2025屆遼寧省葫蘆島市普通高中高二數學第一學期期末統考模擬試題含解析

2025屆遼寧省葫蘆島市普通高中高二數學第一學期期末統考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過坐標原點作直線的垂線，垂足為，則的取值范圍是（）A. B.C. D.2．若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（）A. B.C. D.3．函數的圖象的大致形狀是（）A. B.C. D.4．在平面區(qū)域內隨機投入一點P，則點P的坐標滿足不等式的概率是（）A. B.C. D.5．若，都為正實數，，則的最大值是（）A. B.C. D.6．某超市收銀臺排隊等候付款的人數及其相應概率如下：排隊人數01234概率0.10.16030.30.10.04則至少有兩人排隊的概率為（）A.0.16 B.0.26C.0.56 D.0.747．圓截直線所得弦的最短長度為（）A.2 B.C. D.48．不等式的解集為（）A.或 B.C. D.9．執(zhí)行如圖所示的算法框圖，則輸出的結果是（）A. B.C. D.10．已知為虛數單位，復數滿足為純虛數，則的虛部為（）A. B.C. D.11．在遞增等比數列中，為其前n項和．已知，，且，則數列的公比為（）A.3 B.4C.5 D.612．已知隨機變量，且，，則為（）A.0.1358 B.0.2716C.0.1359 D.0.2718二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數在區(qū)間上的最小值為__________.14．已知數列為嚴格遞增數列，且對任意，都有且．若對任意恒成立，則________15．已知雙曲線的漸近線方程為，，分別為C的左，右焦點，若動點P在C的右支上，則的最小值是______16．在公差不為0的等差數列中，為其前n項和，若，則正整數______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數（1）若，求函數的單調區(qū)間；（2）若函數有兩個不同的零點，求實數的取值范圍18．（12分）已知首項為1的等比數列，滿足（1）求數列的通項公式；（2）求數列的前n項和19．（12分）“中山橋”是位于蘭州市中心，橫跨黃河之上的一座百年老橋，如圖①，橋上有五個拱形橋架緊密相連，每個橋架的內部有一個水平橫梁和八個與橫梁垂直的立柱，氣勢宏偉，素有“天下黃河第一橋”之稱.如圖②，一個拱形橋架可以近似看作是由等腰梯形和其上方的拋物線（部分）組成，建立如圖所示的平面直角坐標系，已知，，，，立柱.（1）求立柱及橫梁的長；（2）求拋物線的方程和橋梁的拱高.20．（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，且，（1）求證：；（2）求直線與所成角的余弦值21．（12分）已知，（1）若，p且q為真命題，求實數x的取值范圍；（2）若p是q的充分條件，求實數m的取值范圍22．（10分）已知圓經過點和，且圓心在直線上.（1）求圓的方程;（2）過原點的直線與圓交于M，N兩點，若的面積為，求直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】求出直線直線過的定點A，由題意可知垂足是落在以OA為直徑的圓上，由此可利用的幾何意義求得答案,【詳解】直線，即，令，解得，即直線過定點,由過坐標原點作直線的垂線，垂足為，可知：落在以OA為直徑的圓上，而以OA為直徑的圓為，如圖示：故可看作是圓上的點到原點距離的平方，而圓過原點，圓上點到原點的最遠距離為，但將原點坐標代入直線中，不成立，即直線l不過原點，所以不可能和原點重合，故，故選：D2、A【解析】兩直線垂直，斜率之積為，曲線與直線相切，聯立方程令.【詳解】法一：直線，所以，所以切線的，設切線的方程為，聯立方程，所以，令，解得，所以切線方程為.法二：直線，所以，所以切線的，，所以令，所以，帶入曲線方程得切點坐標為，所以切線方程為，化簡得.故選：A.3、B【解析】對A，根據當時，的值即可判斷；對B，根據函數在上的單調性即可判斷；對C，根據函數的奇偶性即可判斷；對D，根據函數在上的單調性即可判斷.【詳解】解：對A，當時，，故A錯誤；對B，的定義域為，且，故為奇函數；，當時，當時，，即，又，，故存在，故在單調遞增，單調遞減，單調遞增，故B正確；對C，為奇函數，故C錯誤；對D，函數在上不單調，故D錯誤.故選：B.4、A【解析】根據題意作出圖形，進而根據幾何概型求概率的方法求得答案.【詳解】根據題意作出示意圖，如圖所示：于，所求概率.故選：A.5、B【解析】由基本不等式，結合題中條件，直接求解，即可得出結果.【詳解】因為，都為正實數，，所以，當且僅當，即時，取最大值.故選：D6、D【解析】利用互斥事件概率計算公式直接求解【詳解】由某超市收銀臺排隊等候付款的人數及其相應概率表，得：至少有兩人排隊的概率為：故選：D【點睛】本題考查概率的求法、互斥事件概率計算公式，考查運算求解能力，是基礎題7、A【解析】由題知直線過定點，且在圓內，進而求解最值即可.【詳解】解：將直線化為，所以聯立方程得所以直線過定點將化為標準方程得，即圓心為，半徑為，由于，所以點在圓內，所以點與圓圓心間的距離為，所以圓截直線所得弦的最短長度為故選：A8、A【解析】根據一元二次不等式的解法可得答案.【詳解】由不等式可得或不等式的解集為或故選：A9、B【解析】列舉出循環(huán)的每一步，利用裂項相消法可求得輸出結果.【詳解】第一次循環(huán)，不成立，，；第二次循環(huán)，不成立，，；第三次循環(huán)，不成立，，；以此類推，最后一次循環(huán)，不成立，，.成立，跳出循環(huán)體，輸出.故選：B.10、D【解析】先設，代入化簡，由純虛數定義求出，即可求解.【詳解】設，所以，因為為純虛數，所以，解得，所以的虛部為：.故選：D.11、B【解析】由已知結合等比數列的性質可求出、，然后結合等比數列的求和公式求解即可.【詳解】解：由題意得：是遞增等比數列又，，故故選：B12、C【解析】根據正態(tài)分布的對稱性可求概率.【詳解】由題設可得，，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先對函數求導判斷其單調性，然后利用單調性求函數的最小值【詳解】解：由，得，當且僅當時取等號，即取等號，因為，所以函數在區(qū)間上單調遞增，所以當時，函數取得最小值0，故答案為：014、66【解析】根據恒成立和嚴格遞增可得，然后利用遞推求出，的值，不難發(fā)現在此兩項之間的所有項為連續(xù)正整數，于是可得，，然后可解.【詳解】因為，且數列為嚴格遞增數列，所以或，若，則（矛盾），故由可得：，，，，，，，，，，，，，因，，，且數列為嚴格遞增數列，，所以，，所以，所以故答案為：6615、【解析】首先根據雙曲線的漸近線方程和焦點坐標，求出雙曲線的標準方程；設，根據雙曲線的定義可知，從而利用基本不等式即可求出的最小值.【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，焦點坐標為，，所以，即，所以雙曲線方程為.設，則，且，，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值是.故答案為：.16、13【解析】設等差數列公差為d，根據等差數列通項公式、前n項和公式及可求k.【詳解】設等差數列公差為d，∵，∴，即，即，∴.故答案為：13.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（2）.【解析】（1）求出，進而判斷函數的單調性，然后討論符號后可得函數的單調區(qū)間；（2）令，則有兩個不同的零點，利用導數討論的單調性并結合零點存在定理可得實數的取值范圍.【小問1詳解】當時，，，記，則，所以在上單調遞增，又，所以當時，；當時，，所以單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為【小問2詳解】令，得，記，則，令得，列表得．x0↘極小值↗要使在上有兩個零點，則，所以且函數在和上各有一個零點當時，，，，則，故上無零點，與函數在上有一個零點矛盾，故不滿足條件所以，又因為，所以考慮，設，，則，則在上單調遞減，故當時，，所以，且，因為，所以，由零點存在定理知在和上各有一個零點綜上可知，實數a的取值范圍為【點睛】方法點睛：利用導數研究零點問題：（1）確定零點的個數問題：可利用數形結合的辦法判斷交點個數，如果函數較為復雜，可用導數知識確定極值點和單調區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數的值域問題處理.可以通過構造函數的方法，把問題轉化為研究構造的函數的零點問題；（3）利用導數硏究函數零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數形結合思想研究；③構造輔助函數硏究.18、（1）（2）【解析】（1）根據已知條件求得數列的公比，由此求得.（2）利用錯位相減求和法求得.【小問1詳解】設等比數列的公比為，由，可得.故數列是以1為首項，3為公比的等比數列，所以【小問2詳解】由（1）得，，①，②①②，得所以19、（1），（2），【解析】（1）根據梯形的幾何性質，即可求解；（2）表示出M,N的坐標，代入拋物線方程中，結合條件解得p值，繼而求得拱高.【小問1詳解】由題意，知,因為ABFM是等腰梯形，由對稱性知:,所以，【小問2詳解】由（1）知,所以點M的橫坐標為-18，則N的橫坐標為-（18-5）=-13.設點M，N的縱坐標分別為y1，y2，由圖形，知設拋物線的方程為，，兩式相減，得2p(y2-y1)=182-132=155,解得：2p=100故拋物線的方程為x2=-100y.因此，當x=-18時，所以橋梁的拱高OH=3.24+4=7.24m.20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）過點作交的延長線于點，連接，由，，證出平面，即可證出.（2）以為原點，的方向分別為軸正方向，建立空間直角坐標系，寫出相應點的坐標，利用，即可得到答案.【小問1詳解】過點作交的延長線于點，連接，因為，所以，又因為，所以，所以，即，.因為，所以平面，因為平面，所以【小問2詳解】因為平面平面，平面平面，所以平面，以為原點，的方向分別為軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，可得，因為，所以直線與所成角的余弦值為21、（1）；（2）.【解析】(1)解一元二次不等式可得命題p，q所對集合，再求交集作答.(2)求出命題q所對集合，再利用集合的包含關系列式計算作答.【小問1詳解】解不等式得：，則命題p所對集合，當時，解不等式得：，則命題q所對集合，由p且q為真命題，則，所以實數x的取值范圍是.【小問2詳解】解不等式得：，則命題q所對集合，因p是q的充分條件，則，于是得，解得，所以實數m的取值范圍是