專題2.5 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題2.5對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)【六大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1對(duì)數(shù)的運(yùn)算】 2【題型2指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的應(yīng)用】 2【題型3對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用】 3【題型4利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小】 5【題型5解對(duì)數(shù)不等式】 5【題型6對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】 61、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)理解對(duì)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)，能用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)

(2)通過(guò)實(shí)例，了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，會(huì)畫對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)(3)了解指數(shù)函數(shù)（a>0且a≠1）與對(duì)數(shù)函數(shù)（a>0且a≠1）互為反函數(shù)2022年天津卷：第6題，5分2022年浙江卷：第7題，5分2022年新課標(biāo)I卷：第7題，5分2023年北京卷：第4題，5分2024年新課標(biāo)I卷：第6題，5分2024年北京卷：第7題，5分對(duì)數(shù)函數(shù)是常見(jiàn)的重要函數(shù)，對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是高考?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考形勢(shì)來(lái)看，對(duì)數(shù)函數(shù)往往與冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)結(jié)合考查，主要以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合指、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，運(yùn)用冪函數(shù)與指、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)解決具體的問(wèn)題，包括比較指對(duì)冪的大小、解不等式等題型.【知識(shí)點(diǎn)1對(duì)數(shù)運(yùn)算的解題策略】1．對(duì)數(shù)運(yùn)算的常用技巧(1)在對(duì)數(shù)運(yùn)算中，先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則化簡(jiǎn)合并.(2)先將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪再運(yùn)算.(3)指對(duì)互化：(a>0,且a≠1)是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的有效方法，在運(yùn)算中應(yīng)注意互化.【知識(shí)點(diǎn)2對(duì)數(shù)函數(shù)的常見(jiàn)問(wèn)題及解題思路】1．對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用(1)在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng).(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.2．對(duì)數(shù)（型）函數(shù)的值域和單調(diào)性問(wèn)題的解題策略利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，必須弄清三方面的問(wèn)題：一是定義域，所有問(wèn)題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.另外，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.【題型1對(duì)數(shù)的運(yùn)算】【例1】（2024·河南·三模）若a≥0,b∈R，則化簡(jiǎn)2log23+(a)2+b2的結(jié)果是（

）A．3+a+b B．3+a+C．2+a+b D．2+a+【變式1-1】（2024·青?！つM預(yù)測(cè)）若a=log35，5b=6A．1 B．－1 C．2 D．－2【變式1-2】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且4a=6A．1a+1b=1c B．【變式1-3】（2024·遼寧丹東·一模）若2a=3，3b=5，5cA．?2 B．12 C．22【題型2指數(shù)、對(duì)數(shù)問(wèn)題的應(yīng)用】【例2】（2024·四川雅安·三模）二維碼與我們的生活息息相關(guān)，我們使用的二維碼主要是21×21大小的特殊的幾何圖形，即441個(gè)點(diǎn).根據(jù)0和1的二進(jìn)制編碼規(guī)則，一共有2441種不同的碼，假設(shè)我們1萬(wàn)年用掉3×1015個(gè)二維碼，那么所有二維碼大約可以用（

A．10117萬(wàn)年 B．10120萬(wàn)年 C．10123萬(wàn)年 【變式2-1】（2024·北京昌平·二模）中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)，經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用90℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生極佳口感；在20℃室溫下，茶水溫度從90℃開(kāi)始，經(jīng)過(guò)tmin后的溫度為y℃，可選擇函數(shù)y=60×0.9t+20（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30,A．2.5min B．4.5min C．6min 【變式2-2】（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）科學(xué)家從由實(shí)際生活得出的大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)以1開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率較高，以1開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出定律：在大量b進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以n開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為Pbn=logbn+1n，如裴波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律．后來(lái)常有數(shù)學(xué)愛(ài)好者用此定律來(lái)檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性．若n=4kPA．11 B．15 C．19 D．21【變式2-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）萬(wàn)有引力定律是英國(guó)偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家牛頓提出來(lái)的，即任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)通過(guò)連心線方向上的力相互吸引，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為F=Gm1?m2r2，其中F表示兩個(gè)物體間的引力大小，G為引力常數(shù)，m1,m2分別表示兩個(gè)物體的質(zhì)量，rA．lnF1+C．lnF1?【題型3對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用】【例3】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=eA． B． C． D．【變式3-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=x?1A． B．C． D．【變式3-2】（2024·陜西寶雞·二模）函數(shù)fx=1+A． B．C． D．【變式3-3】（2024·甘肅隴南·一模）函數(shù)fx=xA．

B．

C．

D．

【題型4利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小】【例4】（2024·天津?yàn)I海新·三模）已知a=2log20.4，b=logA．a(chǎn)>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．a(chǎn)>c>b【變式4-1】（2024·天津北辰·三模）已知a=0.53.1，b=log0.90.3，c=log131A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．a(chǎn)<c<b【變式4-2】（2024·貴州貴陽(yáng)·三模）已知a=40.3,b=A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>c>a D．c>a>b【變式4-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(2?x)，且在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞減.設(shè)a=f(?ln1.1)，b=f2A．a(chǎn)>b>c B．b>c>aC．c>b>a D．b>a>c【題型5解對(duì)數(shù)不等式】【例5】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=lnx，若faA．5?12,1 B．0,5?12【變式5-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，fx=3xA．?∞,8 B．0,8 C．18【變式5-2】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）“a>b”是“l(fā)na2+A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【變式5-3】（2024·湖南婁底·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=ax+k?1a?x（a>0且A．2,+∞ B．0,C．12,2【題型6對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用】【例6】（2023·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(1)求fx(2)若關(guān)于x的方程fx=k在R上有解，求實(shí)數(shù)【變式6-1】（2024·陜西安康·一模）已知函數(shù)f(x)=log(1)若f(1)=3，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)f(x)的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式6-2】（23-24高一下·廣東汕頭·期中）已知函數(shù)fx(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)判斷函數(shù)fx(3)設(shè)函數(shù)g(x)=log2x2?log2x4【變式6-3】（23-24高三上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=log1(1)若y=lggx的值域?yàn)?2)若非常數(shù)函數(shù)f(x)是定義域?yàn)?2,2的奇函數(shù)，且?x1∈[1,2)，?x2一、單選題1．（2024·廣東·二模）已知正實(shí)數(shù)m,n滿足12lnm=lnm?2nA．1 B．14 C．4 D．1或2．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)m，n，t滿足5m=7n=t且1A．23 B．12 C．5 D．3．（2024·上?！と＃┮阎瘮?shù)f(x)=1+loga(2x?3)?(a>0,a≠1)恒過(guò)定點(diǎn)(m,n)A．1 B．2 C．3 D．44．（2024·江西鷹潭·模擬預(yù)測(cè)）19世紀(jì)美國(guó)天文學(xué)家西蒙·紐康在翻閱對(duì)數(shù)表時(shí)，偶然發(fā)現(xiàn)表中以1開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的頻率更高．約半個(gè)世紀(jì)后，物理學(xué)家本·福特又重新發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象，從實(shí)際生活得出的大量數(shù)據(jù)中，以1開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的頻數(shù)約為總數(shù)的三成，并提出本·福特定律，即在大量b進(jìn)制隨機(jī)數(shù)據(jù)中，以n開(kāi)頭的數(shù)出現(xiàn)的概率為Pbn=logbn+1n，如斐波那契數(shù)、階乘數(shù)、素?cái)?shù)等都比較符合該定律，后來(lái)常有數(shù)學(xué)愛(ài)好者用此定律來(lái)檢驗(yàn)?zāi)承┙?jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)、選舉數(shù)據(jù)等大數(shù)據(jù)的真實(shí)性．若n=k2024PA．674 B．675 C．676 D．6775．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測(cè)）已知a=log56，b=log28，c=e，則aA．a(chǎn)<b<c B．a(chǎn)<c<b C．c<a<b D．b<c<a6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=?14x?4,x≤3A．0,1 B．1,3 C．1,3 7．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=1?22x1+22x，A．?x=fxC．?x=fx8．（2024·江西·二模）已知定義在R上的函數(shù)fx滿足fx+2=f?x=?fx，當(dāng)0<x≤1時(shí)，fxA．?52+4k,?32+4k，C．?12+4k,12+4k，二、多選題9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知a=log49，b=A．1<a<32 B．a(chǎn)b>1 C．a(chǎn)+b>2 10．（2024·河南·三模）已知函數(shù)fx=lgA．fx的定義域?yàn)锽．fx的值域?yàn)镃．fD．y=fx211．（2024·河南·一模）定義在R上的函數(shù)f(x)=loga(1+b2x2+bx)（a>0且a≠1A．若a>1，b>0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為?2,2B．若0<a<1，b<0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為?C．若a>1，b<0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為?D．若0<a<1，b>0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為2,+三、填空題12．（2024·上?！つM預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)a,b滿足logab+logba=513．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)f(x)=ln(ax+1)在(1,2)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為14．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)y=logax+ax?1+2（a>0且a≠1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)k,b，若m+n=b?k且m>0，四、解答題15．（2023·江蘇連云港·模擬預(yù)測(cè)）計(jì)算：(1)27(2)log216．（2023·吉林