2025屆湖南省長沙市一中數(shù)學高三第一學期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2025屆湖南省長沙市一中數(shù)學高三第一學期期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，當時，不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．2．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)（），則函數(shù)的值域為（）A． B． C． D．3．已知拋物線的焦點為，為拋物線上一點，，當周長最小時，所在直線的斜率為（）A． B． C． D．4．函數(shù)的最大值為，最小正周期為，則有序數(shù)對為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知復數(shù)滿足：（為虛數(shù)單位），則（）A． B． C． D．7．已知向量，，則與的夾角為（）A． B． C． D．8．網(wǎng)絡(luò)是一種先進的高頻傳輸技術(shù)，我國的技術(shù)發(fā)展迅速，已位居世界前列.華為公司2019年8月初推出了一款手機，現(xiàn)調(diào)查得到該款手機上市時間和市場占有率（單位：%）的幾組相關(guān)對應數(shù)據(jù).如圖所示的折線圖中，橫軸1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根據(jù)數(shù)據(jù)得出關(guān)于的線性回歸方程為.若用此方程分析并預測該款手機市場占有率的變化趨勢，則最早何時該款手機市場占有率能超過0.5%（精確到月）（）A．2020年6月 B．2020年7月 C．2020年8月 D．2020年9月9．雙曲線的一條漸近線方程為，那么它的離心率為（）A． B． C． D．10．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，則下列結(jié)論正確的是（）A．﹣3∈AB．3BC．A∩B=BD．A∪B=B11．已知，，則等于（）．A． B． C． D．12．已知函數(shù)與的圖象有一個橫坐標為的交點，若函數(shù)的圖象的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋逗?，得到的函?shù)在有且僅有5個零點，則的取值范圍是()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知隨機變量服從正態(tài)分布，，則__________．14．從編號為，，，的張卡片中隨機抽取一張，放回后再隨機抽取一張，則第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為_____________.15．從甲、乙等8名志愿者中選5人參加周一到周五的社區(qū)服務，每天安排一人，每人只參加一天.若要求甲、乙兩人至少選一人參加，且當甲、乙兩人都參加時，他們參加社區(qū)服務的日期不相鄰，那么不同的安排種數(shù)為______________.(用數(shù)字作答)16．已知實數(shù)，滿足約束條件則的最大值為________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（）的檢測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如下：空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴重污染天數(shù)61418272510（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于，的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；（2）已知某企業(yè)每天的經(jīng)濟損失（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)的關(guān)系式為，試估計該企業(yè)一個月（按30天計算）的經(jīng)濟損失的數(shù)學期望.18．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求不等式的解集；（2）若對任意成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．（1）若，證明：．（2）若，，求的面積．20．（12分）已知數(shù)列，其前項和為，若對于任意，，且，都有.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列（2）若數(shù)列滿足，且等差數(shù)列的公差為，存在正整數(shù)，使得，求的最小值.21．（12分）已知函數(shù)的定義域為，且滿足，當時，有，且.（1）求不等式的解集；（2）對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖，已知四棱錐的底面是等腰梯形，，，，，為等邊三角形，且點P在底面上的射影為的中點G，點E在線段上，且.（1）求證：平面.（2）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由變形可得,可知函數(shù)在為增函數(shù),由恒成立,求解參數(shù)即可求得取值范圍.【詳解】,即函數(shù)在時是單調(diào)增函數(shù).則恒成立..令,則時,單調(diào)遞減,時單調(diào)遞增.故選:D.【點睛】本題考查構(gòu)造函數(shù),借助單調(diào)性定義判斷新函數(shù)的單調(diào)性問題,考查恒成立時求解參數(shù)問題,考查學生的分析問題的能力和計算求解的能力,難度較難.2、B【解析】

利用換元法化簡解析式為二次函數(shù)的形式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍，由此求得的值域.【詳解】因為（），所以，令（），則（），函數(shù)的對稱軸方程為，所以，，所以，所以的值域為.故選：B【點睛】本小題考查函數(shù)的定義域與值域等基礎(chǔ)知識，考查學生分析問題，解決問題的能力，運算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想，換元思想，分類討論和應用意識.3、A【解析】

本道題繪圖發(fā)現(xiàn)三角形周長最小時A,P位于同一水平線上，計算點P的坐標，計算斜率，即可．【詳解】結(jié)合題意，繪制圖像要計算三角形PAF周長最小值，即計算PA+PF最小值，結(jié)合拋物線性質(zhì)可知，PF=PN，所以，故當點P運動到M點處，三角形周長最小，故此時M的坐標為，所以斜率為，故選A．【點睛】本道題考查了拋物線的基本性質(zhì)，難度中等．4、B【解析】函數(shù)（為輔助角）∴函數(shù)的最大值為，最小正周期為故選B5、B【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式，畫出函數(shù)圖像.結(jié)合圖像，分段討論函數(shù)的零點情況：易知為的一個零點；對于當時，由代入解析式解方程可求得零點，結(jié)合即可求得的范圍；對于當時，結(jié)合導函數(shù)，結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可判斷的范圍.綜合后可得的范圍.【詳解】根據(jù)題意，畫出函數(shù)圖像如下圖所示：函數(shù)的零點，即.由圖像可知，，所以是的一個零點，當時，，若，則，即，所以，解得；當時，，則，且若在時有一個零點，則，綜上可得，故選：B.【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的畫法，函數(shù)零點定義及應用，根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，導數(shù)的幾何意義應用，屬于中檔題.6、A【解析】

利用復數(shù)的乘法、除法運算求出，再根據(jù)共軛復數(shù)的概念即可求解.【詳解】由，則，所以.故選：A【點睛】本題考查了復數(shù)的四則運算、共軛復數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

由已知向量的坐標，利用平面向量的夾角公式，直接可求出結(jié)果.【詳解】解：由題意得，設(shè)與的夾角為，，由于向量夾角范圍為：，∴.故選：B.【點睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積求兩向量的夾角，注意向量夾角的范圍.8、C【解析】

根據(jù)圖形，計算出，然后解不等式即可.【詳解】解：，點在直線上，令因為橫軸1代表2019年8月，所以橫軸13代表2020年8月，故選：C【點睛】考查如何確定線性回歸直線中的系數(shù)以及線性回歸方程的實際應用，基礎(chǔ)題.9、D【解析】

根據(jù)雙曲線的一條漸近線方程為，列出方程，求出的值即可.【詳解】∵雙曲線的一條漸近線方程為，可得，∴，∴雙曲線的離心率.故選：D.【點睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】試題分析：集合考點：集合間的關(guān)系11、B【解析】

由已知條件利用誘導公式得，再利用三角函數(shù)的平方關(guān)系和象限角的符號，即可得到答案.【詳解】由題意得，又，所以，結(jié)合解得，所以，故選B.【點睛】本題考查三角函數(shù)的誘導公式、同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角函數(shù)的符號與位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】

根據(jù)題意，，求出，所以，根據(jù)三角函數(shù)圖像平移伸縮，即可求出的取值范圍.【詳解】已知與的圖象有一個橫坐標為的交點，則，，，，，若函數(shù)圖象的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，則，所以當時，，在有且僅有5個零點，，.故選：A.【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象的性質(zhì)、三角函數(shù)的平移伸縮以及零點個數(shù)問題，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.22.【解析】

正態(tài)曲線關(guān)于x＝μ對稱，根據(jù)對稱性以及概率和為1求解即可?！驹斀狻俊军c睛】本題考查正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎(chǔ)題．14、【解析】

基本事件總數(shù)，第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個，由此能求出概率.【詳解】解：從編號為，，，的張卡片中隨機抽取一張，放回后再隨機抽取一張，基本事件總數(shù)，第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字的基本事件有8個，分別為：，，，，，，，.所以第二次抽得的卡片上的數(shù)字能被第一次抽得的卡片上數(shù)字整除的概率為.故答案為.【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、列舉法等基礎(chǔ)知識，屬于基礎(chǔ)題.15、5040.【解析】分兩類，一類是甲乙都參加，另一類是甲乙中選一人，方法數(shù)為。填5040.【點睛】利用排列組合計數(shù)時，關(guān)鍵是正確進行分類和分步，分類時要注意不重不漏.在本題中，甲與乙是兩個特殊元素，對于特殊元素“優(yōu)先法”，所以有了分類。本題還涉及不相鄰問題，采用“插空法”。16、1【解析】

作出約束條件表示的可行域，轉(zhuǎn)化目標函數(shù)為，當目標函數(shù)經(jīng)過點時，直線的截距最大，取得最大值，即得解.【詳解】作出約束條件表示的可行域是以為頂點的三角形及其內(nèi)部，轉(zhuǎn)化目標函數(shù)為當目標函數(shù)經(jīng)過點時，直線的截距最大此時取得最大值1．故答案為：1【點睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，考查了學生轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學運算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）9060元【解析】

(1)根據(jù)古典概型概率公式和組合數(shù)的計算可得所求概率；(2)任選一天，設(shè)該天的經(jīng)濟損失為元，分別求出，，，進而求得數(shù)學期望，據(jù)此得出該企業(yè)一個月經(jīng)濟損失的數(shù)學期望.【詳解】解：（1）設(shè)為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)，則.（2）任選一天，設(shè)該天的經(jīng)濟損失為元，則的可能取值為0，220，1480，，，，所以（元），故該企業(yè)一個月的經(jīng)濟損失的數(shù)學期望為（元）.【點睛】本題考查古典概型概率公式和組合數(shù)的計算及數(shù)學期望，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）（2）【解析】

（1）把代入，利用零點分段討論法求解；（2）對任意成立轉(zhuǎn)化為求的最小值可得.【詳解】解：（1）當時，不等式可化為.討論：①當時，，所以，所以；②當時，，所以，所以；③當時，，所以，所以.綜上，當時，不等式的解集為.（2）因為，所以.又因為，對任意成立，所以，所以或.故實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題主要考查含有絕對值不等式的解法及恒成立問題，恒成立問題一般是轉(zhuǎn)化為最值問題求解，側(cè)重考查數(shù)學建模和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).19、（1）見解析（2）【解析】

（1）由余弦定理及已知等式得出關(guān)系，再由正弦定理可得結(jié)論；（2）由余弦定理和已知條件解得，然后由面積公式計算．【詳解】解：（1）由余弦定理得，由得到，由正弦定理得．因為，，所以．（2）由題意及余弦定理可知，①由得，即，②聯(lián)立①②解得，．所以．【點睛】本題考查利用正余弦定理解三角形．考查三角形面積公式，由已知條件本題主要是應用余弦定理求出邊．解題時要注意對條件的分析，確定選用的公式．20、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）用數(shù)學歸納法證明即可；（2）根據(jù)條件可得，然后將用，，表示出來，根據(jù)是一個整數(shù)，可得結(jié)果．【詳解】解：（1）令，，則即∴，∴成等差數(shù)列，下面用數(shù)學歸納法證明數(shù)列是等差數(shù)列，假設(shè)成等差數(shù)列，其中，公差為，令，，∴，∴，即，∴成等差數(shù)列，∴數(shù)列是等差數(shù)列；（2），，若存在正整數(shù)，使得是整數(shù)，則，設(shè)，，∴是一個整數(shù)，∴，從而又當時，有，綜上，的最小值為．【點睛】本題主要考查由遞推關(guān)系得通項公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列是等差數(shù)列，屬于難題．21、（1）；（2）.【解析】

（1）利用定義法求出函數(shù)在上單調(diào)遞增，由和，求出，求出，運用單調(diào)性求出不等式的解集；（2）由于恒成立，由（1）得出在上單調(diào)遞增，恒成立，設(shè)，利用三角恒等變換化簡，結(jié)合恒成立的條件，構(gòu)造新函數(shù)，利用單調(diào)性和最值，求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又因為和，則，所以得解得，即，故的取值范圍為；（2）由于恒成立，恒成立，設(shè)，則，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，根據(jù)條件，只要，所以.【點睛】本題考查利用定義法求函數(shù)的單調(diào)性和利用單調(diào)性求不等式的解集，考查不等式恒成立問題，還運用降冪公式、兩角和與差的余弦公式、輔助角公式，考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.22、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由等腰梯形的性質(zhì)可證得,由射影可得平面,進而求證；（2）取的中點F,連接,以G為原點,所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直