扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，記這個圓錐底面圓的半徑為；用扇形圍成另一個圓錐的側(cè)面，記這個圓錐底面圓的半徑為，則．（結(jié)果保留根號）

【答案】/【分析】由，，，，，，，，求解，，證明，可得，再分別計算圓錐的底面半徑即可．【詳解】解：∵在中，，，∴，，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，，解得：，，∴；故答案為：【點睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，扇形的弧長的計算，圓錐的底面半徑的計算，熟記圓錐的側(cè)面展開圖的扇形弧長等于底面圓的周長是解本題的關(guān)鍵．15．（2023·江蘇·中考真題）在四邊形中，為內(nèi)部的任一條射線（不等于），點關(guān)于的對稱點為，直線與交于點，連接，則面積的最大值是．

【答案】【分析】連接，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得在半徑為的上，證明是等邊三角形，當(dāng)取得最大值時，面積最大，根據(jù)圓的直徑最大，進(jìn)而得出最大值為，即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，

∵點關(guān)于的對稱點為，∴，∵，∴在半徑為的上，在優(yōu)弧上任取一點，連接,則，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，當(dāng)取得最大值時，面積最大，∵在上運動，則最大值為，則面積的最大值是．故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形對角互補，等邊三角形的性質(zhì)，得出最大值為是解題的關(guān)鍵．16．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，等腰三角形的頂角，和底邊相切于點，并與兩腰，分別相交于，兩點，連接，．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．

【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，從而可得和都是等邊三角形，最后利用等邊三角形的性質(zhì)可得，即可解答；（2）連接交于點，利用菱形的性質(zhì)可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的長，從而求出的長，最后根據(jù)圖中陰影部分的面積扇形的面積菱形的面積，進(jìn)行計算即可解答．【詳解】（1）證明：連接，和底邊相切于點，，

，，，，，和都是等邊三角形，，，，四邊形是菱形；（2）解：連接交于點，四邊形是菱形，，，，在中，，，，圖中陰影部分的面積扇形的面積菱形的面積，圖中陰影部分的面積為．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，扇形面積的計算，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．17．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，是的直徑，與相交于點．過點的圓O的切線，交的延長線于點，．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的半徑．

【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，根據(jù)為的切線，則，由，則，根據(jù)圓周角定理可得，又，根據(jù)等邊對等角以及三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，代入數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】（1）如圖，連接．

為的切線，．，．，．，．（2）如圖，連接，，，．，，且，，，即，，，即半徑為．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，