2024-2025學(xué)年廣東省廣州四中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年廣東省廣州四中高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.從分別寫(xiě)有1，2，3，4，5，6的六張卡片中，無(wú)放回地隨機(jī)抽取兩張，則抽到的兩張卡片上的數(shù)字之積是5的倍數(shù)的概率為(

)A.13 B.25 C.352.如圖，空間四邊形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)M在OA上，且OM=23OA，點(diǎn)A.12a+12b?123.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為線段AA.55 B.105 C.4.若直線l1：y=kx?k+2與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，則直線l2恒過(guò)定點(diǎn)A.(3,1) B.(3,0) C.(0,1) D.(2,1)5.已知事件A、B，且P(A)=0.6，P(B)=0.7，如果A與B互斥，那么P(AB)=p1；如果A與B相互獨(dú)立，那么P(A+B?)=p2，則A.p1=0，p2=0.9 B.p1=0.42，p2=0.9

C.6.在三棱錐P?ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，且PA=1，PB=2，PC=3，三角形ABC重心為G，則點(diǎn)P到直線AG的距離為(

)A.23 B.53 C.27.已知實(shí)數(shù)x，y滿足y=15x?35，且?2≤x≤3，則A.(?∞,?12]∪[3,+∞) B.[?12,3]8.直線l1：x+(m+1)y?2m?2=0與直線l2：(m+1)x?y?2m?2=0相交于點(diǎn)P，對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線l1，l2分別恒過(guò)定點(diǎn)A，B，則|PA|+|PB|A.4 B.8 C.22 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.某社團(tuán)開(kāi)展“建黨100周年主題活動(dòng)——學(xué)黨史知識(shí)競(jìng)賽”，甲、乙兩人能得滿分的概率分別為34，23，兩人能否獲得滿分相互獨(dú)立，則(

)A.兩人均獲得滿分的概率12 B.兩人至少一人獲得滿分的概率712

C.兩人恰好只有甲獲得滿分的概率14 10.已知函數(shù)f(x)=2cos(2x+A.f(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為(38π,0)

B.f(x)的圖象向右平移3π8個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的是奇函數(shù)的圖象

C.f(x)在區(qū)間[5π8,7π8]上單調(diào)遞增

D.11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E、F分別為BB1、A.直線AG與平面AEF所成角的余弦值的取值范圍為[1515,1010]

B.點(diǎn)G到平面AEF的距離為255

C.四面體AEFG的體積為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知直線l的一個(gè)方向向量為a=(2,3)，若l過(guò)點(diǎn)A(?4,3)，則直線l的方程為_(kāi)_____．13.若直線l1：ax+2y?6=0與直線l2：x+(a?1)y?a?1=0平行，則直線l1與l14.已知點(diǎn)P在直線x?y?1=0上，點(diǎn)A(1,?2)，B(2,6)，則|PA|?|PB|的最小值為_(kāi)_____，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為_(kāi)_____四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

某校為了增強(qiáng)學(xué)生的身體素質(zhì)，積極開(kāi)展體育鍛煉，并給學(xué)生的鍛煉情況進(jìn)行測(cè)評(píng)打分.現(xiàn)從中隨機(jī)選出100名學(xué)生的成績(jī)(滿分為100分)，按分?jǐn)?shù)分為[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，共6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求m的值，并求這100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)(保留一位小數(shù))；

(2)若認(rèn)定評(píng)分在[80,90)內(nèi)的學(xué)生為“運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”，評(píng)分在[90,100]內(nèi)的學(xué)生為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”，現(xiàn)采用分層抽樣的方式從不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取6名學(xué)生參加運(yùn)動(dòng)交流會(huì)，大會(huì)上需要從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行經(jīng)驗(yàn)交流發(fā)言，求抽取的2名發(fā)言者中恰好“運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”和“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”各1人的概率．16.(本小題15分)

如圖所示，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，∠BAD=π2,∠BAA1=∠DA17.(本小題15分)

如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，AC⊥AB，AC=2，AB=4，AA1=6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為C18.(本小題17分)

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a,b,c,a?ca+b=sinA?sinBsinC．

(1)求角B；

(2)若△ABC外接圓的面積為12π，且19.(本小題17分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=1，CD=3，PD=2，∠PDA=60°，∠PAD=30°，且平面PAD⊥平面ABCD，在平面ABCD內(nèi)過(guò)B作BO⊥AD，交AD于O，連接PO．

(1)求證：PO⊥平面ABCD；

(2)求二面角A?PB?C的正弦值；

(3)在線段PA上存在一點(diǎn)M，使直線BM與平面PAD所成的角的正弦值為277，求參考答案1.A

2.B

3.B

4.B

5.C

6.D

7.A

8.A

9.ACD

10.BD

11.BD

12.3x?2y+18=0

13.614.?35

15.解：(1)根據(jù)題意可得(0.005+0.015+0.02+0.03+m+0.005)×10=1，解得m=0.025；

∵前3組的頻率和為0.05+0.15+0.2=0.4<0.5，前4組的頻率和為0.05+0.15+0.2+0.3=0.7>0.5，

∴中位數(shù)落在[70,80)，

∴估計(jì)這100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為70+0.5?0.05?0.15?0.20.03=70+103≈73.3分；

(2)∵在[80,90)與[90,100]內(nèi)的學(xué)生s?u的頻率之比為0.25：0.05=5：1，

∴抽取的6名學(xué)生在[80,90)內(nèi)有5人，在[90,100]有1人，

∴從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生共有C62=15個(gè)結(jié)果，

而抽取的2名發(fā)言者中恰好“運(yùn)動(dòng)愛(ài)好者”和“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”各16.解：(1)BD1=AD1?AB=AD+AA1?AB，

因?yàn)锳B=AD=1，AA1=2，∠BAD=π2,∠BAA1=∠DAA1=π3，

所以AD?AB=0，17.(1)證明：在三棱柱ABC?A1B1C1中，因?yàn)锳A1⊥底面A1B1C1，

所以三棱柱是直三棱柱，故四邊形AA1C1C是矩形，

又因?yàn)辄c(diǎn)E是CA1的中點(diǎn)，連接AC1，則點(diǎn)E是AC1的中點(diǎn)，

連接BC1，因?yàn)镕是AB的中點(diǎn)，所以EF/?/BC1，

因?yàn)锽C1?平面BCC1B1，EF?平面BCC1B1，

所以EF/?/平面BCC1B1；

(2)解：因?yàn)槠矫鍯AA1⊥平面AA1B交于AA1，EH?平面CAA1，

所以EH⊥平面AA1B，又B1F?平面AA1B，

所以EH⊥B1F，

過(guò)H在平面AA1B1B內(nèi)，作HG⊥B1F交B1F于點(diǎn)G，連接EG，

因?yàn)镋H∩HG=H，EH，HG?平面EGH，

所以B1F⊥平面EGH，又EG?平面EGH，

所以B1F⊥EG，

因此∠EGH為二面角E?B118.解：(1)由正弦定理得a?ca+b=sinA?sinBsinC=a?bc，化簡(jiǎn)得a2+c2?b2=ac，

結(jié)合余弦定理得cosB=a2+c2?b22ac=12，而B(niǎo)∈(0,π)，所以B=π3．

(2)設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，則外接圓面積S=πR2=12π，解得R=23．

根據(jù)正弦定理得asinA=bsinB=csinC=2R=43．

由19.證明：(1)因?yàn)椤螦DC=∠BCD=90°，BO⊥AD

所以，四邊形BODC為矩形，

在△PDO中，PD=2，DO=BC=1，∠PDA=60°，

則PO=PD2+OD2?2PD?ODcos60°=3

∴PO2+DO2=PD2，

∴PO⊥AD，

且平面PAD⊥平面ABCD，PO?平面PAD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴PO⊥平面ABCD；

(2)以O(shè)為原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，OB所在直線為y軸，OP所在直線為z軸，建立