同步優(yōu)化設(shè)計(jì)2024年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何2.1從平面向量到空間向量2.2空間向量的運(yùn)算課后篇鞏固提升含解析北師大版選擇性必修第一冊(cè)

第三章空間向量與立體幾何§2空間向量與向量運(yùn)算2.1從平面對(duì)量到空間向量2.2空間向量的運(yùn)算課后篇鞏固提升合格考達(dá)標(biāo)練1.如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,M為A1C1與B1D1的交點(diǎn).若AB=a,AD=b,AA1=c,則下列向量中與BM相等的向量是(A.-12a+12b+B.12a+12bC.-12a-12b+D.12a-12b答案A解析由題意,BM=BC+CC1+C1M=BC+CC2.已知三棱錐A-BCD中,E是BC的中點(diǎn),則AE-12(ACA.BD B.DBC.12BD D答案D解析如圖,取CD的中點(diǎn)F,連接AF,EF,∵三棱錐A-BCD中,E是BC的中點(diǎn),∴AE-12(AC+AD3.已知e1,e2為單位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,則實(shí)數(shù)k的值為()A.-6 B.6C.3 D.-3答案B解析由題意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,∴(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,∴2k-12=0,∴k=6.4.設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A,B,C,D,已知(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=0,則△ABCA.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等邊三角形答案B解析因?yàn)镈B+DC-2DA=(DB-DA)+(DC所以(DB+DC-2DA)·(AB-AC)=(AB+AC)·(所以|AB|=|AC|,因此△ABC是等腰三角形.5.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為a,則A1B·答案a2解析A=|A1B||A1D|=2a·2a·cos60°=a2.6.已知|a|=32,|b|=4,m=a+b,n=a+λb,<a,b>=135°,m⊥n,則λ=.

答案-3解析由m⊥n得m·n=0.m·n=(a+b)·(a+λb)=a2+(λ+1)a·b+λb2=18+(λ+1)×122×-22+16λ=6+∴λ=-327.如圖,已知M,N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心,G為AM上一點(diǎn),且GM∶GA=1∶3,設(shè)AB=a,AC=b,AD=c,試用a,b,c表示BG,解BG=BM-14(=34×23=14(b-a+c-a)-1=-34a+14b+1BN=AN-=13b+13c-8.在空間四邊形OABC中,OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,∠OAC=45°,∠OAB=60°,求OA與BC所成角的余弦值.解因?yàn)锽C=所以O(shè)A·BC=OA·AC-OA·AB=|OA||AC|·cos<OA,AC>-|OA||AB|cos<OA,AB>=8×4×cos135°-8×6×cos即OA與BC所成角的余弦值為3-等級(jí)考提升練9.已知空間四邊形ABCD,連接AC,BD,M,N分別是BC,CD的中點(diǎn),如圖所示,則AB+12(BD+A.AN B.CNC.BC D.1答案A解析AB+12(BD+BC10.設(shè)有四邊形ABCD,O為空間隨意一點(diǎn),且AO+OB=DO+OC,A.平行四邊形 B.空間四邊形C.等腰梯形 D.矩形答案A解析由AO+OB=AB=DO+OC=DC,11.已知向量a,b,c兩兩之間的夾角都為60°,其模都為1,則|a-b+2c|等于()A.5 B.5 C.6 D.6答案A解析∵|a-b+2c|2=a2+b2+4c2-2a·b+4a·c-4b·c=5.∴|a-b+2c|=5.12.已知向量a,b滿意條件:|a|=2,|b|=2,且a與2b-a相互垂直,則<a,b>=()A.30° B.45° C.60° D.90°答案B解析a·(2b-a)=2a·b-a2=2|a||b|cos<a,b>-|a|2=42cos<a,b>-4=0.∴cos<a,b>=22,又<a,b>∈[0°,180°],∴<a,b>=45°13.(多選題)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,有下列命題,其中正確的有()A.(AA1+AD+B.A1C·(A1C.AD1與D.正方體的體積為|AB·答案AB解析如圖所示,(AA1+AD+AB)2=(AA1A1C·(A1B1AD1與A而D1C與D1A的夾角為60°,正方體的體積為|AB||AA1||AD|.故A,B14.已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi),并且對(duì)空間隨意一點(diǎn)O,有OM=xOA+13OB+13答案1解析∵點(diǎn)M在平面ABC內(nèi),并且對(duì)空間隨意一點(diǎn)O,有OM=xOA+∴x+13+13=1,15.設(shè)向量a與b相互垂直,向量c與它們的夾角都是60°,且|a|=5,|b|=3,|c|=8,那么(a+3c)·(3b-2a)=.

答案-62解析(a+3c)·(3b-2a)=3a·b-2|a|2+9b·c-6a·c=-2×25+9×3×8×12-6×5×8×12=-16.如圖,在正四面體ABCD中,棱長為a,M,N分別是棱AB,CD上的點(diǎn),且MB=2AM,CN=12ND,求MN解∵M(jìn)N=MB+BC+CN=23AB+(AC-AB)+13(AD-AC)=-13AB+13AD+23AC,∴MN·MN=-13AB+13AD故|MN|=MN·MN=53a,新情境創(chuàng)新練17.如圖,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,D,E分別為AB,BB'的中點(diǎn).(1)求證:CE⊥A'D;(2)求異面直線CE與AC'所成角的余弦值.(1)證明設(shè)CA=a,CB=b,CC'=c依據(jù)題意得|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0.∴CE=b+12c,A