第十六章 二次根式（5類壓軸題專練）

第十六章二次根式（5類壓軸題專練）壓軸題型一分母有理化1．（2022秋·八年級單元測試）已知，那么滿足上述條件的整數(shù)的個數(shù)是（）.A．4 B．5 C．6 D．72．（2021·湖北·統(tǒng)考中考真題）“分母有理化”是我們常用的一種化簡的方法，如：，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無理數(shù)，如：對于，設，易知，故，由，解得，即．根據(jù)以上方法，化簡后的結果為（）A． B． C． D．3．（2023秋·全國·八年級專題練習）下列計算或判斷：（1）±3是27的立方根；（2）=a；（3）的平方根是2；（4）=±8；（5）=，其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個4．（2023春·重慶江津·八年級統(tǒng)考期末）在學習二次根式中有這樣的情形．如，它們的積是有理數(shù)，我們說這兩個二次根式互為有理化因式，在進行二次根式計算時利用有理化因式可以去掉根號，令（n為非負數(shù)），則；．下列選項中正確的有（）個．①若a是的小數(shù)部分，則的值為；②若（其中b、c為有理數(shù)），則；③．A．0 B．1 C．2 D．35．（2023秋·湖南常德·八年級統(tǒng)考期末）觀察下列分母有理，……從計算結果中找出規(guī)律________．6．（2022春·湖南長沙·八年級校聯(lián)考階段練習）滿足不等式的整數(shù)的個數(shù)是_______．7．（2021·全國·九年級專題練習）化簡＝__．8．（2022秋·八年級課時練習）已知，a是x的整數(shù)部分，b是x的小數(shù)部分，則a-b=_______9．（2021春·廣東惠州·八年級?？计谥校╅喿x下列材料，然后回答問題．①在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如一樣的式子，可以將其進一步化簡：以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．②學習數(shù)學，最重要的是學習數(shù)學思想，其中一種數(shù)學思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算．(1)計算：．(2)已知m是正整數(shù)，，，，求m．(3)已知，則的值為?10．（2023春·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）閱讀與思考請你閱讀下列材料，并完成相應的任務．裂項法，是數(shù)學中求和的一種方法，是分解與組合思想在求和中的具體應用．具體方法是將求和中的每一項進行分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的．我們以往的學習中已經接觸過分數(shù)裂項求和．例如：．在學習完二次根式后我們又掌握了一種根式裂項．例如：，．(1)模仿材料中的計算方法，化簡：______．(2)觀察上面的計算過程，直接寫出式子______．(3)利用根式裂項求解：．壓軸題型二二次根式的化簡求值1．（2023秋·全國·八年級專題練習）若和都是正整數(shù)且，和是可以合并的二次根式，下列結論中正確的個數(shù)為（）①只存在一組和使得；②只存在兩組和使得；③不存在和使得；④若只存在三組和使得，則的值為49或64A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023春·八年級單元測試）已知，則的值為（）A．0 B．1 C． D．3．（2020秋·湖北武漢·九年級華師一附中初中部?？计谥校┮阎獂＝，則x6﹣2x5﹣x4＋x3﹣2x2＋2x﹣的值為（）A．0 B．1 C． D．4．（2023春·全國·八年級專題練習）當時，的值為（）A．1 B． C．2 D．35．（2023春·黑龍江綏化·八年級?？茧A段練習）設，則_____．6．（2023秋·全國·八年級專題練習）a，b為有理數(shù)，且，則___________．7．（2023春·北京東城·八年級匯文中學校考期中）已知為實數(shù)，記，（1）當時，的值為______．（2）的最小值為______．8．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）設，，當t為___________時，代數(shù)式．9．（2023春·河南周口·八年級統(tǒng)考期末）計算：(1)(2)10．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在第一階段質量監(jiān)測的選擇題中，我們發(fā)現(xiàn)在三邊長分別為，，（）的三角形中，有．(1)推導該結論的一種思路可以用如下的框圖表示，請?zhí)顚懫渲械目崭瘢?/p>

(2)推導該結論的其他思路還有：①利用，，，再配方，……②利用，使用平方差公式，……．③利用，……上述思路都不完整，請寫出一種完整的推導思路．壓軸題型三二次根式的混合計算1．（2023春·山東德州·八年級?？茧A段練習）若，，則a與b的大小關系是（）A．a>b B．a<b C．a=b D．不能確定2．（2023秋·全國·八年級專題練習）與最接近的整數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．63．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）關于代數(shù)式，有以下幾種說法，①當時，則的值為-4.②若值為2，則.③若，則存在最小值且最小值為0.在上述說法中正確的是（）A．① B．①② C．①③ D．①②③4．（2021·八年級單元測試）已知，是大于1的自然數(shù)，那么的值是（）.A． B． C． D．5．（2023秋·全國·八年級專題練習）若的積是有理數(shù)，則無理數(shù)m的值為_________．6．（2023秋·全國·八年級專題練習）已知，則的值為_____．7．（2023春·八年級單元測試）已知，則的值為___________．8．（2023春·北京·八年級?？茧A段練習）已知，且，則______．9．（2023春·黑龍江綏化·八年級?？计谥校┯嬎?1)；(2)（）．10．（2023秋·全國·八年級專題練習）閱讀下列材料，然后回答問題．①在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．②學習數(shù)學，最重要的是學習數(shù)學思想，其中一種數(shù)學思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算，比如我們熟悉的下面這個題：已知ab2，ab3，求．我們可以把ab和ab看成是一個整體，令xab，yab，則．這樣，我們不用求出a，b，就可以得到最后的結果．(1)計算：；(2)m是正整數(shù)，a，b且．求m．(3)已知，求的值．壓軸題型四幾何圖形中的二次根式的計算1．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，是正內一點，，，，將線段以點為旋轉中心逆時針旋轉得到線段，下列結論：①可以由繞點逆時針旋轉得到；②點與的距離為4；③；④；⑤．其中正確的結論是（）．A．①②③④ B．①② C．①②③⑤ D．①②③④⑤2．（2023春·全國·八年級專題練習）《周髀算經》中有一種幾何方法可以用來解形如x(x+5)=24的方程的正數(shù)解，方法為：如圖，將四個長為x+5，寬為x的長方形紙片（面積均為24）拼成一個大正方形，于是大正方形的面積為：24×4+25=121，邊長為11，故得x(x+5)=24的正數(shù)解為x==3．小明按此方法解關于x的方程x2+mx－n=0時，構造出同樣的圖形．已知大正方形的面積為12，小正方形的面積為4，則方程的正數(shù)解為（）A．－1 B．+1 C． D．－13．（2023春·全國·八年級專題練習）《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門.出東門一十五里有木.問出南門幾何步而見木？”其算法為：東門南到城角的步數(shù)，乘南門東到城角的步數(shù)，乘積作被除數(shù)，以樹距離東門的步數(shù)作除數(shù)，被除數(shù)除以除數(shù)得結果，即出南門里見到樹，則．若一小城，如圖所示，出東門1200步有樹，出南門750步能見到此樹，則該小城周長的最小值為（）（注：1里=300步，且兩個正數(shù)的和大于等于其積開方的兩倍，當兩數(shù)相等時取等號）．A．里 B．里 C．里 D．里4．（2021春·遼寧朝陽·八年級統(tǒng)考期中）《九章算術》中的“方田章”論述了三角形面積的求法：“圭田術曰，半廣以乘正廣”，就是說：“三角形的面積＝底×高÷2”，我國著名的數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中也提出了“三斜求積術”，即可以利用三角形的三條邊長來求取三角形面積，用現(xiàn)代式子可表示為：S＝（其中a、b、c為三角形的三條邊長，S為三角形的面積）．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝，AD＝，對角線BD＝，則平行四邊形ABCD的面積為（）A． B． C． D．5．（2023春·八年級單元測試）把四張形狀大小完全相同寬為的小長方形卡片（如圖①）不重疊地放在一個底面為長方形（長為，寬為）的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，則圖②中兩塊陰影部分的周長和是_________．6．（2022春·河北石家莊·八年級?？茧A段練習）下圖是由一連串直角三角形組成的，其中，第1個三角形的面積記為，第2個三角形的面積記為，…，第個三角形的面積記為，觀察圖形，得到如下各式：，；，；，；…根據(jù)以上的規(guī)律，推算出______；若一個三角形的面積是，則它是第______個三角形．7．（2022春·黑龍江佳木斯·七年級樺南縣第四中學校聯(lián)考階段練習）有若干個面積為2的正方形，根據(jù)下列拼圖的啟示填空：(1)計算：＋＝3；(2)計算：＋＝6；(3)計算：＋＝___.8．（2022秋·吉林長春·九年級?？茧A段練習）把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片（如圖①）不重疊地放在底面為長方形（長為，寬為）的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．則圖中兩塊陰影部分的周長和是________．

9．（2023春·陜西安康·八年級統(tǒng)考階段練習）某居民小區(qū)有塊形狀為長方形ABCD的綠地，長BC為米，寬AB為米，現(xiàn)要在長方形綠地中修建兩個形狀大小相同的長方形花壇（即圖中陰影部分），每個長方形花壇的長為米，寬為米．(1)求長方形的周長；（結果化為最簡二次根式）(2)除去修建花壇的地方，其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價為6元/平方米的地磚，要鋪完整個通道，則購買地磚需要花費多少元？10．（2023春·江西上饒·八年級統(tǒng)考期中）閱讀材料：我們已經學習了實數(shù)以及二次根式的有關概念，同學們可以發(fā)現(xiàn)以下結果：當時，，當，即時，的最小值為2．請利用以上結果解決下面的問題：(1)當時，的最小值為______；當時，的最大值為______；(2)當時，求的最小值；(3)如圖，已知四邊形的對角線、交于點，若的面積為1，的面積為4，求四邊形面積的最小值．

壓軸題型五二次根式的數(shù)字規(guī)律問題1．（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考二模）人們把這個數(shù)叫做黃金比，優(yōu)選法中的“法”與黃金分割緊密相關，這種方法經著名數(shù)學家華羅庚的倡導在我國得到大規(guī)模推廣，取得了很大的成果．設，，記，，，…依此規(guī)律，則的值為（）A． B．25 C． D．1252．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按圖中數(shù)陣的排列規(guī)律，第行從左至右第個數(shù)是（）A． B． C． D．3．（2023春·山東德州·八年級?？茧A段練習）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：，……，按照上述規(guī)律，計算：（）A． B． C．9 D．84．（2023春·全國·八年級專題練習）觀察下列各式：，，，…請利用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計算，其結果為()A． B． C． D．5．（2023春·甘肅隴南·八年級校考階段練習）觀察下列各式：①，②，③，…，根據(jù)以上規(guī)律，第n個等式應為：______．6．（2023春·內蒙古鄂爾多斯·七年級校聯(lián)考階段練習）觀察下列式子：；；；；…；請用字母表示其中的規(guī)律______．7．（2023春·廣西南寧·八年級統(tǒng)考期中）觀察下列各式：當時，，當時，，當時，，根據(jù)以上規(guī)律，寫出當時的等式是______．8．（2023春·河北石家莊·八年級統(tǒng)考期中）觀察下列各式：；；．（1）請你根據(jù)上面三個等式提供的信息，可以猜想：＝____________________；（2）利用上述規(guī)律計算：＝____________________．（直接寫出答案）9．（2023春·山東臨沂·八年級?？茧A段練習）閱讀下列解題過程：，，請回答下列問題：(1)觀察上面的解答過程，化簡：；(2)請你用含n（n為正整數(shù)）的關系式表示上述各式子的變形規(guī)律；(3)利用上面的解法，請化簡：．10．（2023春·河南許昌·八年級統(tǒng)考期中）閱讀材料：像，，，……，這種兩個含二次根式的代數(shù)式相乘，積不含二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式．例如：與，與，與等都是互為有理化因式，在進行二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號．例如：；．解答下列問題：(1)與______互為有理化因式，將分母有理化得______，將分母有理化得______．(2)觀察下面的變形規(guī)律并解決問題．①，，，…，若n為正整數(shù)，請你猜想：_____．②計算：．

第十六章二次根式（5類壓軸題專練）答案全解全析壓軸題型一分母有理化1．（2022秋·八年級單元測試）已知，那么滿足上述條件的整數(shù)的個數(shù)是（）.A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】利用分母有理化進行計算即可.【詳解】由原式得：所以，因為，,所以.故選C【點睛】此題考查解一元一次不等式的整數(shù)解，解題關鍵在于分母有理化.2．（2019·湖北·統(tǒng)考中考真題）“分母有理化”是我們常用的一種化簡的方法，如：，除此之外，我們也可以用平方之后再開方的方式來化簡一些有特點的無理數(shù)，如：對于，設，易知，故，由，解得，即．根據(jù)以上方法，化簡后的結果為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題中給的方法分別對和進行化簡，然后再進行合并即可.【詳解】設，且，∴，∴，∴，∴，∵，∴原式，故選D．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，涉及了分母有理化等方法，弄清題意，理解和掌握題中介紹的方法是解題的關鍵.3．（2023秋·全國·八年級專題練習）下列計算或判斷：（1）±3是27的立方根；（2）=a；（3）的平方根是2；（4）=±8；（5）=，其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【詳解】根據(jù)立方根的意義，可知27的立方根是3，故（1）不正確；正確，故（2）正確；由=8，可知其平方根為±，故（3）不正確；根據(jù)算術平方根的意義，可知，故（4）不正確；根據(jù)分母有理化的意義，可知，故（5）正確.故選B.4．（2023春·重慶江津·八年級統(tǒng)考期末）在學習二次根式中有這樣的情形．如，它們的積是有理數(shù)，我們說這兩個二次根式互為有理化因式，在進行二次根式計算時利用有理化因式可以去掉根號，令（n為非負數(shù)），則；．下列選項中正確的有（）個．①若a是的小數(shù)部分，則的值為；②若（其中b、c為有理數(shù)），則；③．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】由，可得，則，再根據(jù)分母有理化即可判斷①；由可得，以此得到方程組，求解即可判斷②；證明，再對原式裂項即可判斷③．【詳解】解：由題意得：，∵，是的小數(shù)部分，∴，則，故①正確；∵，∴，即∴，即，∵b、c為有理數(shù)∴，解得，∴，故②正確；∵，∴，故③正確，故正確的有①②③，共3個，故選：D．【點睛】本題主要考查二次根式的混合運算、分母有理化、平方差公式的應用、等式的性質，靈活利用題干所給方法進行解決問題是解題關鍵．5．（2023秋·湖南常德·八年級統(tǒng)考期末）觀察下列分母有理，……從計算結果中找出規(guī)律________．【答案】2022【分析】先分母有理化，然后合并同類二次根式，最后用平方差公式計算．【詳解】解：原式．故答案為：2022．【點睛】本題主要考查了規(guī)律型問題——二次根式的混合運算．熟練掌握分母有理化，探究規(guī)律，合并同類二次根式，平方差公式，二次根式的乘法法則是解決問題的關鍵．6．（2022春·湖南長沙·八年級校聯(lián)考階段練習）滿足不等式的整數(shù)的個數(shù)是_______．【答案】4【分析】先將前后二次根式化為最簡二次根式，再進行估值，根據(jù)估值確定m的個數(shù)．【詳解】解：，，∵，∴，∵，，∴，故1.6與5.24之間的整數(shù)有4個，故答案為：4．【點睛】本題考查二次根式的化簡以及二次根式的估值，能熟練化簡二次根是式解決本題的關鍵．7．（2021·全國·九年級專題練習）化簡＝__．【答案】【分析】先利用完全平方公式得到4﹣2＝（﹣1）2，則原式可化為簡為，再利用2+＝，則原式可化簡為，然后就計算二次根式的除法運算．【詳解】解：∵4﹣2＝（﹣1）2，∴＝，∵2+＝＝，∴原式＝＝＝．故答案為．【知識點】本題考查了分母有理化、二次根式的混合運算，適當?shù)陌延嘘P式子變成完全平方的形式是解題關鍵．8．（2022秋·八年級課時練習）已知，a是x的整數(shù)部分，b是x的小數(shù)部分，則a-b=_______【答案】【分析】先把x分母有理化求出x=，求出a、b的值，再代入求出結果即可．【詳解】∵∴∴∴【點睛】本題考查了分母有理化和估算無理數(shù)的大小的應用，解此題的關鍵是求a、b的值．9．（2021春·廣東惠州·八年級?？计谥校╅喿x下列材料，然后回答問題．①在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如一樣的式子，可以將其進一步化簡：以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．②學習數(shù)學，最重要的是學習數(shù)學思想，其中一種數(shù)學思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算．(1)計算：．(2)已知m是正整數(shù)，，，，求m．(3)已知，則的值為?【答案】(1)(2)504(3)9【分析】（1）將各部分分子變?yōu)?，再根據(jù)分母有理化去分母后可相互消掉可得結果；（2）、互為倒數(shù)，分母有理化后可得的值，代入所求式子即可；（3）設，，則，利用已知等式導出，根據(jù)完全平方公式計算出即為所求．【詳解】（1）解：；（2），，，，，，，，；（3）設，，則，，，，，，，．（舍去），．【點睛】本題考查了分母有理化的技巧，利用完全平方公式和平方差公式設未知數(shù)整體代入是常用的方法．10．（2023春·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）閱讀與思考請你閱讀下列材料，并完成相應的任務．裂項法，是數(shù)學中求和的一種方法，是分解與組合思想在求和中的具體應用．具體方法是將求和中的每一項進行分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的．我們以往的學習中已經接觸過分數(shù)裂項求和．例如：．在學習完二次根式后我們又掌握了一種根式裂項．例如：，．(1)模仿材料中的計算方法，化簡：______．(2)觀察上面的計算過程，直接寫出式子______．(3)利用根式裂項求解：．【答案】(1)(2)(3)2022【分析】（1）根據(jù)材料，對二次根式分母有理化，進行化簡即可；（2）根據(jù)題中材料進行總結，即可得出答案；（3）對式子中各項二次根式進行分母有理化，裂項求和進行計算即可．【詳解】（1）解：；故答案為：．（2）解：；故答案為：．（3）解：原式．故答案為：2022．【點睛】本題考查二次根式裂項求解，解題關鍵是熟練進行二次根式分母有理化的化簡．壓軸題型二二次根式的化簡求值1．（2023秋·全國·八年級專題練習）若和都是正整數(shù)且，和是可以合并的二次根式，下列結論中正確的個數(shù)為（）①只存在一組和使得；②只存在兩組和使得；③不存在和使得；④若只存在三組和使得，則的值為49或64A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】直接利用同類二次根式的定義得出和是同類二次根式，進而得出答案．【詳解】解：①和都是正整數(shù)且，和可以合并的二次根式，，，當時，故該選項①正確；②，當，則當則．故選項②正確；③，當時，，所以不存在，故該選項③正確；④，，當時，，，，有無數(shù)和滿足等式，故該選項④錯誤．故選：C．【點睛】本題考查的是同類二次根式，熟知同類二次根式的定義及合并方法是解答此題的關鍵．2．（2023春·八年級單元測試）已知，則的值為（）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】由的值進行化簡到=，再求得，把式子兩邊平方，整理得到，再把兩邊平方，再整理得到，原式可變形為，利用整體代入即可求得答案．【詳解】解∵==∴∴整理得∴∵∴整理得∴∴∴=====故選：C【點睛】本題考查了二次根式的化簡，乘法公式，提公因式法因式分解等知識，關鍵在于熟練掌握相關運算法則和整體代入的方法．3．（2020秋·湖北武漢·九年級華師一附中初中部?？计谥校┮阎獂＝，則x6﹣2x5﹣x4＋x3﹣2x2＋2x﹣的值為（）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】對已知進行變形，再代入所求式子，反復代入即可．【詳解】，，，，，，，，，故選：C【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡求值，對所求式子進行變形，反復代入x的值即可解決．4．（2023春·全國·八年級專題練習）當時，的值為（）A．1 B． C．2 D．3【答案】A【分析】根據(jù)分式的運算法則以及二次根式的性質即可求出答案．【詳解】解：原式=將代入得，原式.故選：A.【點睛】本題考查分式的運算以及二次根式的性質，解題的關鍵是熟練運用分式的運算法則以及觀察出分母可以開根號，本題屬于較難題型．5．（2023春·黑龍江綏化·八年級?？茧A段練習）設，則_____．【答案】【分析】利用和，推得，借助該式將多項式進行降冪化簡，即可求解．【詳解】解：∵，∴，又∵，即，整理得，，將代入原式可得．故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，完全平方公式，解題的關鍵是通過完全平方公式得到，借助該式將原多項式進行降冪化簡．6．（2023秋·全國·八年級專題練習）a，b為有理數(shù)，且，則___________．【答案】2【分析】先根據(jù)完全平方公式進行變形計算，即，且a，b為有理數(shù)，求出，進而得到．【詳解】解：a，b為有理數(shù)故答案為：2．【點睛】本題主要考查了完全平方公式與二次根式的化簡，關鍵在于完全平方公式的變形．7．（2023春·北京東城·八年級匯文中學校考期中）已知為實數(shù)，記，（1）當時，的值為______．（2）的最小值為______．【答案】【分析】（1）將時，代入進行計算即可得到答案；（2）將式子化為，設，，，，在直角坐標系中畫出圖，根據(jù)最短路徑模型，作對稱點即可得到答案．【詳解】解：（1）當時，，故答案為：；（2），設，，，，根據(jù)題意畫出圖如圖所示：

，作關于軸的對稱點，作點關于軸的對稱點，連接與軸交于點，與軸交于點，即為所求，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡求值，最短路徑問題，熟練掌握二次根式的化簡方法以及最短路徑問題的模型，是解題的關鍵．8．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）設，，當t為___________時，代數(shù)式．【答案】2【分析】根據(jù)x，y的表達式，可以觀察出，，再將改寫為含有與的形式，代入解出t即可．【詳解】，，，解得（舍去），．故答案為：2【點睛】本題考查乘法公式的運用，熟練掌握乘法公式并能將二次三項式改寫為含有與的形式，是本題的解題關鍵．9．（2023春·河南周口·八年級統(tǒng)考期末）計算：(1)(2)【答案】(1)(2)16【分析】（1）先把二次根式化成最簡二次根式，再合并同類二次根式，即可得解；（2）先計算平方差公式和二次根式的乘法，再計算加減法，即可解答．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題主要考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算順序和運算法則，二次根式的化簡，是解決問題的關鍵．10．（2023·江蘇南京·統(tǒng)考二模）在第一階段質量監(jiān)測的選擇題中，我們發(fā)現(xiàn)在三邊長分別為，，（）的三角形中，有．(1)推導該結論的一種思路可以用如下的框圖表示，請?zhí)顚懫渲械目崭瘢?/p>

(2)推導該結論的其他思路還有：①利用，，，再配方，……②利用，使用平方差公式，……．③利用，……上述思路都不完整，請寫出一種完整的推導思路．【答案】(1)①，②，③，④，⑤(2)見解析【分析】（1）根據(jù)完全平方公式即可得出①；根據(jù)二次根式的性質，即可得出②；根據(jù)不等式的性質，即可得出③；根據(jù)三角形三邊之間的關系，即可得出④；根據(jù)不等式的性質即可得出⑤；（2）根據(jù)題目所給思路，進行推理論證即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，根據(jù)三角形三邊之間的關系可得：，∴，∴，即；（2）解：①∵，，∴，即，∴，∵，∴，∴，∴，則；②∵，∴，則，，∵，∴，則，∴將左邊除以，右邊除以得：，即；③∵，∴，則，∴，∴，∴，即；【點睛】本題主要考查了二次根式，三角三邊之間的關系，完全平方公式，平方差公式等，解題的關鍵是熟練掌握相關內容，并靈活運用在代數(shù)推理中．壓軸題型三二次根式的混合計算1．（2023春·山東德州·八年級?？茧A段練習）若，，則a與b的大小關系是（）A．a>b B．a<b C．a=b D．不能確定【答案】B【分析】先利用二次根式的混合運算化簡a和b，再根據(jù)二次根式的估算比較即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，，∴，故選：B．【點睛】本題主要考查了二次根式的估算以及二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的混合運算法則是解題的關鍵．2．（2023秋·全國·八年級專題練習）與最接近的整數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】把原式去括號后根據(jù)算術平方根的性質求解．【詳解】解：原式=，∵49<54<64，∴，∵，∴，∴最接近7，∴最接近7-3即4，故選：B．【點睛】本題考查二次根式的應用，熟練掌握二次根式的混合運算法則和算術平方根的性質是解題關鍵．3．（2023·全國·九年級假期作業(yè)）關于代數(shù)式，有以下幾種說法，①當時，則的值為-4.②若值為2，則.③若，則存在最小值且最小值為0.在上述說法中正確的是（）A．① B．①② C．①③ D．①②③【答案】C【分析】①將代入計算驗證即可；②根據(jù)題意=2，解得a的值即可作出判斷；③若a＞-2，則a+2＞0，則對配方，利用偶次方的非負性可得答案．【詳解】解：①當時，．故①正確；②若值為2，則，∴a2+2a+1=2a+4，∴a2=3，∴．故②錯誤；③若a＞-2，則a+2＞0，∴===≥0．∴若a＞-2，則存在最小值且最小值為0．故③正確．綜上，正確的有①③．故選：C．【點睛】本題考查了分式的加減法、分式的值的計算及最值問題等知識點，熟練運用相關公式及運算法則是解題的關鍵．4．（2019·八年級單元測試）已知，是大于1的自然數(shù)，那么的值是（）.A． B． C． D．【答案】C【分析】令，得到，，，進而得到的值，代入即可得到結論．【詳解】令，從而，，，∴=，∴原式=．故選C．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算．熟練掌握二次根式混合運算法則是解答本題的關鍵．5．（2023秋·全國·八年級專題練習）若的積是有理數(shù)，則無理數(shù)m的值為_________．【答案】（答案不唯一）【分析】對進行化簡，由題意令，（是有理數(shù)）即可求解．【詳解】解：的積是有理數(shù)，m是無理數(shù)，是有理數(shù)，令，（是有理數(shù)）解得：，當即，時，故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題考查了二次根式混合運算，有理數(shù)的性質；解題的關鍵是熟練掌握二次根式的混合運算法則即有理數(shù)的性質．6．（2023秋·全國·八年級專題練習）已知，則的值為_____．【答案】/【分析】先利用二次根式有意義求得與的值，然后把與的值代入變形后的代數(shù)式求值即可．【詳解】解：∵，∴，解得，∴，∴．故答案為：【點睛】本題考查了代數(shù)式的化簡求值，二次根式有意義的條件的應用是解題的關鍵．7．（2023春·八年級單元測試）已知，則的值為___________．【答案】【分析】先對已知條件進行化簡，再依次代入所求的式子進行運算即可．【詳解】解：∵，∴，∴故答案為：【點睛】本題考查了二次根式的化簡求值，解題的關鍵是逐步把代入所求式子進行化簡求值．8．（2023春·北京·八年級?？茧A段練習）已知，且，則______．【答案】．【分析】利用題目給的求出，再把它們相乘得到，再對原式進行變形湊出的形式進行計算．【詳解】∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴原式．故答案是：．【點睛】本題考查二次根式的運算和乘法公式的應用，解題的關鍵是熟練運用乘法公式對式子進行巧妙運算．9．（2023春·黑龍江綏化·八年級?？计谥校┯嬎?1)；(2)（）．【答案】(1)(2)【分析】（1）先將除法轉化為乘法計算，然后利用乘法的分配率分別相乘，根據(jù)二次根式、分式的運算法則計算即可；（2）先對括號內分別通分計算加減法，將除法轉化為乘法計算，根據(jù)二次根式、分式的運算法則計算即可．【詳解】（1）解：＝＝－＋．（2）解：＝·．【點睛】本題考查了二次根式、分式的混合運算，掌握運算法則、準確熟練地進行計算是解題的關鍵．10．（2023秋·全國·八年級專題練習）閱讀下列材料，然后回答問題．①在進行二次根式的化簡與運算時，我們有時會碰上如一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．②學習數(shù)學，最重要的是學習數(shù)學思想，其中一種數(shù)學思想叫做換元的思想，它可以簡化我們的計算，比如我們熟悉的下面這個題：已知ab2，ab3，求．我們可以把ab和ab看成是一個整體，令xab，yab，則．這樣，我們不用求出a，b，就可以得到最后的結果．(1)計算：；(2)m是正整數(shù)，a，b且．求m．(3)已知，求的值．【答案】(1)(2)m=2(3)【分析】（1）由題目所給出的規(guī)律進行計算即可；（2）先求出再由進行變形再求值即可；（3）先得到，然后可得，最后由，求出結果【詳解】（1）原式，（2）∵a，b，∴，∵，∴，∴，∴，∴2，∵m是正整數(shù)，∴m=2．（3）由得出，∴，∵，∵，∴．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進行二次根式的乘除運算，再合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．壓軸題型四幾何圖形中的二次根式的計算1．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，是正內一點，，，，將線段以點為旋轉中心逆時針旋轉得到線段，下列結論：①可以由繞點逆時針旋轉得到；②點與的距離為4；③；④；⑤．其中正確的結論是（）．A．①②③④ B．①② C．①②③⑤ D．①②③④⑤【答案】C【分析】證明，又，所以可以由繞點B逆時針旋轉得到，故結論①符合題意；由是等邊三角形，可知結論②符合題意；在中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，故是直角三角形；進而求得，故結論③符合題意；由，故結論④不符合題意；如圖②，將繞點A逆時針旋轉，使得與重合，點O旋轉至點．利用旋轉變換構造等邊三角形與直角三角形，將轉化為，計算可得結論⑤符合題意．【詳解】解：如圖所示：∵為正三角形，，，∵線段以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段，，，，，又，，，又，可以由繞點B逆時針旋轉60°得到，故結論①符合題意；連接，，，是等邊三角形，，故結論②符合題意；，，在中，，，，是直角三角形，，，故結論③符合題意；四邊形的面積，過點O作，是等邊三角形，，，，，∴四邊形的面積，故結論④不符合題意；如圖所示：將繞點A逆時針旋轉，使得AB與AC重合，點O旋轉至，連接，，，是等邊三角形，，，，是直角三角形，且，同結論④證明過程可得：，，，故結論⑤符合題意；綜上所述：結論①②③⑤正確．故選C．【點睛】本題考查了圖形旋轉的性質，等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，勾股定理的逆定理，三角形面積，面積的割補法，二次根式的化簡，綜合掌握以上知識點并靈活運用是解題的關鍵．2．（2023春·全國·八年級專題練習）《周髀算經》中有一種幾何方法可以用來解形如x(x+5)=24的方程的正數(shù)解，方法為：如圖，將四個長為x+5，寬為x的長方形紙片（面積均為24）拼成一個大正方形，于是大正方形的面積為：24×4+25=121，邊長為11，故得x(x+5)=24的正數(shù)解為x==3．小明按此方法解關于x的方程x2+mx－n=0時，構造出同樣的圖形．已知大正方形的面積為12，小正方形的面積為4，則方程的正數(shù)解為（）A．－1 B．+1 C． D．－1【答案】A【分析】把方程變形得到x(x+m)=n，設圖中長方形長為x+m，寬為x，則圖中小正方形的邊長為x+m－x=m=2，大正方形的邊長為x+m+x=2x+m=2，然后進行計算即可．【詳解】解：∵x2+mx－n=0，∴x(x+m)=n，∴長方形的長為x+m，寬為x，∴小正方形的邊長為x+m－x=m=2，大正方形的邊長為x+m+x=2x+m=2，∴x=－1，∴方程的正數(shù)解為－1，故選A．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，解決此題的關鍵是能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．3．（2023春·全國·八年級專題練習）《九章算術》是中國傳統(tǒng)數(shù)學最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學的基本框架，其中卷第九勾股中記載：“今有邑，東西七里，南北九里，各中開門.出東門一十五里有木.問出南門幾何步而見木？”其算法為：東門南到城角的步數(shù)，乘南門東到城角的步數(shù)，乘積作被除數(shù)，以樹距離東門的步數(shù)作除數(shù)，被除數(shù)除以除數(shù)得結果，即出南門里見到樹，則．若一小城，如圖所示，出東門1200步有樹，出南門750步能見到此樹，則該小城周長的最小值為（）（注：1里=300步，且兩個正數(shù)的和大于等于其積開方的兩倍，當兩數(shù)相等時取等號）．A．里 B．里 C．里 D．里【答案】D【分析】根據(jù)題意得出，進而可得出EF?GF＝AG?BE＝10，結合基本不等式求4（EF+GF）的最小值即可．【詳解】因為1里=300步，則由圖知步=4里，步=2.5里，由題意，得，則，所以該小城的周長為，當且僅當時等號成立．故選D【點睛】本題考查基本不等式的實際應用，考查數(shù)學運算和直觀想象的能力，屬于中檔題．4．（2021春·遼寧朝陽·八年級統(tǒng)考期中）《九章算術》中的“方田章”論述了三角形面積的求法：“圭田術曰，半廣以乘正廣”，就是說：“三角形的面積＝底×高÷2”，我國著名的數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中也提出了“三斜求積術”，即可以利用三角形的三條邊長來求取三角形面積，用現(xiàn)代式子可表示為：S＝（其中a、b、c為三角形的三條邊長，S為三角形的面積）．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝，AD＝，對角線BD＝，則平行四邊形ABCD的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件的公式計算即可；【詳解】根據(jù)題意可知：a＝，b＝，c＝，∴S＝，＝，，，，∴，∴；故選：B．【點睛】本題主要考查了二次根式的應用，準確分析計算是解題的關鍵．5．（2023春·八年級單元測試）把四張形狀大小完全相同寬為的小長方形卡片（如圖①）不重疊地放在一個底面為長方形（長為，寬為）的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示，則圖②中兩塊陰影部分的周長和是_________．【答案】16cm【分析】根據(jù)題意分別列出關系式，得出關于圖②中兩塊陰影部分的長和寬，再利用周長公式時行計算，去括號合并即可得到結果．【詳解】解：設小長方形卡片的長為xcm，小長方形卡片的寬為，根據(jù)題意得：x＝－2，則圖②中兩塊陰影部分的長分別為：－2和2，寬分別為：2和4－x＝6－，∴圖②中兩塊陰影部分的周長和是：2（－2＋2）＋2（2＋6－）＝2＋16－2＝16（cm）．故答案為：16cm．【點睛】本題主要考查了二次根式的應用，在解題時要根據(jù)題意結合圖形得出兩塊陰影部分的長和寬是解題的關鍵．6．（2022春·河北石家莊·八年級?？茧A段練習）下圖是由一連串直角三角形組成的，其中，第1個三角形的面積記為，第2個三角形的面積記為，…，第個三角形的面積記為，觀察圖形，得到如下各式：，；，；，；…根據(jù)以上的規(guī)律，推算出______；若一個三角形的面積是，則它是第______個三角形．【答案】20【分析】①根據(jù)題中給出的規(guī)律即可得出結論；②若一個三角形的面積是，利用前面公式可以得到它是第幾個三角形；【詳解】解：①根據(jù)題意，∵OAn2=n，∴OA10=．故答案為：；②若一個三角形的面積是，∵Sn=，∴，∴它是第20個三角形．故答案為：20．【點睛】本題考查了二次根式的應用，圖形的變化規(guī)律，解題的關鍵是熟練掌握題意，正確找出圖形的變化規(guī)律進行解題．7．（2022春·黑龍江佳木斯·七年級樺南縣第四中學校聯(lián)考階段練習）有若干個面積為2的正方形，根據(jù)下列拼圖的啟示填空：(1)計算：＋＝3；(2)計算：＋＝6；(3)計算：＋＝___.【答案】12【分析】（1）根據(jù)圖形可得＋為三個小正方形的邊長．（2）＋=兩個小正方形的邊長+4個小正方形的邊長．所以（3）是4個小正方形的邊長+8個小正方形的邊長．【詳解】解：由圖形可得：＋＝12【點睛】本題考查二次根式的加減運算，注意理解圖形的含義．8．（2022秋·吉林長春·九年級?？茧A段練習）把四張形狀大小完全相同的小長方形卡片（如圖①）不重疊地放在底面為長方形（長為，寬為）的盒子底部（如圖②），盒子底面未被卡片覆蓋的部分用陰影表示．則圖中兩塊陰影部分的周長和是________．

【答案】【分析】根據(jù)題意，設小長方形長為，寬為，則由盒子底部大長方形長為，寬為，可得大陰影部分長為，寬為；小陰影部分長為，寬為；；從而列式求兩塊陰影部分的周長和即可得到答案．【詳解】解：設小長方形長為，寬為，盒子底部大長方形長為，寬為，大陰影部分長為，寬為；小陰影部分長為，寬為；且；兩塊陰影部分的周長和，將代入上式，原式，故答案為：．【點睛】本題考查整式的加減的應用，讀懂題意，設未知數(shù)表示出圖形中相關線段長是解決問題的關鍵．9．（2023春·陜西安康·八年級統(tǒng)考階段練習）某居民小區(qū)有塊形狀為長方形ABCD的綠地，長BC為米，寬AB為米，現(xiàn)要在長方形綠地中修建兩個形狀大小相同的長方形花壇（即圖中陰影部分），每個長方形花壇的長為米，寬為米．(1)求長方形的周長；（結果化為最簡二次根式）(2)除去修建花壇的地方，其它地方全修建成通道，通道上要鋪上造價為6元/平方米的地磚，要鋪完整個通道，則購買地磚需要花費多少元？【答案】(1)長方形的周長為米(2)購買地磚需要花費元【分析】（1）根據(jù)長方形的周長公式進行計算即可求解；（2）先求得長方形的面積，根據(jù)面積乘以6即可求解．【詳解】（1）解：

（米）．答：長方形的周長為米．（2）（平方米）．（元）．答：購買地磚需要花費元．【點睛】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的運算法則是解題的關鍵．10．（2023春·江西上饒·八年級統(tǒng)考期中）閱讀材料：我們已經學習了實數(shù)以及二次根式的有關概念，同學們可以發(fā)現(xiàn)以下結果：當時，，當，即時，的最小值為2．請利用以上結果解決下面的問題：(1)當時，的最小值為______；當時，的最大值為______；(2)當時，求的最小值；(3)如圖，已知四邊形的對角線、交于點，若的面積為1，的面積為4，求四邊形面積的最小值．

【答案】(1)4；(2)(3)【分析】（1）當時，由，可得的最小值，當時，由，可得的最大值；（2）由，結合（1）的結論可得答案；（3）設的面積為，可得四邊形的面積，再結合（1）的結論可得答案．【詳解】（1）解：當時，，當即時，的最小值為4；當時，，，，當即時，的最大值為；（2）而，由（1）可知的最小值為4的最小值是．（3）設的面積為，，即，．四邊形的面積，由（1）可知的最小值為4的最小值是．四邊形面積最小為9．【點睛】本題考查的是完全平方公式的應用，二次根式的性質，理解閱讀部分的信息并靈活運用是解本題的關鍵．壓軸題型五二次根式的數(shù)字規(guī)律問題1．（2023·貴州六盤水·統(tǒng)考二模）人們把這個數(shù)叫做黃金比，優(yōu)選法中的“法”與黃金分割緊密相關，這種方法經著名數(shù)學家華羅庚的倡導在我國得到大規(guī)模推廣，取得了很大的成果．設，，記，，，…依此規(guī)律，則的值為（）A． B．25 C． D．125【答案】D【分析】利用分式的加減法則以及二次根式的混合運算法則求得、，以及，代入求解即可．【詳解】解：∵，，∴，∵，，，…，，故選：D．【點睛】本題考查了分式的加減法，二次根式的混合運算，解題的關鍵是找出相應的規(guī)律．2．（2023·上?！ぐ四昙壖倨谧鳂I(yè)）如圖，是按一定規(guī)律排成的三角形數(shù)陣，按圖中數(shù)陣的排列規(guī)律，第行從左至右第個數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】找到數(shù)的排列規(guī)律：行數(shù)與該行數(shù)的個數(shù)相同，且所有數(shù)是從1開始的自然數(shù)的算術平方根，如果n是奇數(shù)，則符號為負，如果n是偶數(shù)則符號為正（第1個數(shù)除外），根據(jù)此規(guī)律可求得結果．【詳解】解：由題意得，行數(shù)與該行數(shù)的個數(shù)相同，且所有數(shù)是從1開始的自然數(shù)的算術平方根，如果n是奇數(shù)，則符號為負，如果n是偶數(shù)則符號為正（第1個數(shù)除外），第1行到第9行共有：個數(shù)，即第9行最后一個數(shù)為，因此第11行從開始，則此行第5個數(shù)為；故選：B．【點睛】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，化簡二次根式，找出規(guī)律是本題的關鍵．3．（2023春·山東德州·八年級?？茧A段練習）觀察下列等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：，……，按照上述規(guī)律，計算：（）A． B． C．9 D．8【答案】C【分析】首先根據(jù)題意，得出一般規(guī)律，代入數(shù)字相加即可得解．【詳解】解：第個等式：，