數(shù)學(xué)自主練習(xí)：推理案例賞析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達標1。已知一個命題P(k）,這里k=2n(n∈N＊)，當n=1,2，…，999時，P(k)成立，并且當n=999+1時它也成立.則下列命題中正確的是()A。P(k）對于k=2002成立B.P（k）對于每一個自然數(shù)k成立C.P(k)對于每一個偶數(shù)k成立D.P（k)對于某個偶數(shù)可能不成立思路解析:由已知k=2，4，6，…，2000時命題成立，其他數(shù)成立不成立不確定。答案:D2.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n（na+b)+c對一切n∈N＊都成立.則a=__________，b=__________,c=__________。思路解析：法一：錯位相減法，求左邊的和.設(shè)Sn=1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n—1,3Sn=1×3+2×32+3×33+…+（n-1)·3n-1+n·3n,∴—2Sn=1+3+32+33+…+3n—1—n·3n=—n·3n=(—n)·?！郤n=（)·=3n(na+b)+c?！郺=,b=,c=.法二：令n=1，2,3,解方程組.答案:3。等式:12+22+32+…+n2=，則()A.n為任何自然數(shù)時都成立B。僅當n=1，2，3時成立C.n=4時成立，n=5時不成立D.僅當n=4時不成立思路解析:先將n=1、2、3、4、5分別代入驗證。答案：B4。觀察:（a—b)（a+b）=a2-b2；(a-b）（a2+ab+b2)=a3—b3；(a-b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4—b4；……猜出___________=an-bn。思路解析：觀察式子，找規(guī)律.答案:(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+a2bn—3+abn—2+bn—1）5.1=1;1-4=—(1+2);1-4+9=1+2+3；1—4+9—16=-（1+2+3+4）；……則第n個式子為_____________。思路解析：觀察左、右兩邊的數(shù)及其變化答案：1—4+9—16+…+（—1）n-1·n2=（—1)n—1（1+2+…+n)我綜合我發(fā)展6.正三角形內(nèi)的任意一點到三邊的距離之和是一個定值。(1）用面積方法證明這個命題；（2）將這個命題類比到空間中去,并用體積法證明.思路分析：將三角形分割為三個三角形，并類比到空間，正三角形對應(yīng)正四面體解：（1)設(shè)點O是正△ABC內(nèi)任意一點，它到三邊距離分別為h1、h2、h3,正△ABC的高為h，則S△OAB+S△OBC+S△OCA=S△ABC.∴AB·h.∴h1+h2+h3=h。（2）正四面體中任意一點到各面的距離之和是一定值。設(shè)O為正四面體A-BCD內(nèi)任意一點，到各面的距離分別為h1、h2、h3、h4，正四面體的高為h.則VO—ABC+VO-ABD+VO—ACD+VO—BCD=VA—BCD，即.∴h1+h2+h3+h4=h。7.(2004上海春季高考,20)如圖2-1-17所示,點P為斜三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱BB1上一點，PM⊥BB1交AA1圖2—1-17(1)求證：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2—2DF·EFcos∠DFE。拓展到空間,類比三角形的余弦定理,寫出斜三棱柱的三個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并加以證明.思路分析：本題通過類比將平面內(nèi)余弦定理擴展到空間。證明：(1）∵CC1∥BB1，∴CC1⊥PM,CC1⊥PN.∴CC1⊥平面PMN.∴CC1⊥MN。(2)在斜三棱柱ABC-A1B1C1,其中α為側(cè)面AA1B1B與側(cè)面CC1B1B成的二面角.在△PMN中，MN2=PM2+PN2-2PM·PNcosα，兩邊同乘以側(cè)棱長BB12即可得到結(jié)論。8。(經(jīng)典回放）若M、N是橢圓C：=1(a＞b＞0）上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在時,記為kPM,kPN，那么kPM·kPN之積是與點P位置無關(guān)的定值.試對雙曲線=1（a＞0,b＞0)寫出具有類似特征的性質(zhì)，并加以證明.思路分析：利用類比得相同的結(jié)論,用圓錐曲線的知識給出證明。解：若M、N是雙曲線上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM，k