重難點22 立體幾何必考經(jīng)典解答題全歸類（舉一反三）（新高考專用）（學生版） 2025年高考數(shù)學一輪復習專練（新高考專用）

重難點22立體幾何必考經(jīng)典解答題全歸類【十大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1立體幾何中的體積問題】 4【題型2立體幾何中的線段長度問題】 5【題型3空間角問題】 7【題型4空間點、線、面的距離問題】 9【題型5立體幾何中的作圖問題】 11【題型6立體幾何中的折疊問題】 14【題型7立體幾何中的軌跡問題】 16【題型8立體幾何中的探索性問題】 17【題型9立體幾何建系繁瑣問題（幾何法）】 20【題型10新情景、新定義下的立體幾何問題】 211、立體幾何必考經(jīng)典解答題全歸類空間向量與立體幾何是高考的重點、熱點內(nèi)容，空間向量是將空間幾何問題坐標化的工具，屬于高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，立體幾何解答題的基本模式是論證推理與計算相結合，以某個空間幾何體為依托，分步設問，逐層加深；第一小問主要考察空間線面位置關系的證明，難度較易；第二、三小問一般考察空間角、空間距離與幾何體的體積等，難度中等偏難；空間向量作為求解空間角的有力工具，通常在解答題中進行考查，解題時需要靈活建系．【知識點1空間幾何體表面積與體積的常見求法】1．求幾何體體積的常用方法(1)公式法：直接代入公式求解.(2)等體積法：四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.(3)補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，三棱柱補成四棱柱等.(4)分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.2．求組合體的表面積與體積的一般方法求組合體的表面積的問題，首先應弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側面，各個面的面積應該怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個面的面積，最后相加或相減.求體積時也要先弄清各組成部分，求出各簡單幾何體的體積，再相加或相減.【知識點2幾何法與向量法求空間角】1．幾何法求異面直線所成的角(1)求異面直線所成角一般步驟：①平移：選擇適當?shù)狞c，線段的中點或端點，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線；②證明：證明所作的角是異面直線所成的角；③尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之；④取舍：因為異面直線所成角的取值范圍是，所以所作的角為鈍角時，應取它的補角作為異面直線所成的角.2．用向量法求異面直線所成角的一般步驟：(1)建立空間直角坐標系；(2)用坐標表示兩異面直線的方向向量；(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值；(4)注意兩異面直線所成角的范圍是，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值.3．幾何法求線面角(1)垂線法求線面角(也稱直接法)：①先確定斜線與平面，找到線面的交點B為斜足；找線在面外的一點A，過點A向平面做垂線，確定垂足O；②連結斜足與垂足為斜線AB在面上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角；③把投影BO與斜線AB歸到一個三角形中進行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形.(2)公式法求線面角(也稱等體積法)：用等體積法，求出斜線PA在面外的一點P到面的距離，利用三角形的正弦公式進行求解.公式為：，其中是斜線與平面所成的角，h是垂線段的長，l是斜線段的長.4．向量法求直線與平面所成角的主要方法:(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，將題目轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線和平面所成的角.5．幾何法求二面角作二面角的平面角的方法：作二面角的平面角可以用定義法，也可以用垂面法，即在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.6．向量法求二面角的解題思路:用法向量求兩平面的夾角：分別求出兩個法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到兩平面夾角的大小.【知識點3空間距離的求解策略】1．向量法求點到直線距離的步驟：(1)根據(jù)圖形求出直線的單位方向向量.(2)在直線上任取一點M(可選擇特殊便于計算的點).計算點M與直線外的點N的方向向量.(3)垂線段長度.2．求點到平面的距離的常用方法(1)直接法：過P點作平面的垂線，垂足為Q，把PQ放在某個三角形中，解三角形求出PQ的長度就是點P到平面的距離.②轉化法：若點P所在的直線l平行于平面，則轉化為直線l上某一個點到平面的距離來求.③等體積法.④向量法：設平面的一個法向量為，A是內(nèi)任意點，則點P到的距離為.【知識點4立體幾何中的軌跡問題的解題策略】1．動點軌跡的判斷方法動點軌跡的判斷一般根據(jù)線面平行、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結合圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，有時也可以利用空間向量的坐標運算求出動點的軌跡方程.2．立體幾何中的軌跡問題的常見解法(1)定義法：根據(jù)圓或圓錐曲線的定義推斷出動點的軌跡，進而求解軌跡問題.(2)交軌法：若動點滿足的幾何條件是兩動曲線(曲線方程中含有參數(shù))的交點，此時，要首先分析兩動曲線的變化，依賴于哪一個變量?設出這個變量為t，求出兩動曲線的方程，然后由這兩動曲線方程著力消去參數(shù)t，化簡整理即得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法我們稱為交軌法.(3)幾何法：從幾何視角人手，結合立體幾何中的線面平行、線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，找到動點的軌跡，再進行求解.(4)坐標法：坐標法就是通過建立空間直角坐標系，將立體幾何中的軌跡問題轉化為坐標運算問題，進行求解.(5)向量法：不通過建系，而是利用空間向量的運算、空間向量基本定理等來研究立體幾何中的軌跡問題，進行求解.【知識點5立體幾何中的探索性問題的求解策略】1．與空間向量有關的探索性問題的求解策略：在立體幾何中，與空間向量有關的探究性問題主要有兩類：一類是探究線面的位置關系；另一類是探究線面角、二面角或點線面距離滿足特定要求時的存在性問題．解決這兩類探索性問題的解題策略是：先建立空間直角坐標系，引入?yún)?shù)（有些是題中已給出），設出關鍵點的坐標，然后探究這樣的點是否存在，或參數(shù)是否滿足要求，從而作出判斷．【題型1立體幾何中的體積問題】【例1】（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知三棱柱ABC?A1B1C1，如圖所示，P是A1C1，上一動點，點O、D分別是AC、PC的中點，AB⊥BC，AA1=AB=BC=2(1)求證：OD∥平面PAB(2)當AA1⊥平面ABC，且A【變式1-1】（2024·山東日照·二模）在三棱錐P?ABC中，BA⊥BC，PB⊥平面ABC，點E在平面ABC內(nèi)，且滿足平面PAE⊥平面PBE，AB=BC=BP=1．

(1)求證：AE⊥BE；(2)當二面角E?PA?B的余弦值為33時，求三棱錐E?PCB【變式1-2】（2024·河南·模擬預測）如圖，幾何體ABCDEF中，底面ABCD為邊長為2的菱形，平面CDEF⊥平面ABCD，平面BCF⊥平面ABCD，∠DAB=π(1)證明：CF⊥平面ABCD；(2)若DE=132，平面ADE與平面BCF的夾角為π6【變式1-3】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預測）如圖，四棱錐P?ABCD的底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD,PD=2AD=2,M為PD的中點，Q為(1)證明：PC//平面BDQ；(2)若二面角B?DQ?C為45°，求三棱錐Q?BCD【題型2立體幾何中的線段長度問題】【例2】（2024·江蘇南京·二模）如圖，AD//BC，AD⊥AB，點E、F在平面ABCD的同側，CF//AE，AD=1，AB=BC=2，平面ACFE⊥平面ABCD，EA=EC=3

(1)求證：BF//平面ADE；(2)若直線EC與平面FBD所成角的正弦值為41015，求線段【變式2-1】（2024·重慶·模擬預測）如圖，在四棱錐E?ABCD中，EC⊥平面ABCD,AB∥DC,△ACD為等邊三角形，DC=2AB=2,CB=CE，點F為棱BE上的動點．(1)證明：DC⊥平面BCE；(2)當二面角F?AC?B的大小為45°時，求線段CF【變式2-2】（2024·湖北·模擬預測）如圖，AE⊥平面ABCD，E,F在平面ABCD的同側，AE//DF，AD//BC，(1)若B,E,F,C四點在同一平面內(nèi)，求線段EF的長；(2)若DF=2AE，平面BEF與平面BCF的夾角為30°，求線段AE【變式2-3】（2024·湖南·模擬預測）如圖1，在五邊形ABCDP中，連接對角線AD，AD//BC，AD⊥DC，PA=PD=22,AD=2BC=2DC=4，將三角形PAD沿AD折起，連接PC,PB，得四棱錐P?ABCD（如圖2），且PB=22,E為AD的中點，M為

(1)求證：平面PAD⊥平面ABCD；(2)若平面AMN和平面PAB的夾角的余弦值為38729，求線段【題型3空間角問題】【例3】（2024·青?！ざ＃┤鐖D，在三棱柱ABC?A1B1C1中，所有棱長均相等，

(1)證明；AO⊥平面BB(2)若二面角C1【變式3-1】（2024·福建龍巖·三模）如圖，在四棱臺ABCD?A1B1C1D

(1)證明：BD⊥CC(2)若M是棱BC上的點，且滿足BMBC=2【變式3-2】（2024·黑龍江大慶·三模）如圖，在四棱錐P?ABCD中，AD//BC,∠BAD=90°,AD=2BC=4,AB=2，PA=22,∠PAO=45°，且O是

(1)求證：平面POC⊥平面ABC；(2)若二面角P?AD?B的大小為120°，求直線PB與平面PAD【變式3-3】（2024·河南濮陽·模擬預測）如圖所示，在等腰梯形ABCD中，AB//CD，AD=AB=BC=2，CD=4，E為CD中點，AE與BD相交于點O，將△ADE沿AE折起，使點D到達點P的位置（P?平面(1)求證：平面POB⊥平面PBC；(2)若PB=6，試判斷線段PB上是否存在一點Q（不含端點），使得直線PC與平面AEQ所成角的正弦值為155，若存在，求Q在線段【題型4空間點、線、面的距離問題】【例4】（2024·天津和平·二模）如圖，三棱臺ABC?A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AB=2A1B1=4，AA1⊥平面ABC，點(1)證明：CC1∥(2)求直線A1D與平面(3)求點D到平面A1【變式4-1】（2024·廣東·三模）如圖，邊長為4的兩個正三角形ABC，BCD所在平面互相垂直，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，點G在棱AD上，AG=2GD，直線AB與平面EFG相交于點H.(1)證明：BD//(2)求直線BD與平面EFG的距離.【變式4-2】（2024·上?！と＃┤鐖D，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1=AB=2(1)若AD=DB，求異面直線B1D與(2)若CD⊥B1D，求點B【變式4-3】（2024·海南·模擬預測）如圖，在直四棱柱ABCD?A1B1C1D(1)證明：A1(2)若直線AB與平面B1CD1所成角的正弦值為66，點M為線段BD【題型5立體幾何中的作圖問題】【例5】（2024·貴州貴陽·模擬預測）如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=4，AA1=3.設點D為(1)畫出平面α與正三棱柱ABC?A(2)若A1到平面α的距離為32，求AC與平面【變式5-1】（2024·廣東廣州·模擬預測）在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，CD//AB，∠ABC=90°，AB=2CD，三棱錐B?PCD的體積為223，平面PAD與平面

(1)求四棱錐P?ABCD的體積，并在答卷上畫出交線l（注意保留作圖痕跡）；(2)若AB=2BC=4，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD，在l上是否存在點N，使平面PDC與平面DCN所成角的余弦值為63？若存在，求PN【變式5-2】（2023·廣西·模擬預測）已知四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA=AD=4，BA=BC=2，M為PA中點，過C，D，M的平面截四棱錐P?ABCD所得的截面為α．(1)若α與棱PB交于點F，畫出截面α，保留作圖痕跡（不用說明理由），求點F的位置；(2)求平面CDM與平面PBC所成銳二面角的余弦值．【變式5-3】（2024·廣西河池·模擬預測）已知四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為直角梯形，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，PA=AD=4，BA=BC=2，M為PA中點，過C，D，M的平面截四棱錐P?ABCD所得的截面為(1)若α與棱PB交于點F，畫出截面α，保留作圖痕跡（不用說明理由），并證明PBFB(2)求多面體ABCDMF的體積．【題型6立體幾何中的折疊問題】【例6】（2024·四川南充·三模）已知如圖，在矩形ABCD中，AB=2，AD=23，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐M?BCD，其中△MBD是折疊前的△ABD，過M作BD的垂線，垂足為H，MC=(1)求證：MH⊥CD；(2)過H作MB的垂線，垂足為N，求點N到平面MCD的距離.【變式6-1】（2023·甘肅·一模）如圖甲所示的正方形AA′A′1A1中，AA1=12,AB=A1B1=3,BC=B1C1=4，對角線AA(1)證明：BM∥平面APQ；(2)求三棱錐M?APQ的體積.【變式6-2】（2024·全國·模擬預測）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD,∠BAD=90°,CD=2AD=2,AB=3,E為線段AB上靠近點A的三等分點，將△ADE沿著DE折疊，得到四棱錐A?BCDE，使平面ADE⊥平面BCDE,P為線段CE上的點．(1)求證：AD⊥AP；(2)是否存在點P，使得直線AP與平面ABE所成角的正弦值為66?若存在，求出線段EP【變式6-3】（2024·安徽合肥·三模）如圖一：等腰直角△ABC中AC⊥AB且AC=2，分別沿三角形三邊向外作等腰梯形ABB2A2,BCC2B3(1)求證：AA(2)求直線CC1與平面AA【題型7立體幾何中的軌跡問題】【例7】（2024·安徽蕪湖·二模）在三棱錐P?ABC中，PB⊥平面ABC，AB=BC=BP=2，點E在平面ABC內(nèi)，且滿足平面PAE⊥平面PBE,BA垂直于BC．(1)當∠ABE∈π8,(2)當二面角E?PA?B的余弦值為33時，求三棱錐E?PCB【變式7-1】（2024·全國·模擬預測）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC=AA1=3,BC=3(1)求證：點E的軌跡為線段AC(2)求平面ADE與平面ABC夾角的大?。咀兪?-2】（2024·全國·模擬預測）如圖，四邊形ABDC為圓臺O1O2的軸截面，AC=2BD，圓臺的母線與底面所成的角為45°，母線長為2，E(1)已知圓O2內(nèi)存在點G，使得DE⊥平面BEG，作出點G(2)點K是圓O2上的一點（不同于A，C），2CK=AC，求平面ABK與平面CDK【變式7-3】（2024·云南曲靖·模擬預測）如圖，四面體ABCD的每條棱長都等于2，M，G，N分別是棱AB，BC，CD的中點，(1)求證：面OEF//面ABD；(2)求平面OEF與平面ABN的夾角的余弦值；(3)保持點E，F(xiàn)位置不變，在△BCD內(nèi)（包括邊界）拖動點O，使直線MN與平面OEF平行，求點【題型8立體幾何中的探索性問題】【例8】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）如圖，已知AB⊥平面BCE，CD∥AB，△BCE是等腰直角三角形，其中∠EBC=π(1)設線段BE中點為F，證明：CF∥平面ADE(2)在線段AB上是否存在點M，使得點B到平面CEM的距離等于22，如果存在，求MB【變式8-1】（2024·貴州黔西·一模）如圖所示為直四棱柱ABCD?A1B1C1D(1)證明:BC⊥平面MM(2)求直線BC與平面BDA1所成角的正弦值，并判斷線段BC上是否存在點P，使得PB1//【變式8-2】（2024·黑龍江哈爾濱·一模）如圖1，在平行四邊形ABCD中，D=60°,DC=2AD=2，將△ADC沿AC折起，使點D到達點P位置，且PC⊥BC，連接PB得三棱錐P?ABC，如圖2．(1)證明：平面PAB⊥平面ABC；(2)在線段PC上是否存在點M，使平面AMB與平面MBC的夾角的余弦值為58，若存在，求出|PM|【變式8-3】（2024·天津·一模）已知底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA//DQ，PA=AD=3DQ=3，點E、F分別為線段PB、(1)求證：EF//平面PADQ(2)求平面PCQ與平面CDQ夾角的余弦值；(3)線段PC上是否存在點M，使得直線AM與平面PCQ所成角的正弦值是427，若存在求出PM【題型9立體幾何建系繁瑣問題（幾何法）】【例9】（2024·山東·二模）如圖所示，直三棱柱ABC?A1B1C1，各棱長均相等.D，E，F(xiàn)分別為棱(1)證明：平面A1CD⊥平面(2)求直線EF與A1【變式9-1】（2024·陜西銅川·模擬預測）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠ABC=120°，AB=1，BC=4，PB=23，PD⊥CD，點E是BC

(1)求證：PE⊥AD；(2)求點E到平面PAD的距離．【變式9-2】（2024·全國·模擬預測）如圖，在四棱錐P?ABCD中，AB∥CD，且AB⊥AP，CD⊥DP.(1)證明：平面PCD⊥平面PAD；(2)若PA=PD=AB，PA⊥PD，求PB與平面ABCD所成角的大小.【變式9-3】（2024·浙江·模擬預測）.如圖，底面A1B1C1D1固定在底面α上的盛水容器口為正方形ABCD，側棱A(1)證明：底面四邊形A1(2)若已知四條側棱垂直于面ABCD，且AA1=DD1=4，BB1=CC1【題型10新情景、新定義下的立體幾何問題】【例10】（23-24高一下·四川成都·期末）類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1，由射線PA，PB，PC構成的三面角P?ABC，∠APC=α，∠BPC=β，∠APB=γ，二面角A?PC?B的大小為θ，則cosγ=（1）當α、β∈0,（2）如圖2，平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，平面①求∠A②在直線CC1上是否存在點P，使BP//平面D【變式10-1】（24-25高三上·浙江·開學考試）已知Ω是棱長為2的正四面體ABCD，設Ω的四個頂點到平面α的距離所構成的集合為M，若M中元素的個數(shù)為k，則稱α為Ω的k階等距平面，M為Ω的k階等距集.(1)若α為Ω的1階等距平面且1階等距集為a，求a的所有可能值以及相應的α的個數(shù)；(2)已知β為Ω的4階等距平面，且點A與點B,C,D分別位于β的兩側.若Ω的4階等距集為b,2b,3b,4b，其中點A到β的距離為b，求平面BCD與β夾角的余弦值.【變式10-2】（23-24高一下·福建三明·期末）閱讀數(shù)學材料：“設P為多面體M的一個頂點，定義多面體M在點P處的離散曲率為1?12π∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+∠Q3PQ4+?+∠Qk?1P(1)若AC=BD，求四棱柱ABCD?A1B(2)若四棱柱ABCD?A1B1C1D1在頂點(3)截取四面體A1?ABD，若該四面體在點A1處的離散曲率為712，AC【變式10-3】（23-24高一下·湖南長沙·期末）空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用曲率刻畫空間的彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差，其中多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角，角度用弧度制.例如：正四面體每個頂點均有3個面角，每個面角均為π3，故其各個頂點的曲率均為2π?3×π3=π.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，點(1)證明：CN⊥平面ABB(2)若AA1=(3)表面經(jīng)過連續(xù)變形可以變?yōu)榍蛎娴亩嗝骟w稱為簡單多面體.關于簡單多面體有著名歐拉定理：設簡單多面體的頂點數(shù)為D，棱數(shù)為L，面數(shù)為M，則有：D?L+M=2.利用此定理試證明：簡單多面體的總曲率（多面體有頂點的曲率之和）是常數(shù).一、單選題1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）如圖，已知正方形ABCD為圓柱的軸截面，AB=BC=2，E，F(xiàn)為上底面圓周上的兩個動點，且EF過上底面的圓心G，若AB⊥EF，則三棱錐A?BEF的體積為（

）

A．23 B．43 C．222．（2024·全國·模擬預測）已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為4，點M∈平面A．34π B．17π C．34π3．（2024·山東濟南·三模）如圖所示，正方體ABCD?A1B1C1DA．直線D1D與直線AF垂直 B．直線A1C．三棱錐F?ABE的體積為18 D．直線BC與平面AEF所成的角為4．（2024·全國·模擬預測）已知△ABC中，AC=1,AB=2,BC=3，在線段AB上取一點M，連接CM，如圖①所示．將△ACM沿直線CM折起，使得點A到達A′的位置，此時△BCM內(nèi)部存在一點N，使得A′N⊥平面BCM,NC=7A．25 B．35 C．45．（2024·湖北·模擬預測）如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，則點A．22 B．322 C．46．（2024·廣西南寧·一模）在邊長為4的菱形ABCD中，∠ABC=120°．將菱形沿對角線AC折疊成大小為30°的二面角B′?AC?D．若點E為B′C的中點，F(xiàn)為三棱錐B′?ACD表面上的動點，且總滿足A．4+6?22 B．4+6+7．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知四棱錐P?ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD,PD=AD，點E是線段PB上的動點，則直線DE與平面PBC所成角的最大值為（

）A．π6 B．π4 C．π38．（2024·青?！つM預測）如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N，G，H分別為棱AB，BC，AD，CD，A1B1，C1D1的中點，P為DH的中點，連接EH，F(xiàn)G．對于空間任意兩點I，J，若線段A．D B．P C．M D．N二、多選題9．（2024·湖北襄陽·模擬預測）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為A．三棱錐C1?EFG的體積為13 B．C．BC1∥平面EFG D．二面角10．（2024·廣東佛山·模擬預測）如圖，在三棱錐P?ABC中，平面PAC⊥平面ABC，且△PAC和△ABC均是邊長為2的等邊三角形，D,E,F分別為AB,AC,BC的中點，G為PB上的動點（不含端點），平面EFG交直線PA于H，則下列說法正確的是（