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3.1勾股定理【推本溯源】1.如圖,若將每個(gè)小正方形的面積看作1,以B′C′為邊的正方形的面積是9,以A′C′為邊的正方形的面積是16,那以A′B′的面積為多少呢?2.如圖一,使用的方法是?如圖二,使用的方法是?圖二圖一 圖一圖二圖一3.上圖求完后,可以發(fā)現(xiàn)三個(gè)正方形的面積關(guān)系是?而由于正方形的面積公式為邊長(zhǎng)2,所以可以得出2+2=2。因此,直角三角形的斜邊、直角邊有如下關(guān)系:直角三角形兩個(gè)的平方和等于的平方,這個(gè)定理稱為。也稱為。在古代我們把較短的直角邊稱為“”,較長(zhǎng)的直角邊稱為“”,斜邊稱為“”。因此有了的結(jié)論。幾何語(yǔ)言:注:在使用勾股定理的時(shí)候,可以靈活運(yùn)用公式,,,4.勾股定理的證明圖一:將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖(1)所示的正方形.證明: 證明名稱:圖二:將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖(2)所示的正方形.證明:.證明名稱:圖三:如圖(3)所示,將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.證明:.證明名稱:圖四:如圖(4)所示證明:證明名稱:(4)(4)例1:在中,,,的對(duì)邊分別是,,,若,則(

)A. B. C. D.例2:如圖,是一張直角三角形的紙片,,,,將沿折疊,使點(diǎn)點(diǎn)重合,則的長(zhǎng)為(

A. B. C. D.例3:若直角三角形中,斜邊的長(zhǎng)為13,一條直角邊長(zhǎng)為5,則這個(gè)三角形的面積是(

)A.30 B.60 C. D.40例4:“趙爽弦圖”巧妙地利用而積關(guān)系證明了勾股定理,如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形,設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為.較短直角邊長(zhǎng)為,若,,則小正方形的面積是______________.例5:勾股定理神秘而美妙,它的證法多樣,其巧妙各有不同,其中的“面積法”給了小聰以靈感,他驚喜的發(fā)現(xiàn),當(dāng)兩個(gè)全等的直角三角形如圖1或圖2擺放時(shí),都可以用“面積法”來(lái)證明,下面是小聰利用圖1證明勾股定理的過(guò)程:將兩個(gè)全等的直角三角形按圖1所示擺放,其中,求證:

證明:連接,過(guò)點(diǎn)D作邊上的高,則,∵,,∴∴.請(qǐng)參照上述證法,利用圖2完成下面的證明.將兩個(gè)全等的直角三角形按圖2所示擺放,其中.求證:.【摩拳擦掌】1.(2023·貴州貴陽(yáng)·校考一模)如圖,在中,,,,分別以點(diǎn),為圓心,,為半徑畫弧,兩弧交于一點(diǎn),連接交于點(diǎn),則的長(zhǎng)為(

A. B. C. D.2.(2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市虹橋初級(jí)中學(xué)校??计谥校┲苯侨切蔚膬蓷l直角邊分別為和,則斜邊中線長(zhǎng)為(

)A. B. C. D.3.(2023春·廣東惠州·八年級(jí)??计谥校摆w爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理,是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖所示的“趙爽弦圖”由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如果大正方形的面積是5,小正方形的面積是1,直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別是a、,則的值為()A.16 B.9 C.4 D.34.(2023春·廣東佛山·八年級(jí)??计谥校┤鐖D,在中,,斜邊的垂直平分線l交于點(diǎn)D,連接.若,則的周長(zhǎng)為(

A.18 B.17 C. D.115.(2023春·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校??计谥校┤鐖D,有一塊直角三角形紙片,,,,將斜邊翻折,使點(diǎn)落在直角邊的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)處,折痕為,則的長(zhǎng)為_________.

6.(2023·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考三模)如圖,圖中所有四邊形都是正方形,三角形是直角三角形,若正方形,的面積分別為10,18,則正方形的面積是________.7.(2023春·湖北黃岡·八年級(jí)統(tǒng)考期中)某醫(yī)院入口的正上方A處裝有紅外線激光測(cè)溫儀(如圖所示),測(cè)溫儀離地面的距離米,當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)范圍內(nèi)時(shí),測(cè)溫儀就會(huì)自動(dòng)測(cè)溫并報(bào)告人體體溫.當(dāng)身高米的市民正對(duì)門緩慢走到離門米的感應(yīng)器地方時(shí)(即米),則人頭頂離測(cè)溫儀的距離等于________米.8.(2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校??寄M預(yù)測(cè))如圖,一張直角三角形紙片ABC中,,將它沿折痕折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,則___________.

9.(2023春·廣東云浮·八年級(jí)校考期中)如圖,在中,,,,于.求:(1)的長(zhǎng)和的面積;(2)的長(zhǎng).10.(2023春·安徽亳州·八年級(jí)??茧A段練習(xí))如圖,正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).(1)在圖中以格點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)面積為10的正方形.(2)把所作正方形分割成趙爽弦圖.11.(2023春·廣東佛山·八年級(jí)??计谥校┤鐖D,中,,,.

(1)用直尺和圓規(guī)作的垂直平分線;(保留作圖痕跡,不要求寫作法)(2)若(1)中所作的垂直平分線交于點(diǎn)D,求的長(zhǎng).12.(2023春·湖南郴州·八年級(jí)??计谥校┤鐖D,在中,,,,求BC邊上的高AD的長(zhǎng).

【知不足】1.(2023春·湖北省直轄縣級(jí)單位·八年級(jí)??茧A段練習(xí))如圖,,與按如圖方式拼接在一起,,,,則的值為(

)

A. B. C. D.2.(2023春·廣東潮州·九年級(jí)潮州市金山實(shí)驗(yàn)學(xué)校??计谀┪覈?guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽巧妙地用“弦圖”證明了勾股定理,標(biāo)志著中國(guó)古代的數(shù)學(xué)成就.如圖所示的“弦圖”,是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.直角三角形的斜邊長(zhǎng)為13,一條直角邊長(zhǎng)為12,則小正方形的面積的大小為(

A.144 B.100 C.49 D.253.(2023秋·河北石家莊·八年級(jí)??计谀┤鐖D,為修通鐵路需鑿?fù)ㄋ淼?,測(cè)得,,,,若每天開鑿隧道,則需要______天才能把隧道鑿?fù)ǎ?.(2023秋·河北石家莊·八年級(jí)??计谀┤鐖D,長(zhǎng)方形中,,,,則______.

5.(2023秋·河北石家莊·八年級(jí)??计谀┤鐖D,在中,,的平分線交于點(diǎn)D,若厘米,厘米,則點(diǎn)D到直線的距離是______厘米.

6.(2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題(A卷))如圖,是矩形的外接圓,若,則圖中陰影部分的面積為___________.(結(jié)果保留)

7.(2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題)如圖,中,,以點(diǎn)B為圓心,適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧,分別交于點(diǎn)M、N,再分別以點(diǎn)M、N為圓心,大于的長(zhǎng)為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)E,作射線交于點(diǎn)D,則線段的長(zhǎng)為________.8.(2023春·安徽六安·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))如圖所示,與都是等腰直角三角形,,點(diǎn)為邊上的一點(diǎn).(1)求證:;(2)若,,求的長(zhǎng)度.9.(2023春·福建廈門·八年級(jí)廈門市檳榔中學(xué)??计谥校┪覈?guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“勾股圓方圖”是由四個(gè)全等的直角三角形(如圖1)與中間的一個(gè)小正方形拼成一個(gè)大正方形(如圖2).(1)利用圖2正方形面積的等量關(guān)系得出直角三角形勾股的定理,該定理的結(jié)論用字母表示:;(2)用圖1這樣的兩個(gè)直角三角形構(gòu)造圖3的圖形,滿足,,,,求證(1)中的定理結(jié)論;(3)如圖,由四個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形,設(shè),,求正方形BDFA的面積.(用m,n表示)10.(2023春·湖北武漢·八年級(jí)統(tǒng)考開學(xué)考試)問題呈現(xiàn):通過(guò)整式乘法的學(xué)習(xí),我們進(jìn)一步了解了利用圖形面積來(lái)說(shuō)明法則、公式等的正確性的方法,例如利用圖甲可以給予解釋的一個(gè)公式為___.問題解決:圖乙中的是一個(gè)直角三角形,,人們很早就發(fā)現(xiàn)將圖乙的直角三角形拼成圖丙的正方形,會(huì)發(fā)現(xiàn)并找到a、b、c一個(gè)確定的數(shù)量關(guān)系,請(qǐng)你找到這個(gè)關(guān)系,并說(shuō)明理由.

拓展應(yīng)用:根據(jù)問題解決,下列幾何圖形中,可以正確的解釋“問題解決”中直角三角形三邊a、b、c這一關(guān)系的圖有___(先將圖序號(hào)填在橫線上,然后選一種序號(hào)圖說(shuō)明理由)

【一覽眾山小】1.(2023春·廣東韶關(guān)·八年級(jí)??计谥校┤鐖D,在中,,,點(diǎn)D為斜邊上的一點(diǎn),連接,將沿翻折,使點(diǎn)B落在點(diǎn)E處,點(diǎn)F為直角邊上一點(diǎn),連接,將沿翻折,點(diǎn)A恰好與點(diǎn)E重合.若,則的長(zhǎng)為(

).A.1 B. C. D.2.(2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))如圖,中,,點(diǎn)為各內(nèi)角平分線的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作的垂線,垂足為,若,,則的長(zhǎng)為(

)A. B. C. D.3.(2023·廣東佛山·統(tǒng)考三模)如圖,在Rt中,的垂直平分線分別交于兩點(diǎn),則的周長(zhǎng)等于()A.12 B.14 C.16 D.174.(2023春·廣東河源·八年級(jí)??奸_學(xué)考試)如圖,中,,,,是內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足,則線段長(zhǎng)的最小值為____.5.(2023春·新疆阿勒泰·八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖,等腰三角形的底邊長(zhǎng)為10,腰的長(zhǎng)為13,腰的垂直平分線分別交,邊于E,F(xiàn)點(diǎn).若點(diǎn)D為邊的中點(diǎn),點(diǎn)M為線段上一動(dòng)點(diǎn),則△CDM周長(zhǎng)的最小值為______.

6.(2023春·廣東珠?!ぐ四昙?jí)珠海市第九中學(xué)校考期中)如圖,一束光線從點(diǎn)出發(fā),經(jīng)過(guò)軸上的點(diǎn)反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn),則光線從點(diǎn)到點(diǎn)經(jīng)過(guò)路線長(zhǎng)是________.

7.(2023春·廣東梅州·七年級(jí)校考階段練習(xí))問題情境:把四個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c的直角三角形拼成如圖的兩個(gè)正方形和,設(shè)每個(gè)直角三角形的面積為,小正方形的面積為,大正方形的面積為S.(1)嘗試解決:請(qǐng)你寫出、,S之間存在的關(guān)系;(2)根據(jù)三角形和正方形的面積公式,試用含a,b,c的關(guān)系式表示、和S;(3)合作探究:綜合(1),(2)可得一個(gè)等式,對(duì)這個(gè)等式進(jìn)行化簡(jiǎn)可以證明勾股定理,請(qǐng)你寫出這個(gè)等式,并寫出化簡(jiǎn)過(guò)程;(4)若,,你能求出的值嗎?試試看.8.(2023春·廣東梅州·七年級(jí)??茧A段練習(xí))已知,如圖,中,,,,以斜邊為底邊作等腰三角形,腰剛好滿足,并作腰上的高.

(1)求證:;(2)求等腰三角形的腰長(zhǎng).9.(2023春·廣東惠州·八年級(jí)校考期中)如圖,在中,,,,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線以的速度移動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.

(1)用含t的代數(shù)式表示①當(dāng)點(diǎn)P在線段上時(shí),________.②當(dāng)點(diǎn)P在線段的延長(zhǎng)線上時(shí),________.(2)當(dāng)為直角三角形時(shí),求t的值;10.(2023春·廣東梅州·九年級(jí)??奸_學(xué)考試)如圖,在四邊形中,是對(duì)角線,將點(diǎn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn),連接.(1)求的度數(shù);(2)若是等邊三角形,且,求的長(zhǎng).11.(2023·安徽·統(tǒng)考中考真題)如圖,在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中,點(diǎn)均為格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn)).

(1)畫出線段關(guān)于直線對(duì)稱的線段;(2)將線段向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到線段,畫出線段;(3)描出線段上的點(diǎn)及直線上的點(diǎn),使得直線垂直平分.12.(2023·廣東東莞·東莞市厚街海月學(xué)校??寄M預(yù)測(cè))我們給出如下定義:若一個(gè)四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對(duì)角線的平方,則稱這個(gè)四邊形為“勾股四邊形”,這兩條相鄰的邊稱為這個(gè)四邊形的勾股邊,如圖,在四邊形中,,,.

(1)求的度數(shù).(2)判斷四邊形是

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