陜西省西安市高三上學期期末考試數(shù)學（文）試題

數(shù)學（文）第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵集合，∴故選：A2.復數(shù)，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】∵復數(shù)，，∴∴故選：D3.若，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵a＞b＞0，0＜c＜1，∴l(xiāng)ogca＜logcb，故B正確；∴當a＞b＞1時，0＞logac＞logbc，故A錯誤；ac＞bc，故C錯誤；ca＜cb，故D錯誤；故選：B4.設函數(shù)，若，則實數(shù)的值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】①當m≥2時，f（m）=7為：m2﹣2=7，解得m=3或m=﹣3（舍去），則m=3；②當m＜2時，f（m）=7為：，解得m=27＞2，舍去，綜上可得，實數(shù)m的值是3，故選：D．5.設，則“”是“直線：與直線：平行”的（）A.充分必要條件B.必要不充分條件C.充分不必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】C兩條直線的斜率都是﹣，截距不相等，得到兩條直線平行，故前者是后者的充分條件，∵當兩條直線平行時，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要條件．故選：C．6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果運行結(jié)果為，那么判斷框中應填入（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由題意可知輸出結(jié)果為S=5040，通過第一次循環(huán)得到S=1×2=2，k=3，通過第二次循環(huán)得到S=1×2×3=6，k=4，通過第三次循環(huán)得到S=1×2×3×4=24，k=5，通過第四次循環(huán)得到S=1×2×3×4×5=120，k=6，通過第四次循環(huán)得到S=1×2×3×4×5×6=720，k=7，通過第六次循環(huán)得到S=1×2×3×4×5×6×7=5040，k=8，此時執(zhí)行輸出S=5040，結(jié)束循環(huán)，所以判斷框中的條件為k＞7？．故選：B．點睛：本題的實質(zhì)是累加滿足條件的數(shù)據(jù)，可利用循環(huán)語句來實現(xiàn)數(shù)值的累加（乘）常分以下步驟：（1）觀察S的表達式分析，確定循環(huán)的初值、終值、步長；（2）觀察每次累加的值的通項公式；（3）在循環(huán)前給累加器和循環(huán)變量賦初值，累加器的初值為0，累乘器的初值為1，環(huán)變量的初值同累加（乘）第一項的相關初值；（4）在循環(huán)體中要先計算累加（乘）值，如果累加（乘）值比較簡單可以省略此步，累加（乘），給循環(huán)變量加步長；（5）輸出累加（乘）值．7.已知公差不為的等差數(shù)列滿足，，成等比數(shù)列，為數(shù)列的前項和，則的值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】所以，選C.8.三棱錐的三條側(cè)棱，，兩兩垂直，且，，，則該三棱錐的外接球的體積是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：三棱錐P﹣ABC的三條側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，它的外接球就是它擴展為長方體的外接球，求出長方體的對角線的長：=以球的直徑是，半徑為，球的體積：=．故選：A．點睛：空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解．(2)若球面上四點P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．9.等軸雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，與拋物線的準線交于，兩點，；則的實軸長為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】試題分析：等軸雙曲線焦點在軸上，設其方程為，且．拋物線的準線方程為，代入雙曲線方程，解得．，解得．雙曲線實軸，故選C．考點：1、等軸雙曲線的簡單性質(zhì)；2、拋物線準線方程．10.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】試題分析：由三視圖可知，該幾何體為底面半徑為、高為的圓錐的，所以該幾何體的體積，故選D.考點：三視圖.11.我國古代數(shù)學名著《九章算術》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：第一步：構(gòu)造數(shù)列，，，，…，.①第二步：將數(shù)列①的各項乘以，得數(shù)列（記為），，,…，.則等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】∵ak=．n≥2時，ak﹣1ak==n2（﹣）．∴a1a2+a2a3+…+an﹣1an=n2[（1﹣）+（）+…+（﹣）]=n2（1﹣）=n（n﹣1）．故選：A12.已知函數(shù)，（，，）滿足，且，則下列區(qū)間中是的單調(diào)減區(qū)間的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由可得：，即，∴，∴，∵，∴函數(shù)圖象關于對稱，∴，∴，又，∴，∴令，解得：，令，，∴的單調(diào)減區(qū)間的是故選：A點睛：形如y＝Asin的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法①若A＞0，ω＞0，把ωx＋φ看作是一個整體，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπk∈Z求得函數(shù)的增區(qū)間，由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπk∈Z求得函數(shù)的減區(qū)間.,②若A＞0，ω＜0，則利用誘導公式先將ω的符號化為正，再利用①的方法，或根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律進行求解.第Ⅱ卷二、填空題（每題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.已知向量，的夾角為，，，則__________．【答案】【解析】∵向量，的夾角為，，，∴∴故答案為：14.設，滿足約束條件則取得最大值時的最優(yōu)解為__________．【答案】【解析】作可行域：

Z表示目標函數(shù)線縱截距的相反數(shù)，所以要使z最大，即縱截距最小，所以當目標函數(shù)線過A(5,2)時，目標函數(shù)值最大，為故答案為：點睛：本題考查的是線性規(guī)劃問題，解決線性規(guī)劃問題的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合思想.需要注意的是：一，準確無誤地作出可行域;二，畫目標函數(shù)所對應的直線時，要注意讓其斜率與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯;三，一般情況下，目標函數(shù)的最大值或最小值會在可行域的端點或邊界上取得.15.一根長度為米的繩子，拉直后在任意位置剪斷，則剪得兩段的長都不小于米的概率為__________．【答案】【解析】記“兩段的長都不小于1m”為事件A，則只能在中間1m的繩子上剪斷，才使得剪得兩段的長都不小于1m，所以由幾何概型的公式得到事件A發(fā)生的概率P（A）=．故答案為：16.若對于曲線上任意點處的切線，總存在上處的切線，使得，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】f（x）=﹣ex﹣x的導數(shù)為f′（x）=﹣ex﹣1，設（x1，y1）為f（x）上的任一點，則過（x1，y1）處的切線l1的斜率為k1=﹣ex1﹣1，g（x）=2ax+sinx的導數(shù)為g′（x）=2a+cosx，過g（x）圖象上一點（x2，y2）處的切線l2的斜率為k2=2a+cosx2．由l1⊥l2，可得（﹣ex1﹣1）?（2a+cosx2）=﹣1，即2a+cosx2=，任意的x1∈R，總存在x2∈R使等式成立．則有y1=2a+cosx2的值域為A=[2a﹣1，2a+1]．y2=的值域為B=（0，1），有B?A，即（0，1）?[2a﹣1，2a+1]．即，解得0≤a≤．故答案為：[0，]．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.若向量，，其中.記函數(shù)，若函數(shù)的圖象上相鄰兩個對稱軸之間的距離是.（1）求的表達式；（2）設三內(nèi)角、、的對應邊分別為、、，若，，，求的面積.【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知利用平面向量數(shù)量積的運算化簡可得函數(shù)解析式f（x）=，由題意可知其周期為π，利用周期公式可求ω，即可得解函數(shù)解析式．（Ⅱ）由f（C）=1，得，結(jié)合范圍0＜C＜π，可得，解得C=，結(jié)合已知由余弦定理得ab的值，由面積公式即可計算得解．試題解析：（1）∵，∴由題意可知其周期為，，即，∴.（2）由，得，∵，∴，∴，解得，又∵，，由余弦定理得，∴，即，∴由面積公式得面積為.18.如圖，直三棱柱中，，分別是，的中點.（1）證明：平面；（2）設，，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】試題分析：（1）連結(jié)AC1交A1C于點F，連結(jié)DF，則BC1∥DF，由此能證明BC1∥平面A1CD；（2）由已知得AA1⊥CD，CD⊥AB，從而CD⊥平面ABB1A1．由此能求出三菱錐C﹣A1DE的體積．試題解析：（1）連結(jié)交于點，則為中點，又是中點，連結(jié)，則.因為平面，平面，所以平面.（2）因為是直三棱柱，所以.由已知，為的中點，所以.又，于是平面.由，得，，，，，故，即.所以.點睛：:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解．(2)若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等方法進行求解．(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．19.為了迎接第二屆國際互聯(lián)網(wǎng)大會，組委會對報名參加服務的名志愿者進行互聯(lián)網(wǎng)知識測試，從這名志愿者中采用隨機抽樣的方法抽取人，所得成績?nèi)缦拢?，，，，，，，，，，，，，?（1）作出抽取的人的測試成績的莖葉圖，以頻率為概率，估計這志愿者中成績不低于分的人數(shù)；（2）從抽取的成績不低于分的志愿者中，隨機選名參加某項活動，求選取的人恰有一人成績不低于分的概率.【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)成績，莖為十位數(shù)字5,6,7,8,9，個數(shù)數(shù)字為葉，得莖葉圖，由樣本得成績在90以上頻率為，由此可估計出成績不低于90分的人數(shù)；（Ⅱ）抽取的成績不低于80分的志愿者有6人，從中選3人可有20種選法（可用列舉法列出各種可能），然后再數(shù)出恰有一人成績不低于90分的有12種，由概率公式可得概率．試題解析：（Ⅰ）抽取的15人的成績莖葉圖如圖所示，由樣本得成績在90以上頻率為，故志愿者測試成績在90分以上（包含90分）的人數(shù)約為=200人.（Ⅱ）設抽取的15人中，成績在80分以上（包含80分）志愿者為,,,,,,其中，的成績在90分以上（含90分），成績在80分以上（包含80分）志愿者中隨機選3名志愿者的不同選法有：{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{,,},{,,},{,,}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，},{，，}共20種，其中選取的3人中恰有一人成績在90分以上的不同取法有：{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{,,},{,,}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}共12種，∴選取的3人中恰有一人成績在90分以上的概率為=.考點：莖葉圖，樣本估計總體，古典概型．20.已知是圓：上的動點，在軸上的射影為，點是線段的中點，當在圓上運動時，點形成的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）經(jīng)過點的直線與曲線相交于點，，并且，求直線的方程.【答案】(1)；(2).【解析】試題分析：（1）利用代入法，求曲線E的方程；試題解析：（1）設，則在圓上，所以，即（2）（?。┊斨本€斜率不存在時，經(jīng)檢驗，不滿足題意；（ⅱ）設直線斜率為，則其方程為，則令，得設，①②又由，得，將它代入①，②，得，（滿足）所以直線的斜率為，所以直線的方程為.21.已知函數(shù)，.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，判斷方程在區(qū)間上有無實根；（3）若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)內(nèi)無實數(shù)根；（3）.【解析】試題分析：（2）把m的值代入后，求出f（1），求出x=1時函數(shù)的導數(shù)，由點斜式寫出曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）代入m的值，把判斷方程f（x）=g（x）在區(qū)間（1，+∞）上有無實根轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)h（x）=f（x）﹣g（x）在（1，+∞）上有無零點問題，求導后利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到答案；（Ⅲ）把f（x）和g（x）的解析式代入不等式，整理變形后把參數(shù)m分離出來，x∈（1，e]時，不等式f（x）﹣g（x）＜2恒成立，轉(zhuǎn)化為實數(shù)m小于一個函數(shù)在（1，e]上的最小值，然后利用導數(shù)分析函數(shù)在（1，e]上的最小值．試題解析：（1）時，，，，切點坐標為，∴切線方程為（2）時，令，，∴在上為增函數(shù)，又，所以在內(nèi)無實數(shù)根.（3）恒成立，即恒成立.又，則當時，恒成立，令，只需小于的最小值.，∵，∴，∴時，，∴在上單調(diào)遞減，∴在的最小值為，則的取值范圍是.點睛：導數(shù)問題經(jīng)常會遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不