廣西桂林市十八中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試模擬試題含解析

廣西桂林市十八中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末綜合測試模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線過點且與雙曲線僅有一個公共點，則這樣的直線有（）A.1條 B.2條C.3條 D.4條2．二次方程的兩根為2，，那么關(guān)于的不等式的解集為（）A.或 B.或C. D.3．已知，，若，則實數(shù)的值為（）A. B.C. D.4．某高校甲、乙兩位同學(xué)大學(xué)四年選修課程的考試成績等級（選修課的成績等級分為1，2，3，4，5，共五個等級）的條形圖如圖所示，則甲成績等級的中位數(shù)與乙成績等級的眾數(shù)分別是（）A.3，5 B.3，3C.3.5，5 D.3.5，45．已知雙曲線的右焦點為，以為圓心，以為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點，若(為坐標(biāo)原點)，則雙曲線的離心率為（）.A. B.C. D.6．已知雙曲線的離心率，點是拋物線上的一動點，到雙曲線的上焦點的距離與到直線的距離之和的最小值為，則該雙曲線的方程為A. B.C. D.7．在空間直角坐標(biāo)系下，點關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.8．已知拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則拋物線的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.9．定義域為的函數(shù)滿足，且的導(dǎo)函數(shù)，則滿足的的集合為A. B.C. D.10．在試驗“甲射擊三次，觀察中靶的情況”中，事件A表示隨機事件“至少中靶1次”，事件B表示隨機事件“正好中靶2次”，事件C表示隨機事件“至多中靶2次”，事件D表示隨機事件“全部脫靶”，則（）A.A與C是互斥事件 B.B與C是互斥事件C.A與D是對立事件 D.B與D是對立事件11．在中，B=30°，BC=2，AB=，則邊AC的長等于（）A. B.1C. D.212．若直線與平行，則m的值為（）A.－2 B.－1或－2C.1或－2 D.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在銳角中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，，，則的面積為_________14．正四棱錐底面邊長和高均為分別是其所在棱的中點，則棱臺的體積為___________.15．已知三個數(shù)2，，6成等比數(shù)列，則實數(shù)______16．設(shè)，若直線與直線平行，則的值是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①，②，③，這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題在中，內(nèi)角A，，的對邊分別為，，，且滿足______________（1）求；（2）若的面積為，在邊上，且，求的最小值注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分18．（12分）已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：當(dāng)時，.19．（12分）已知直線，圓.（1）證明：直線l與圓C相交；（2）設(shè)l與C的兩個交點分別為A、B，弦AB的中點為M，求點M的軌跡方程；（3）在（2）的條件下，設(shè)圓C在點A處的切線為，在點B處的切線為，與的交點為Q.試探究：當(dāng)m變化時，點Q是否恒在一條定直線上？若是，請求出這條直線的方程；若不是，說明理由.20．（12分）在一次重大軍事聯(lián)合演習(xí)中，以點為中心的海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒區(qū)域，任何船只不得經(jīng)過該區(qū)域．已知點正北方向海里處有一個雷達觀測站，某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點北偏東，且與點相距海里的位置，經(jīng)過小時又測得該船已行駛到位于點北偏東，且與點相距海里的位置（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）；（2）該船能否不改變方向繼續(xù)直線航行？請說明理由21．（12分）某蓮藕種植塘每年的固定成本是2萬元，每年最大規(guī)模的種植量是8萬千克，每種植1萬千克蓮藕，成本增加0.5萬元.種植萬千克蓮藕的銷售額(單位：萬元)是(是常數(shù))，若種植2萬千克蓮藕，利潤是1.5萬元，求：（1）種植萬千克蓮藕利潤(單位：萬元)為的解析式；（2）要使利潤最大，每年需種植多少萬千克蓮藕，并求出利潤的最大值.22．（10分）已知兩條直線，.設(shè)為實數(shù)，分別根據(jù)下列條件求的值.（1）；（2）直線在軸、軸上截距之和等于.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)直線的斜率存在與不存在，分類討論，結(jié)合雙曲線的漸近線的性質(zhì)，即可求解.【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時，直線過雙曲線的右頂點，方程為，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時，若直線與兩漸近線平行，也能滿足與雙曲線有且僅有一個公共點.綜上可得，滿足條件的直線共有3條.故選：C.【點睛】本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，以及雙曲線的漸近線的性質(zhì)，其中解答中忽視斜率不存在的情況是解答的一個易錯點，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及分類討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】根據(jù)，確定二次函數(shù)的圖象開口方向，再由二次方程的兩根為2，，寫出不等式的解集.【詳解】因為二次方程的兩根為2，，又二次函數(shù)的圖象開口向上，所以不等式的解集為或，故選：B3、A【解析】由，得，從而可得答案.【詳解】解：因為，所以，即，解得.故選：A.4、C【解析】將甲的所有選修課等級從低到高排列可得甲的中位數(shù)，由圖可知乙的選修課等級的眾數(shù).【詳解】由條形圖可得，甲同學(xué)共有10門選修課，將這10門選修課的成績等級從低到高排序后，第5，6門的成績等級分別為3，4，故中位數(shù)為，乙成績等級的眾數(shù)為5.故選：C.5、A【解析】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，為的中點，可得，由，可知為的三等分點，用兩種方式表示，可得關(guān)于的方程組，結(jié)合即可得到雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，為的中點，可得，由到漸近線的距離為，所以，又，所以，因為，所以，整理可得：，即，所以，可得，所以，所以雙曲線的離心率為，故選：A.6、B【解析】先根據(jù)離心率得，再根據(jù)拋物線定義得最小值為（為拋物線焦點），解得，即得結(jié)果.【詳解】因為雙曲線的離心率，所以，設(shè)為拋物線焦點，則，拋物線準(zhǔn)線方程為，因此到雙曲線的上焦點的距離與到直線的距離之和等于，因為，所以，即，即雙曲線的方程為，選B.【點睛】本題考查雙曲線方程、離心率以及拋物線定義，考查基本分析求解能力，屬中檔題.7、C【解析】由空間中關(guān)于坐標(biāo)軸對稱點坐標(biāo)的特征可直接得到結(jié)果.【詳解】關(guān)于軸對稱的點的坐標(biāo)不變，坐標(biāo)變?yōu)橄喾磾?shù)，關(guān)于軸對稱的點為.故選：C.8、C【解析】先求出橢圓的右焦點，從而可求拋物線的準(zhǔn)線方程.【詳解】，橢圓右焦點坐標(biāo)為，故拋物線的準(zhǔn)線方程為，故選：C.【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，一般地，如果拋物線的方程為，則拋物線的焦點的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，本題屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】利用2f(x)<x＋1構(gòu)造函數(shù)g(x)＝2f(x)－x－1，進而可得g′(x)＝2f′(x)－1>0．得出g(x)的單調(diào)性結(jié)合g(1)＝0即可解出【詳解】令g(x)＝2f(x)－x－1.因為f′(x)>，所以g′(x)＝2f′(x)－1>0.所以g(x)單調(diào)增函數(shù)因為f(1)＝1，所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0.所以當(dāng)x<1時，g(x)<0，即2f(x)<x＋1.故選B.【點睛】本題主要考察導(dǎo)數(shù)的運算以及構(gòu)造函數(shù)利用其單調(diào)性解不等式．屬于中檔題10、C【解析】根據(jù)互斥事件、對立事件的定義即可求解.【詳解】解：因為A與C，B與C可能同時發(fā)生，故選項A、B不正確；B與D不可能同時發(fā)生，但B與D不是事件的所有結(jié)果，故選項D不正確；A與D不可能同時發(fā)生，且A與D為事件的所有結(jié)果，故選項C正確故選：C.11、B【解析】利用余弦定理即得【詳解】由余弦定理，得，解得AC=1故選：B.12、C【解析】利用兩直線平行的判定有，即可求參數(shù)值.【詳解】由題設(shè)，，可得或.經(jīng)驗證不重合，滿足題意，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)求出，由向量數(shù)量積得到，使用余弦定理得到方程組，求出，利用面積公式求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，而因為是銳角三角形，所以，所以，所以，因為，所以，即，因為，所以，整理得：①，其中，即，因為，所以，即，解得：②，把②代入①得：，解得：，則的面積為.故答案為：14、【解析】分別計算，，作差得到答案.【詳解】分別是其所在棱的中點，則正四棱錐底面邊長和高均為，，，故.故答案為：.15、【解析】由題意可得，從而可求出的值【詳解】因為三個數(shù)2，，6成等比數(shù)列，所以，解得故答案為：16、【解析】先通過討論分成斜率存在和不存在兩種情況，然后再按照兩直線平行的判定方法求解即可.【詳解】由已知可得，當(dāng)時，兩直線分別為和，此時，兩直線不平行；當(dāng)時，要使得兩直線平行，即，解得，.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、選擇見解析；（1）；（2）【解析】（1）選條件①．利用正弦定理邊角互化，結(jié)合兩角和的正弦公式可得，從而可得答案；選條件②．邊角互化、切化弦，結(jié)合兩角和的正弦公式可得，從而得答案；選條件③．邊角互化，利用余弦定理可得，從而可得答案；（2）由三角形面積公式可得得，再利用余弦定理與基本不等式可得答案.【詳解】（1）方案一：選條件①由可得，由正弦定理得，因為，所以，所以，故，又，于是，即，因為，所以方案二：選條件②因為，所以由正弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，得，即，因為，所以，又，所以，因為，所以方案三：選條件③∵，∴，即，∴，∴又，所以（2）由題意知，得由余弦定理得，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時取等號，所以的最小值為18、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）利用前n項和與的關(guān)系即求；（2）由題知，然后利用裂項相消法即證.【小問1詳解】由，可得，兩式相減可得，當(dāng)時，，滿足，所以.【小問2詳解】∵，因為，所以當(dāng)時，.19、（1）證明見解析；（2）；（3）點Q恒在直線上，理由見解析.【解析】（1）求出直線過定點，得到在圓內(nèi)部，故證明直線l與圓C相交；（2）設(shè)出點，利用垂直得到等量關(guān)系，整理后即為軌跡方程；（3）利用Q、A、B、C四點共圓，得到此圓方程，聯(lián)立，求出相交弦的方程，即直線的方程，根據(jù)直線過的定點，得到，從而得到點Q恒在直線上.【小問1詳解】證明：直線過定點，代入得：，故在圓內(nèi)，故直線l與圓C相交；【小問2詳解】圓的圓心為，設(shè)點，由垂徑定理得：，即，化簡得：，點M的軌跡方程為：【小問3詳解】設(shè)點，由題意得：Q、A、B、C四點共圓，且圓的方程為：，即，與圓C的方程聯(lián)立，消去二次項得：，即為直線的方程，因為直線過定點，所以，解得：，所以當(dāng)m變化時，點Q恒在直線上.【點睛】本題的第三問是稍有難度的，處理方法是根據(jù)四點共圓，直徑的端點坐標(biāo)，求出此圓的方程，與曲線聯(lián)立后得到相交弦的方程，是處理此類問題的關(guān)鍵.20、（1）海里/小時；（2）該船要改變航行方向，理由見解析.【解析】（1）設(shè)一個單位為海里，建立以為坐標(biāo)原點，正東、正北方向分別為、軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系，計算出，即可求得該船的行駛速度；（2）求出直線的方程，計算出點到直線的距離，可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：設(shè)一個單位為海里，建立以為坐標(biāo)原點，正東、正北方向分別為、軸的正方向建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則坐標(biāo)平面中，，且，，則、、，，所以，所以、兩地的距離為海里，所以該船行駛的速度為海里/小時.【小問2詳解】解：直線的斜率為，所以直線的方程為，即，所以點到直線的距離為，所以直線會與以為圓心，以個單位長為半徑的圓相交，因此該船要改變航行方向，否則會進入警戒區(qū)域21、（1），；（2）6萬千克，萬元.【解析】(1)根據(jù)題意找等量關(guān)系即可求g(x)解析式，根據(jù)函數(shù)值可求a；(2)根據(jù)g(x)導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性并求其最大值即可.【小問1詳解】種植萬千克蓮藕的利潤(單位：萬元