數(shù)學(xué)自主訓(xùn)練：絕對(duì)值不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場(chǎng)我夯基我達(dá)標(biāo)1。若｜x—a｜〈h,｜y-a|<k，則下列不等式一定成立的是(）A.｜x—y｜〈2hB。|x—y｜<2kC。｜x-y|〈h+kD。|x-y|<｜h-k｜思路解析：｜x—y｜=|（x—a）+（a-y)｜≤｜x—a｜+｜y-a|〈h+k.答案：C2.已知實(shí)數(shù)a，b滿足ab〈0,則下列不等式成立的是（）A。｜a+b｜>|a-b｜B.|a+b|<|a—b｜C.｜a-b|〈|｜a｜-|b||D.｜a—b|<｜a｜+|b|思路解析：∵ab<0,∴a，b異號(hào)，令a=2,b=—3。則｜a+b|=｜2—3|=1，｜a-b｜=｜2-（—3)｜=5，1〈5,∴|a+b|〈|a-b|.答案:B3。已知h>0,a，b∈R，命題甲:|a—b|<2h；命題乙：|a—1|<h且|b—1｜〈h，則甲是乙的（)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D。既不充分又不必要條件思路解析：顯然a與b的距離可以很近，滿足|a-b｜〈2h，但a,b與1的距離可以很大，因此甲不能推出乙，另一方面，若｜a-1｜<h,|b—1|<h,則｜a—b|=｜a-1+1-b｜≤|a-1|+｜b-1｜<2h，乙可以推出甲。因此甲是乙的必要不充分條件。答案：B4.已知a,b，c∈R,且a〉b〉c，則有(）A.｜a｜>｜b｜>｜c(diǎn)｜B.｜ab｜>|bc｜C。｜a+b｜〉｜b+c｜D.｜a-c|>｜a-b|思路解析：∵a,b,c∈R，且a〉b>c，∴令a=2,b=1,c=—6。|a｜=2,｜b｜=1,|c｜=6，｜b|<｜a|〈｜c(diǎn)｜,故排除A.又｜ab|=2,｜bc｜=6,|ab｜〈｜bc｜，故排除C.∵｜a-c|=|2—(—6）｜=8,|a—b｜=1，|a—c|〉|a-b｜.答案：D5.若｜a—c｜<b，則下列不等式不成立的是（）A。|a|〈|b｜+｜c(diǎn)｜B.｜c(diǎn)|〈|a｜+|b｜C.b>｜|c｜—｜a｜|D.b〈||a|—|c|｜思路解析：∵｜a-c｜<b，令a=1，c=2，b=3,則|a|=1，|b｜+｜c(diǎn)｜=5，∴｜a｜<|b|+|c｜成立。｜c(diǎn)|=2,｜a｜+|b|=4,∴｜c(diǎn)|〈｜a｜+｜b|成立.|｜c(diǎn)｜-|a||=||2|—|1｜|=1，∴b〉｜|c|-｜a｜｜成立。答案：D6。設(shè)|a｜〈1，｜b|<1，則|a+b|+｜a—b｜與2的大小關(guān)系是___________.思路解析：當(dāng)a+b與a—b同號(hào)時(shí)，｜a+b｜+|a—b｜=|（a+b)+(a—b)｜=2|a|<2。當(dāng)a+b與a-b異號(hào)時(shí)，|a+b|+｜a—b|=|(a+b)—（a-b)|=2|b｜<2。綜上，可知|a+b|+|a—b｜〈2。答案：|a+b｜+|a—b|〈27.已知p,q,x∈R,pq≥0，x≠0,則｜px+｜____________。思路解析：當(dāng)p，q至少有一個(gè)為0時(shí)，｜px+|≥。當(dāng)pq>0時(shí)，p，q同號(hào)，則px與q［]x同號(hào)?！鄚px+｜=|px|+||≥。綜上,可知｜px+|≥。答案：≥8。設(shè)x,y∈R，求證|2x-x｜+｜2y-y｜+｜x+y|≥。思路分析:由于含有多個(gè)絕對(duì)值，因而可以聯(lián)系絕對(duì)值不等式的性質(zhì)。變形后，利用基本不等式放縮得到結(jié)果.證明：由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，得｜2x-x｜+｜2y—y｜≥|2x+2y-(x+y)｜≥｜2x+2y｜—｜x+y｜,∴|2x+2y—（x+y）|+｜x+y|≥2x+2y?！鄚2x-x|+|2y-y|+｜x+y|≥2x+2y。又∵2x+2y≥,∴原不等式成立。我綜合我發(fā)展9.使不等式|x—4｜+｜3-x|<a成立的條件是(）A.0〈a〈B.0〈a≤1C.〈a〈1思路解析：要使不等式成立，須a〉［|x-4｜+|3—x|］min.由｜x-4|+｜3-x|的幾何意義，知數(shù)軸上動(dòng)點(diǎn)（x,0)到定點(diǎn)（4,0),(3，0）的距離和的最小值為1,所以a>1。答案:D10.已知｜a｜≠｜b|，m=，n=，則m，n之間的大小關(guān)系是（）A.m〉nB。m<nC。m=nD。m≤n思路解析：由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，知：|a｜—｜b｜≤|a±b|≤｜a｜+|b|。∴.答案：D11。若不等式｜x—4|-|x-3|≤a對(duì)一切x∈R恒成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.a〉1B。a〈1C思路解析：設(shè)f（x）=|x-4｜—｜x-3|,則f(x)≤a對(duì)一切x∈R恒成立的充要條件是a≥f（x)的最大值,因?yàn)閨x—4|-｜x-3|≤｜(x—4）-（x-3）|=1,即f(x)的最大值等于1，所以a≥1.答案：D12.求證：。思路分析：比較要證明的不等式左右兩邊的形式完全相同,易使我們聯(lián)想到利用構(gòu)造函數(shù)的方法，再用單調(diào)性去證明.證明：設(shè)f（x)=，定義域?yàn)閧x|x∈R,且x≠-1｝，f(x)分別在（—∞,—1）,(-1,+∞)上是增函數(shù).又0≤|a+b|≤｜a|+|b｜，∴f（｜a+b｜）≤f（|a|+|b|），即?！嘣坏仁匠闪?13。已知f（x）=x2—2x+7,且｜x—m｜〈3，求證：|f（x）—f（m)｜<6｜m|+15。思路分析：f（x）—f（m）因式分解后，利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)放縮.證明：|f（x）—f（m）|=｜（x-m)·（x+m-2)｜=｜x-m｜·|x+m—2｜〈3｜x+m—2｜≤3（｜x|+｜m|+2).又|x—m|<3,∴—3+m〈x〈3+m.∴3(|x｜+|m｜+2）<3(3+｜m｜+|m｜+2)=6｜m｜+15?！鄚f（x)—f(m)｜<6｜m|+15。14.設(shè)f(x）=ax2+bx+c(a≠0），當(dāng)｜x｜≤1時(shí)，總有｜f（x)｜≤1,求證：|f(2)|≤8.思路分析：本題可巧妙運(yùn)用絕對(duì)值定理,對(duì)函數(shù)值進(jìn)行放縮，注意到f(2）=4a+2b+c，故先求｜a|，|b|,｜c(diǎn)|的范圍，從而求出｜f(2)|≤8.證明：由題設(shè)，知|f（0)｜≤1，∴｜c(diǎn)｜≤1.①又∵2b=f(1）—f(—1),∴|