數(shù)學(xué)自主練習(xí)：推理案例賞析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場(chǎng)我夯基我達(dá)標(biāo)1。已知一個(gè)命題P(k）,這里k=2n(n∈N＊)，當(dāng)n=1,2，…，999時(shí)，P(k)成立，并且當(dāng)n=999+1時(shí)它也成立.則下列命題中正確的是()A。P(k）對(duì)于k=2002成立B.P（k）對(duì)于每一個(gè)自然數(shù)k成立C.P(k)對(duì)于每一個(gè)偶數(shù)k成立D.P（k)對(duì)于某個(gè)偶數(shù)可能不成立思路解析:由已知k=2，4，6，…，2000時(shí)命題成立，其他數(shù)成立不成立不確定。答案:D2.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n（na+b)+c對(duì)一切n∈N＊都成立.則a=__________，b=__________,c=__________。思路解析：法一：錯(cuò)位相減法，求左邊的和.設(shè)Sn=1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n—1,3Sn=1×3+2×32+3×33+…+（n-1)·3n-1+n·3n,∴—2Sn=1+3+32+33+…+3n—1—n·3n=—n·3n=(—n)·?！郤n=（)·=3n(na+b)+c?！郺=,b=,c=.法二：令n=1，2,3,解方程組.答案:3。等式:12+22+32+…+n2=，則()A.n為任何自然數(shù)時(shí)都成立B。僅當(dāng)n=1，2，3時(shí)成立C.n=4時(shí)成立，n=5時(shí)不成立D.僅當(dāng)n=4時(shí)不成立思路解析:先將n=1、2、3、4、5分別代入驗(yàn)證。答案：B4。觀察:（a—b)（a+b）=a2-b2；(a-b）（a2+ab+b2)=a3—b3；(a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4—b4；……猜出___________=an-bn。思路解析：觀察式子，找規(guī)律.答案:(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+a2bn—3+abn—2+bn—1）5.1=1;1-4=—(1+2);1-4+9=1+2+3；1—4+9—16=-（1+2+3+4）；……則第n個(gè)式子為_____________。思路解析：觀察左、右兩邊的數(shù)及其變化答案：1—4+9—16+…+（—1）n-1·n2=（—1)n—1（1+2+…+n)我綜合我發(fā)展6.正三角形內(nèi)的任意一點(diǎn)到三邊的距離之和是一個(gè)定值。(1）用面積方法證明這個(gè)命題；（2）將這個(gè)命題類比到空間中去,并用體積法證明.思路分析：將三角形分割為三個(gè)三角形，并類比到空間，正三角形對(duì)應(yīng)正四面體解：（1)設(shè)點(diǎn)O是正△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，它到三邊距離分別為h1、h2、h3,正△ABC的高為h，則S△OAB+S△OBC+S△OCA=S△ABC.∴AB·h.∴h1+h2+h3=h。（2）正四面體中任意一點(diǎn)到各面的距離之和是一定值。設(shè)O為正四面體A-BCD內(nèi)任意一點(diǎn)，到各面的距離分別為h1、h2、h3、h4，正四面體的高為h.則VO—ABC+VO-ABD+VO—ACD+VO—BCD=VA—BCD，即.∴h1+h2+h3+h4=h。7.(2004上海春季高考,20)如圖2-1-17所示,點(diǎn)P為斜三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱BB1上一點(diǎn)，PM⊥BB1交AA1圖2—1-17(1)求證：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2—2DF·EFcos∠DFE。拓展到空間,類比三角形的余弦定理,寫出斜三棱柱的三個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并加以證明.思路分析：本題通過(guò)類比將平面內(nèi)余弦定理擴(kuò)展到空間。證明：(1）∵CC1∥BB1，∴CC1⊥PM,CC1⊥PN.∴CC1⊥平面PMN.∴CC1⊥MN。(2)在斜三棱柱ABC-A1B1C1,其中α為側(cè)面AA1B1B與側(cè)面CC1B1B成的二面角.在△PMN中，MN2=PM2+PN2-2PM·PNcosα，兩邊同乘以側(cè)棱長(zhǎng)BB12即可得到結(jié)論。8。(經(jīng)典回放）若M、N是橢圓C：=1(a＞b＞0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在時(shí),記為kPM,kPN，那么kPM·kPN之積是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值.試對(duì)雙曲線=1（a＞0,b＞0)寫出具有類似特征的性質(zhì)，并加以證明.思路分析：利用類比得相同的結(jié)論,用圓錐曲線的知識(shí)給出證明。解：若M、N是雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM，k