第十七章 一元二次方程（10類題型突破）

第十七章一元二次方程（10類題型突破）題型一一元二次方程的定義、一般形式1．（2023秋·湖北孝感·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）下列是一元二次方程的是（）A． B．C． D．2．（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）把一元二次方程化成一般形式，正確的是（）A． B．C． D．3．（2023秋·安徽六安·九年級?？茧A段練習(xí)）將方程化為一般形式后為（）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．（2023秋·江蘇無錫·九年級宜興市樹人中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A． B．C． D．2．（2023春·八年級課時練習(xí)）若關(guān)于的方程是一元二次方程，則________．3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知關(guān)于y的一元二次方程，求出它各項的系數(shù)，并指出參數(shù)m的取值范圍．題型二一元二次方程的解1．（2023秋·廣東深圳·九年級?？茧A段練習(xí)）已知m是方程的一個根，則的值為（）A．2020 B．2021 C．2022 D．20232．（2023秋·福建福州·九年級福州華倫中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若是方程的一個解，則的值是（）A．1 B．0 C．0或1 D．0或3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如果a是一元二次方程的根，則代數(shù)式的值為（）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024鞏固訓(xùn)練1．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）關(guān)于x的兩個一元二次方程和，其中a，b，c是常數(shù)，且，如果是方程的一個根，那么下列各數(shù)中，一定是方程的根的是（）A． B．或2023 C． D．或2．（2023秋·廣東汕頭·九年級校考階段練習(xí)）若是方程的解，則代數(shù)式的值為________．3．（2023秋·江西宜春·九年級?？茧A段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中m是方程的根．題型三一元二次方程的四大解法1．（2023秋·河南信陽·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)；(2)；(3)；(4)．2．（2023秋·河南鄭州·九年級河南省實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)；(2)；(3)；(4)．3．（2023秋·河南信陽·九年級?？茧A段練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)(2)(3)(4)鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·江蘇無錫·九年級無錫市東林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解下列方程：(1)(2)(3)(4)2．（2023秋·遼寧沈陽·九年級沈陽市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)(2)(3)(4)．3．（2023秋·四川宜賓·九年級校考階段練習(xí)）解方程(1)(2)(3)（用配方法）(4)題型四換元法解一元二次方程1．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知一元二次方程的兩根分別為，則方程的兩根分別為（）A． B．C． D．2．（2023秋·湖南邵陽·九年級?？茧A段練習(xí)）若，則的值為（）A．2或 B．或6 C．6 D．23．（2023春·山東淄博·八年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的方程的兩個根分別為，，則方程的兩個根分別為（

）A．， B．，C．， D．，,鞏固訓(xùn)練1．（2023春·安徽宣城·八年級校考期中）已知a、b為實數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值為（）A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．52．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如果關(guān)于的方程的解是，，那么關(guān)于的方程的解是_____．3．（2023秋·四川內(nèi)江·九年級校考階段練習(xí)）閱讀下列材料：問題：已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解法一：解方程得：，．∵所求方程的根分別是已知方程根的2倍，∴所求方程的兩根為：，，∴所求方程為：．故所求方程為：．解法二：設(shè)所求方程的根為，則，所以．把代入已知方程得：化簡，得，故所求方程為：．請你從閱讀材料中選擇一種方法解決下列問題：(1)已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為：____________________；(2)已知關(guān)于的一元二次方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)；(3)已知關(guān)于的一元二次方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．題型五配方法的應(yīng)用1．（2023秋·湖北襄陽·九年級?？茧A段練習(xí)）對于任意實數(shù)x，多項式的值是一個（）A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．非負(fù)數(shù) D．不能確定正負(fù)的數(shù)2．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）對于多項式，由于，所以有最小值3．已知關(guān)于x的多項式的最大值為10，則m的值為（）A．1 B． C． D．3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）新定義：關(guān)于的一元二次方程與稱為“同族二次方程”．如與是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于的一元二次方程與是“同族二次方程”，那么代數(shù)式能取的最小值是（）A．2013 B．2014 C．2015 D．2016鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·浙江嘉興·九年級?？奸_學(xué)考試）代數(shù)式的可能取值為（）A．5 B．6 C．7 D．82．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實根，且這兩根之差的絕對值為6，那么的值為__________．3．（2023秋·山西忻州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).如果關(guān)于的一元二次方程有一個根是1，那么我們稱這個方程為“方正方程”.(1)判斷一元二次方程是否為“方正方程”，請說明理由.(2)已知關(guān)于的一元二次方程是“方正方程”，求的最小值.題型六一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1．（2023秋·湖北襄陽·九年級?？茧A段練習(xí)）已知一元二次方程的兩根為，，則（）A． B． C．7 D．252．（2023秋·湖北襄陽·九年級?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，滿足則（）A．和2 B．2 C． D．1和23．（2023秋·廣東惠州·九年級惠州一中校考階段練習(xí)）若，是方程的兩個實數(shù)根，則的值是（）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·福建泉州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知、是方程的兩個根，則（）A． B． C． D．2．（2023秋·湖南常德·九年級?？茧A段練習(xí)）已知方程的兩個根為和，則=_______．3．（2023秋·廣東佛山·九年級?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：材料1：若關(guān)于的一元二次方程的兩個根為，；則，；材料2：已知一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，求的值．解：一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，；，；則．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：(1)材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則______，______；(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程的兩根分別為、，求的值．題型七根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況1．（2023秋·湖北恩施·九年級?？茧A段練習(xí)）下列關(guān)于的一元二次方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的方程是(

)A． B．C． D．2．（2023秋·四川宜賓·九年級?？茧A段練習(xí)）設(shè)關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根為、，現(xiàn)給出三個結(jié)論：①；

②；

③．則正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．無法確定3．（2023秋·福建三明·九年級校考階段練習(xí)）對于一元二次方程，有下列說法錯誤的是（）A．若方程有兩個不相等的實根，則方程必有實根；B．若，則方程一定有兩個實數(shù)根，并且這兩個根互為相反數(shù)；C．若，則方程一定有實數(shù)根；D．若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·山東濟(jì)寧·九年級?？茧A段練習(xí)）已知一元二次方程中，下列說法：①若，則；②若方程兩根為和2，則；③若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；④若，則方程有兩個不相等的實根．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2023秋·山東棗莊·九年級滕州育才中學(xué)校考開學(xué)考試）已知關(guān)于一元二次方程，有下列說法：①若則；②若方程兩根為1和2，則；③若方程有兩個不相等的實根，則方程必有實根；④若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根．其中正確的是______．（填寫序號）3．（2023秋·福建廈門·九年級廈門市蓮花中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無論a為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程兩實數(shù)根分別為和，且滿足，求a的值．題型八根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)1．（2023秋·河北保定·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如果關(guān)于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，那么k的最小整數(shù)值是（）A．0 B．1 C．2 D．32．（2023秋·貴州畢節(jié)·九年級?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式組有且只有4個整數(shù)解，且關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則所有滿足條件的整數(shù)的和為（

）A．3 B．5 C．9 D．103．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A． B．且 C．且 D．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·福建泉州·八年級?？计谀┤絷P(guān)于x的方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A． B． C．且 D．2．（2023秋·遼寧沈陽·九年級沈陽市實驗學(xué)校校考階段練習(xí)）若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為______．3．（2023秋·湖北孝感·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）關(guān)于一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)若方程兩實數(shù)根，滿足，求k的值．題型九一元二次方程的應(yīng)用11．（2023秋·遼寧本溪·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，某建筑工程隊在工地一邊靠墻處，用81米長的鐵柵欄圍成三個相連的長方形倉庫，倉庫總面積為440平方米.為了方便取物，在各個倉庫之間留出了1米寬的缺口作通道，在平行于墻的一邊留下一個1米寬的缺口作小門.若設(shè)米，則可列方程（）

A． B．C． D．2．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1275年提出的一個問題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．”意思是：長方形的面積是864平方步，寬比長少12步，問寬和長各是幾步．設(shè)寬為x步，根據(jù)題意列方程正確的是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·湖北武漢·九年級武漢一初慧泉中學(xué)校考階段練習(xí)）李師傅去年開了一家商店，今年1月份開始盈利，2月份盈利2000元，4月份的盈利達(dá)到2880元，且從2月到4月，若每月盈利的平均增長率都相同．那么按照這個平均增長率，預(yù)計五月份這家商店的盈利將達(dá)到（）元．A．3320 B．3440 C．3450 D．3456鞏固訓(xùn)練1．（2022秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級統(tǒng)考期末）春節(jié)快到了，為增進(jìn)友誼，老師要求班上每一名同學(xué)要給同組的其他同學(xué)寫一份新春的祝福，小靜同學(xué)所在的小組共寫了42份祝福，該小組共有（）A．4人 B．5人 C．6人 D．7人2．（2023秋·福建福州·九年級校考階段練習(xí)）受新冠肺炎疫情影響，某企業(yè)生產(chǎn)總值從元月的720萬元，連接兩個月降至500萬元，設(shè)平均每月降低率為x，則可列方程________．3．（2022秋·四川成都·九年級?？计谥校┠持穆糜纬鞘?016年“十一”黃金周期間，接待游客近1000萬人次，2018年“十一”黃金周期間，接待游客已達(dá)1690萬人次．(1)求出2016年至2018年十一長假期間游客人次的年平均增長率；(2)該市一家特色小面店希望在長假期間獲得較好的收益，經(jīng)測算知，該小面的成本價為每碗6元，借鑒以往經(jīng)驗：若每碗賣25元，平均每天將銷售300碗，若價格每降低1元，則平均每天多銷售30碗．若規(guī)定每碗售價不得超過20元，則當(dāng)每碗售價定為多少元時，店家能實現(xiàn)每天盈利6300元？題型十一元二次方程的應(yīng)用21．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在中，，，，點P從點A開始沿邊向點B以的速度移動，點Q從點B開始沿向點C以的速度移動，當(dāng)點Q到達(dá)點C時，P，Q均停止運動，若的面積等于，則運動時間為（）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒2．（2023秋·陜西西安·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點M從點A出發(fā)沿邊向點B以的速度移動，點N從點B出發(fā)沿邊向點C以的速度移動．當(dāng)一個點先到達(dá)終點時，另一個點也停止運動，當(dāng)?shù)拿娣e為時，點M，N的運動時間為()A． B． C． D．3．（2023春·浙江·八年級專題練習(xí)）如圖，在等腰中，，，動點P從點A出發(fā)沿向點B移動，作，，當(dāng)?shù)拿娣e為面積的一半時，點P移動的路程為（）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2022秋·山東德州·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，cm，cm．現(xiàn)有動點從點出發(fā)，沿向點方向運動，動點從頂點出發(fā)，沿線段向點方向運動，如果點的速度是2cm/s，點的速度是1cm/s，它們同時出發(fā)，當(dāng)有一點到達(dá)所在線段的端點時，就停止運動，當(dāng)，兩點運動秒時，的面積等于5cm2．A．1 B．3 C．3或5 D．1或52（2023春·八年級單元測試）如圖，在中，，，，動點由點出發(fā)沿方向向點勻速移動，速度為，動點由點出發(fā)沿方向向點勻速移動，速度為．動點，同時從，兩點出發(fā)，當(dāng)?shù)拿娣e為時，動點，的運動時間為________．3．（2023秋·江西宜春·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，動點從點開始沿邊向點以的速度移動，動點從點開始沿邊向點以的速度移動，如果，兩點分別從，兩點同時出發(fā)，設(shè)運動時間為．

(1)用含的式子表示：_______，_________，_________；(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時，求運動時間；(3)四邊形的面積能否等于？若能，求出運動的時間；若不能，說明理由．

第十七章一元二次方程（10類題型突破）答案全解全析題型一一元二次方程的定義、一般形式1．（2023秋·湖北孝感·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）下列是一元二次方程的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，即可求解．一元二次方程定義，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)項的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．【詳解】解：A、，化簡得，不含二次項，不是一元二次方程，故該選項不正確，不符合題意；B、，是一元二次方程，故該選項正確，符合題意；

C、，含有2個未知數(shù)，不是一元二次方程，故該選項不正確，不符合題意；

D、，不是整式方程，故該選項不正確，不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·河北唐山·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）把一元二次方程化成一般形式，正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】運用整式乘法展開，化成的形式．【詳解】，，故選：C【點睛】本題考查一元二次方程的變形，掌握整式運算及等式性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·安徽六安·九年級校考階段練習(xí)）將方程化為一般形式后為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先去括號，再移項，合并同類項，把方程互為一般形式即可．【詳解】解：，∴，∴，故選C【點睛】本題考查的是一元二次方程的一般形式，掌握方程是一元二次方程的一般形式是解本題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練：1．（2023秋·江蘇無錫·九年級宜興市樹人中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）下列方程是關(guān)于x的一元二次方程的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】含有個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程，叫做一元二次方程；或能化為（）的整式方程是一元二次程；據(jù)此進(jìn)行逐一判斷，即可求解．【詳解】解：A.含有兩個未知數(shù)、，不是一元二次方程，故不符合題意；B.是分式方程，不是一元二次方程，故不符合題意；C.符合一元二次方程的定義，故符合題意；D.時，不是一元二次方程，故不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，理解定義是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·八年級課時練習(xí)）若關(guān)于的方程是一元二次方程，則________．【答案】-1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義得出k?1≠0且|k|＋1＝2，再求出k即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的方程是一元二次方程，∴k?1≠0且|k|＋1＝2，解得：k＝?1，故答案為：?1．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元一次方程的定義是解此題的關(guān)鍵，只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二次方程．3．（2023·江蘇·九年級假期作業(yè)）已知關(guān)于y的一元二次方程，求出它各項的系數(shù)，并指出參數(shù)m的取值范圍．【答案】二次項系數(shù)是：，一次項系數(shù)是：，常數(shù)項是：；參數(shù)m的取值范圍是【分析】先將原方程化為一般式，再回答各項系數(shù)，根據(jù)“二次項系數(shù)不為零”可以求m的取值范圍．【詳解】解：將原方程整理為一般形式，得：，由于已知條件已指出它是一個一元二次方程，所以存在一個隱含條件，即．可知它的各項系數(shù)分別是二次項系數(shù)是：，一次項系數(shù)是：，常數(shù)項是：．參數(shù)m的取值范圍是．【點睛】本題考查一元二次方程的一般式和系數(shù)、二次項系數(shù)不為零，掌握化一般式的方法是解題的關(guān)鍵．注意：在含參數(shù)的方程中，要認(rèn)定哪個字母表示未知數(shù)，哪個字母是參數(shù)，才能正確處理有關(guān)的問題．題型二一元二次方程的解1．（2023秋·廣東深圳·九年級?？茧A段練習(xí)）已知m是方程的一個根，則的值為（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】D【分析】把m代入方程整理得，再把所求整式變形后整體代入求值即可．【詳解】解：∵m是方程的一個根，∴，∴，∴．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的根，整體代入求值，把根代入方程進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·福建福州·九年級福州華倫中學(xué)校考階段練習(xí)）若是方程的一個解，則的值是（）A．1 B．0 C．0或1 D．0或【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，將代入已知方程，即可求得的值．【詳解】解：是方程的一個解，滿足方程，，即．故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程的解的定義．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如果a是一元二次方程的根，則代數(shù)式的值為（）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】B【分析】根據(jù)方程根的定義得到，則，整體代入代數(shù)式即可得到答案．【詳解】解：∵a是一元二次方程的根，∴，∴∴，∴，故選：B．【點睛】此題考查了一元二次方程根的定義、代數(shù)式的求值等知識，根據(jù)一元二次方程根的定義得到是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測）關(guān)于x的兩個一元二次方程和，其中a，b，c是常數(shù)，且，如果是方程的一個根，那么下列各數(shù)中，一定是方程的根的是（）A． B．或2023 C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義以及一元二次方程的解法即可求出答案．【詳解】解：，，，，，，，，是方程的一個根，是方程的一個根，，，是方程的一個根，當(dāng)時方程，即是方程的一個根，故選：D．【點睛】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的定義以及方程的解的概念，本題屬于中等題型．2．（2023秋·廣東汕頭·九年級?？茧A段練習(xí)）若是方程的解，則代數(shù)式的值為________．【答案】2025【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到，再把表示為，然后整體代入計算即可得到答案．【詳解】解：是方程的解，，，，故答案為：2025．【點睛】本題考查了一元二次方程的解與代數(shù)式求值，根據(jù)一元二次方程的解的定義得到是解此題的關(guān)鍵，注意采用整體代入的思想進(jìn)行計算．3．（2023秋·江西宜春·九年級?？茧A段練習(xí)）先化簡，再求值：，其中m是方程的根．【答案】；【分析】根據(jù)分式的混合運算法則把原式化簡，再根據(jù)一元二次方程解的定義，得出，再整體代入計算，即可得解．【詳解】解：，∵m是方程的根，∴，即；【點睛】本題考查了分式的化簡求值、一元二次方程的解，熟練掌握分式的混合運算法則是解題關(guān)鍵．注意整體代入思想的運用．題型三一元二次方程的四大解法1．（2023秋·河南信陽·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)；(3)(4)【分析】（1）直接開方法解方程；（2）因式分解法解方程；（3）配方法解方程；（4）因式分解法解方程．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴；（2）解：∴，∴，∴或，∴；（3）解：∴，∴，∴，∴，∴；（4），∴，∴，∴，∴或，∴．【點睛】本題考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是選擇合適的方法解一元二次方程．2．（2023秋·河南鄭州·九年級河南省實驗中學(xué)校考階段練習(xí)）解方程：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，(2)，(3)方程無實數(shù)根(4)，【分析】（1）先移項，再用直接開平方法求解即可；（2）先移項，再兩邊同時加上4，用配方法求解即可；（3）用公式法求解即可；（4）將右邊進(jìn)行因式分解，再用因式分解法求解即可．【詳解】（1）解：，，，，；（2）解：，，，，，；（3）解：，，，∴原方程沒有實數(shù)根；（4）解：，，，，，，；【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解一元二次的方法和步驟．3．（2023秋·河南信陽·九年級?？茧A段練習(xí)）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)(2)(3)(4)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）利用配方法解方程即可；（2）利用因式分解法解方程即可；（3）利用配方法解方程即可；（4）利用因式分解法解方程即可．【詳解】（1）解：，移項得，，配方得，，開平方得，，∴，；（2）解：移項得，，分解因式得，，∴或，∴，；（3）解：整理得，，配方得，，開平方得，，∴，；（4）解：分解因式得，，即，∴或，∴，．【點睛】本題考查解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·江蘇無錫·九年級無錫市東林中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解下列方程：(1)(2)(3)(4)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）用直接開平方法解方程即可；（2）用因式分解法解方程即可；（3）用因式分解法解方程即可；（4）用公式法解方程即可．【詳解】（1）由得則或解得，（2）由得得，（3）由得解得，（4），【點睛】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·遼寧沈陽·九年級沈陽市第七中學(xué)?？茧A段練習(xí)）解方程：(1)(2)(3)(4)．【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可；（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；（4）先整理，然后利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：，，方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得：，；（2）解：解得：，；（3）解：即解得：，；（4）解：解得：，．【點睛】本題考查一元二次方程的解法，根據(jù)方程的特點選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń庖辉畏匠淌墙忸}的關(guān)鍵．3．（2023秋·四川宜賓·九年級?？茧A段練習(xí)）解方程(1)(2)(3)（用配方法）(4)【答案】(1)，(2)，(3)，(4)【分析】（1）運用因式分解法解一元二次方程即可；（2）根據(jù)配方法解一元二次方程即可；（3）根據(jù)配方法解一元二次方程即可；（4）運用因式分解法解一元二次方程即可【詳解】（1）或解得，（2）或解得，（3）或解得，（4）【點睛】本題主要考查了用配方法和因式分解法解一元二次方程的知識，掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．題型四換元法解一元二次方程1．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知一元二次方程的兩根分別為，則方程的兩根分別為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用換元法令，可得到的值，即可算出的值，即方程的兩根．【詳解】解：記，則即，∵方程的兩根分別為，∴或，故，．故選：B．【點睛】本題主要考查換元法和解一元二次方程．能根據(jù)已知方程的解得出或是解此題的關(guān)鍵．2．（2023秋·湖南邵陽·九年級?？茧A段練習(xí)）若，則的值為（）A．2或 B．或6 C．6 D．2【答案】D【分析】設(shè)，則有，再用因式分解法求解得，，再根據(jù)，即可求解．【詳解】解：設(shè)，則有，∴，，或，∴，，∵，∴，故D正確．故選：D．【點睛】本題考查用因式分解法解一元二次方程，熟練掌握用用因式分解法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵，注意整體思想的運用．3．（2023春·山東淄博·八年級統(tǒng)考期中）已知關(guān)于x的方程的兩個根分別為，，則方程的兩個根分別為（

）A．， B．，C．， D．，,【答案】C【分析】設(shè)，則方程變?yōu)椋鶕?jù)方程的兩個實數(shù)根是，，得或，即可求出方程的兩個實數(shù)根．【詳解】解：設(shè)，則方程變?yōu)?，方程的兩個實數(shù)根是，，∴方程的兩個實數(shù)根是，，∴或，或，方程的兩個實數(shù)根是，．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的解的定義是關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·安徽宣城·八年級?？计谥校┮阎猘、b為實數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值為（）A．3或－5 B．3 C．－3或5 D．5【答案】B【分析】設(shè)，則原方程換元為，可得，，即可求解．【詳解】解：設(shè)，則原方程換元為，，解得，（不合題意，舍去），的值為3．故選：B．【點睛】本題考查了解一元二次方程，正確掌握換元法是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）如果關(guān)于的方程的解是，，那么關(guān)于的方程的解是_____．【答案】，，【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程的解是，，令關(guān)于y的方程中，即可得到，解這個方程組即可得到答案．【詳解】解：∵,∴,關(guān)于的方程的解是，，令，∴，∴或，解得，，故答案為：，．【點睛】本題考查換元法及一元二次方程解的定義，令關(guān)于y的方程中是解決問題的關(guān)鍵．3．（2023秋·四川內(nèi)江·九年級校考階段練習(xí)）閱讀下列材料：問題：已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解法一：解方程得：，．∵所求方程的根分別是已知方程根的2倍，∴所求方程的兩根為：，，∴所求方程為：．故所求方程為：．解法二：設(shè)所求方程的根為，則，所以．把代入已知方程得：化簡，得，故所求方程為：．請你從閱讀材料中選擇一種方法解決下列問題：(1)已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為：_；(2)已知關(guān)于的一元二次方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)；(3)已知關(guān)于的一元二次方程，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）解法一：求出已知方程的解為，從而可得所求方程的兩根為，由此即可得；解法二：設(shè)所求方程的根為，則，所以．再將其代入已知方程即可得；（2）解法一：求出已知方程的解為，從而可得所求方程的兩根為，，由此即可得；解法二：設(shè)所求方程的根為，則，所以．再將其代入已知方程即可得；（3）解法一：求出已知方程的解為，從而可得所求方程的兩根為，由此即可得；解法二：設(shè)所求方程的根為，則，所以．再將其代入已知方程即可得．【詳解】（1）解法一：解方程得：，∵所求方程的根分別為已知方程根的相反數(shù)，∴所求方程的兩根為：，∴所求方程為：，故所求方程為：．解法二：設(shè)所求方程的根為，則，所以．把代入已知方程得：化簡，得，故所求方程為：．故答案為：．（2）解法一：解方程得：，∵所求方程的根分別為已知方程根的倒數(shù)，∴所求方程的兩根為：，，∴所求方程為：，故所求方程為：．解法二：設(shè)所求方程的根為，則，所以．把代入已知方程得：化簡，得，故所求方程為：．（3）解法一：解方程得：，∵所求方程的根分別為已知方程根的倒數(shù)，∴所求方程的兩根為：，∴所求方程為：，故所求方程為：．解法二：設(shè)所求方程的根為，則，所以．把代入已知方程得：化簡，得，故所求方程為：．【點睛】本題考查了一元二次方程的解、解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握“換根法”．題型五配方法的應(yīng)用1．（2023秋·湖北襄陽·九年級?？茧A段練習(xí)）對于任意實數(shù)x，多項式的值是一個（）A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C．非負(fù)數(shù) D．不能確定正負(fù)的數(shù)【答案】B【分析】原式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：任意實數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，其最小值是0，∴的最大值是，故多項式的值是一個負(fù)數(shù)，故選：B．【點睛】本題考查了配方法的應(yīng)用和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)．任意實數(shù)的平方和絕對值都具有非負(fù)性，靈活運用這一性質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）對于多項式，由于，所以有最小值3．已知關(guān)于x的多項式的最大值為10，則m的值為（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】原式配方后，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出m的值即可．【詳解】解：，∵，∴，∴，∴的最大值為，∴，∴故選：B．【點睛】本題主要考查了配方法的應(yīng)用，正確將原式配方是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）新定義：關(guān)于的一元二次方程與稱為“同族二次方程”．如與是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于的一元二次方程與是“同族二次方程”，那么代數(shù)式能取的最小值是（）A．2013 B．2014 C．2015 D．2016【答案】D【分析】根據(jù)同族二次方程的定義，可得出a和b的值，從而解得代數(shù)式的最小值．【詳解】解：與為同族二次方程．，，∴，解得：．∴當(dāng)時，取最小值為2016．故選：D．【點睛】此題主要考查了配方法的應(yīng)用，解二元一次方程組的方法，理解同族二次方程的定義是解答本題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·浙江嘉興·九年級?？奸_學(xué)考試）代數(shù)式的可能取值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】先將原式變形為，再分解因式，然后根據(jù)配方法得到，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：原式，當(dāng)，時，原式有最小值，此時最小值為．故選：B．【點睛】本題考查了因式分解，配方法的應(yīng)用，以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，得出是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實根，且這兩根之差的絕對值為6，那么的值為__________．【答案】3【分析】設(shè)兩根分別為和，則的最大值問題可轉(zhuǎn)化為(x1-x2)2的最大值問題，展開并利用根與系數(shù)的關(guān)系將兩根全部替換成a即可．【詳解】解：設(shè)方程兩根分別為和，則：，，，，，，∴，當(dāng)時，可取最小值，∵6，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．熟練掌握配方法以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解答此類題的關(guān)鍵．3．（2023秋·山西忻州·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).如果關(guān)于的一元二次方程有一個根是1，那么我們稱這個方程為“方正方程”.(1)判斷一元二次方程是否為“方正方程”，請說明理由.(2)已知關(guān)于的一元二次方程是“方正方程”，求的最小值.【答案】(1)該方程是方正方程，見解析(2)最小值為9【分析】（1）將1代入方程看左右兩邊是否相等即可得到答案；（2）將1代入得到字母關(guān)系，結(jié)合完全平方的非負(fù)性直接求解即可得到答案；【詳解】（1）解：該方程是方正方程，理由如下，∵當(dāng)時，方程左邊，右邊，∴左邊=右邊，∴是該方程的解，∴該方程是方正方程；（2）解：由題意得：，∴，∴，∵，∴，∴的最小值為9；【點睛】本題考查一元二次方程的解，配方法解一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意中的新定義．題型六一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1．（2023秋·湖北襄陽·九年級?？茧A段練習(xí)）已知一元二次方程的兩根為，，則（）A． B． C．7 D．25【答案】D【分析】先由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得：，，然后把原式變形為，再整體代入求解即可．【詳解】解：∵一元二次方程的兩根為，，∴，，∴．故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，屬于?？碱}型，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、靈活應(yīng)用整體的數(shù)學(xué)思想是解題關(guān)鍵．2．（2023秋·湖北襄陽·九年級?？茧A段練習(xí)）關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，滿足則（）A．和2 B．2 C． D．1和2【答案】B【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，解出的值，再根據(jù)判別式，可得m的值．【詳解】解：根據(jù)題意，得，解得或，，，，故選：B．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，注意判別式這個隱含的條件．3．（2023秋·廣東惠州·九年級惠州一中?？茧A段練習(xí)）若，是方程的兩個實數(shù)根，則的值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由，是方程的兩個實數(shù)根，得，，將所求式子變形后整體代入即可．【詳解】解：，是方程的兩個實數(shù)根，，，，故選：B．【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程根的定義，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·福建泉州·九年級?？茧A段練習(xí)）已知、是方程的兩個根，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得，，，，則，，將其代入得，再將，代入即可得．【詳解】解：∵、是方程的兩個根，∴，，，，∴，===∵，，∴原式=，故選：C．【點睛】本題考查了方程的根，根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識點．2．（2023秋·湖南常德·九年級?？茧A段練習(xí)）已知方程的兩個根為和，則=_______．【答案】1【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到、的值，然后整體代入計算即可．【詳解】解：∵，∴，，∴．故答案為1．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、代數(shù)式求值等知識點，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：對于方程，有、是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023秋·廣東佛山·九年級校考階段練習(xí)）閱讀材料：材料1：若關(guān)于的一元二次方程的兩個根為，；則，；材料2：已知一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，，求的值．解：一元二次方程的兩個實數(shù)根分別為，；，；則．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識，完成下列問題：(1)材料理解：一元二次方程的兩個根為，，則______，______；(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程的兩根分別為、，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出及的值；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，可得出，，將其代入中，即可求出結(jié)論．【詳解】（1）解：一元二次方程的兩個根為，，，，故答案為：，；（2）解：一元二次方程的兩根分別為，，，，．【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，和系數(shù)，，，有如下關(guān)系：，．題型七根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況1．（2023秋·湖北恩施·九年級?？茧A段練習(xí)）下列關(guān)于的一元二次方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的方程是(

)A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式，分別計算△的值，根據(jù)，方程有兩個不相等的實數(shù)根；，方程有兩個相等的實數(shù)根；，方程沒有實數(shù)根，進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、，方程沒有實數(shù)根；B、，方程有兩個相等的實數(shù)根；C、，方程沒有實數(shù)根；D、△，方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：D．【點睛】本題考查了用一元二次方程的根的判別式判定方程的根的情況的方法．2．（2023秋·四川宜賓·九年級?？茧A段練習(xí)）設(shè)關(guān)于的方程的兩個實數(shù)根為、，現(xiàn)給出三個結(jié)論：①；

②；

③．則正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)根的判別式即可判斷①；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，即可判斷②；根據(jù)完全平方公式的變形得到即可判斷③．【詳解】解：由題意得：，∵，∴，∴，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，故①正確；由根與系數(shù)的關(guān)系可得，∴，故②正確；∵，∴，故③錯誤；故選B．【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根，若，則方程有兩個相等的實數(shù)根，若，則方程沒有實數(shù)根，若是該方程的兩個實數(shù)根，則．3．（2023秋·福建三明·九年級?？茧A段練習(xí)）對于一元二次方程，有下列說法錯誤的是（）A．若方程有兩個不相等的實根，則方程必有實根；B．若，則方程一定有兩個實數(shù)根，并且這兩個根互為相反數(shù)；C．若，則方程一定有實數(shù)根；D．若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根．【答案】B【分析】由方程有兩個不相等的實根得，從得出方程的，所以方程有兩個不相等的實根，可判定A；根據(jù)當(dāng)，時，當(dāng)，時，當(dāng)，時，當(dāng)，時，判定方程的根，即可判定B；由，得出方程必有一根為，可判定C；由，得，則方程有兩個不相等的實根，可判定D．【詳解】解：A、方程有兩個不相等的實根，，方程的，方程有兩個不相等的實根，故此選項不符合題意；B、若，則，當(dāng)，時，方程有兩相等實數(shù)根，并且這兩個根互為相反數(shù)；當(dāng)，時，方程沒有實數(shù)根；當(dāng)，時，x為一切實數(shù)，方程有無數(shù)根；當(dāng)，時，方程沒有實數(shù)根；故此選項符合題意；C、若，則方程必有一根為，故此選項不符合題意；D、若，則，∴方程有兩個不相等的實根，故此選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·山東濟(jì)寧·九年級?？茧A段練習(xí)）已知一元二次方程中，下列說法：①若，則；②若方程兩根為和2，則；③若方程有兩個不相等的實根，則方程必有兩個不相等的實根；④若，則方程有兩個不相等的實根．其中正確的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，判別式與根的個數(shù)的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①若，則1為方程的一個根，∴，故①正確；②若方程兩根為和2，則：，∴，②正確；③若方程有兩個不相等的實數(shù)根，則：，當(dāng)時，，滿足題意，但此時方程無實數(shù)解，故③錯誤；④若，則，即方程有兩個不相等的實數(shù)根，④正確；正確的為：①②④，故選：C．【點睛】本題考查一元二次方程解的定義，根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系．熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·山東棗莊·九年級滕州育才中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知關(guān)于一元二次方程，有下列說法：①若則；②若方程兩根為1和2，則；③若方程有兩個不相等的實根，則方程必有實根；④若，則方程有兩個不相等的實數(shù)根．其中正確的是______．（填寫序號）【答案】①②③④【分析】根據(jù)根與判別式的關(guān)系，判斷①③④；根與系數(shù)的關(guān)系判斷②．【詳解】解：①若，則一元二次方程有一個根為，∴；故①正確；②若方程兩根為1和2，則：，即：，∴；故②正確；③若方程有兩個不相等的實根，則：，∴，∴方程必有實根；故③正確；④，則：，∵，∴，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故④正確；故答案為：①②③④【點睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式．熟練掌握相關(guān)知識點，是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·福建廈門·九年級廈門市蓮花中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無論a為何值，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2)若方程兩實數(shù)根分別為和，且滿足，求a的值．【答案】(1)證明見解析(2)不存在這樣的的值使．【分析】（1）計算一元二次方程根的判別式，得出，即可得證；（2）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，根據(jù)題意可得，進(jìn)而解方程，即可求解．【詳解】（1）證明：∵；∴，∴該方程總有兩個實數(shù)根；（2）∵，∴，即，∵，，∴，即，∴不存在這樣的的值使．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程根的判別式的意義是解題的關(guān)鍵．題型八根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)1．（2023秋·河北保定·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如果關(guān)于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，那么k的最小整數(shù)值是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的根與判別式的關(guān)系可得，，從而求得k的取值范圍，即可求解．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程沒有實數(shù)根，∴，解得，∴k的最小整數(shù)值是3，故選：D．【點睛】本題考查一元二次方程的根與判別式的關(guān)系、解一元一次不等式，熟練掌握一元二次方程的根與判別式的關(guān)系：時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；時，方程有兩個相等的實數(shù)根；時，方程無實數(shù)根是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·貴州畢節(jié)·九年級?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的不等式組有且只有4個整數(shù)解，且關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則所有滿足條件的整數(shù)的和為（

）A．3 B．5 C．9 D．10【答案】A【分析】解不等式組得出每個不等式的解集，根據(jù)不等式組整數(shù)解的個數(shù)得出關(guān)于的范圍，由方程有實數(shù)根知且，解得且，繼而可得符合條件的整數(shù)和．【詳解】解：解不等式得：，∵不等式組有且只有4個整數(shù)解，∴整數(shù)解為，，，0，∴，解得：，關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，且，解得且，在且中，符合條件的整數(shù)和為，故選：A．【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組和一元二次方程根的判別式，一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①當(dāng)時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；②當(dāng)時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；③當(dāng)時，方程無實數(shù)根．3．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知關(guān)于x的方程有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A． B．且 C．且 D．【答案】A【分析】根據(jù)關(guān)于的方程有實數(shù)根，分一元一次方程和一元二次方程兩種情況討論，當(dāng)方程是一元一次方程時，方程有實數(shù)根；當(dāng)方程是一元二次方程時，得到，求解，綜合兩種情況k的取值范圍，即可得到答案．【詳解】解：當(dāng)方程是一元一次方程時，,則，方程有實數(shù)根；當(dāng)方程是一元二次方程時，可得：，解得：，綜上所述，，故選：A．【點睛】本題考查了方程有實數(shù)根的條件，分類討論、掌握一元二次方程的定義以及有實數(shù)根的條件“”，是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·福建泉州·八年級?？计谀┤絷P(guān)于x的方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A． B． C．且 D．【答案】A【分析】由方程有實數(shù)根，得到判別式，即可求解．【詳解】解：①當(dāng)時，方程為，是一元一次方程，解得，符合題意；②當(dāng)時，方程是一元二次方程，∵于x的方程有實數(shù)根，∴，∴，即，∴，∴方程為一元二次方程時，m的取值范圍是且，綜上所述：m的取值范圍是．故選：A．【點睛】本題考查根的判別式及一元二次方程的定義，根據(jù)方程有實數(shù)根進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·遼寧沈陽·九年級沈陽市實驗學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為______．【答案】【分析】根據(jù)當(dāng)時，方程有兩個相等的實數(shù)根；據(jù)此對方程進(jìn)行求解即可．【詳解】解：由題意得，，，，原方程有兩個相等的實數(shù)根，，解得：，，，；故答案：．【點睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，掌握判別式與根的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·湖北孝感·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）關(guān)于一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．(1)求實數(shù)k的取值范圍；(2)若方程兩實數(shù)根，滿足，求k的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式得到，即可得到實數(shù)k的取值范圍；（2）由根與系數(shù)關(guān)系得，利用得到，即可得到k的值．【詳解】（1）解：∵一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，∴，解得；（2）由題意得，，∴，∵，∴，解得【點睛】此題考查了一元二次方程的判別式和根與系數(shù)關(guān)系，熟練掌握一元二次方程的判別式和根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型九一元二次方程的應(yīng)用11．（2023秋·遼寧本溪·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，某建筑工程隊在工地一邊靠墻處，用81米長的鐵柵欄圍成三個相連的長方形倉庫，倉庫總面積為440平方米.為了方便取物，在各個倉庫之間留出了1米寬的缺口作通道，在平行于墻的一邊留下一個1米寬的缺口作小門.若設(shè)米，則可列方程（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】可求長方形的長為（米），由長方形的面積即可求解．【詳解】解：由題意得長方形的長為：（米），則可列方程為：；故選：D．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．2．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝在1275年提出的一個問題：“直田積八百六十四步，只云闊不及長一十二步．問闊及長各幾步．”意思是：長方形的面積是864平方步，寬比長少12步，問寬和長各是幾步．設(shè)寬為x步，根據(jù)題意列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)寬為x步，則長為步，根據(jù)題意列方程即可．【詳解】解：設(shè)寬為x步，則長為步，由題意得：，故選：D．【點睛】本題考查一元二次方程的實際應(yīng)用，正確理解題意是關(guān)鍵．3．（2023秋·湖北武漢·九年級武漢一初慧泉中學(xué)?？茧A段練習(xí)）李師傅去年開了一家商店，今年1月份開始盈利，2月份盈利2000元，4月份的盈利達(dá)到2880元，且從2月到4月，若每月盈利的平均增長率都相同．那么按照這個平均增長率，預(yù)計五月份這家商店的盈利將達(dá)到（）元．A．3320 B．3440 C．3450 D．3456【答案】D【分析】設(shè)每月盈利的平均增長率為x，列方程解方程進(jìn)而即可求解；【詳解】解：設(shè)每月盈利的平均增長率為x，根據(jù)題意，，解得：（舍去），五月份這家商店的盈利為（元）．故選：D．【點睛】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2022秋·廣東清遠(yuǎn)·九年級統(tǒng)考期末）春節(jié)快到了，為增進(jìn)友誼，老師要求班上每一名同學(xué)要給同組的其他同學(xué)寫一份新春的祝福，小靜同學(xué)所在的小組共寫了42份祝福，該小組共有（）A．4人 B．5人 C．6人 D．7人【答案】D【分析】設(shè)該小組共有人，則每人需寫份新春的祝福，根據(jù)小靜所在的小組共寫了42份祝福，即可得出關(guān)于的一元二次方程，再解方程即可．【詳解】解：設(shè)該小組共有人，則每人需寫份祝福，依題意得：，解得：（不符合題意），故選：．【點睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·福建福州·九年級?？茧A段練習(xí)）受新冠肺炎疫情影響，某企業(yè)生產(chǎn)總值從元月的720萬元，連接兩個月降至500萬元，設(shè)平均每月降低率為x，則可列方程________．【答案】【分析】根據(jù)該企業(yè)元月份及經(jīng)過兩個月降低后的生產(chǎn)總值，即可得出關(guān)于的一元二次方程，即可得出結(jié)論．【詳解】解：依題意，得：．故答案為：．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·四川成都·九年級校考期中）某著名的旅游城市2016年“十一”黃金周期間，接待游客近1000萬人次，2018年“十一”黃金周期間，接待游客已達(dá)1690萬人次．(1)求出2016年至2018年十一長假期間游客人次的年平均增長率；(2)該市一家特色小面店希望在長假期間獲得較好的收益，經(jīng)測算知，該小面的成本價為每碗6元，借鑒以往經(jīng)驗：若每碗賣25元，平均每天將銷售300碗，若價格每降低1元，則平均每天多銷售30碗．若規(guī)定每碗售價不得超過20元，則當(dāng)每碗售價定為多少元時，店家能實現(xiàn)每天盈利6300元？【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)年平均增長率為，根據(jù)題意得出等量關(guān)系求解即可；（2）設(shè)每碗售價定為元，店家才能實現(xiàn)每天利潤元，根據(jù)題意