數(shù)學自主訓練：平面的基本性質(zhì)與推論

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達標1.下列圖形中,滿足α∩β=AB，aα，bβ，a∥AB，b∥AB的圖形(圖1-2—1-14)是()圖1-2—1—14思路解析:可以根據(jù)圖形的特點及直線與平面平行的性質(zhì)進行判斷,也可以使用反證法進行證明。答案:C2.若點B在直線b上，b在平面β內(nèi)，則B、b、β之間的關(guān)系可以記作()A。B∈b∈βB。B∈bβC.BbβD。Bb∈β思路解析:關(guān)鍵是弄清點與直線是元素與集合之間的關(guān)系,直線與平面是集合與集合之間的關(guān)系。答案：B3。如果直線a平面α，直線b平面α,M∈α,N∈b且M∈l，N∈l,那么（）A.lαB。lαC.l∩α=MD.l∩α=N思路解析：因為M∈α，N∈b,a，bβ，所以M，N∈α,而MN確定平面l,根據(jù)公理1可知lα。故選A.答案：A4.已知一條直線和這條直線外不在同一直線上的三點,討論可以確定平面的個數(shù)。思路分析：解決問題要圍繞條件，關(guān)鍵是分清點與直線的各種位置關(guān)系，進行分類討論。公理3及其推論是高考考查的重點知識，一般是與排列組合知識綜合在一起考查.要注意分類討論思想的應(yīng)用.解：設(shè)直線l及l(fā)外不共線的三點A、B、C。由公理3知A、B、C可以確定一個平面α，若l在α內(nèi)，這時只能確定一個平面。若l不在α內(nèi),（1）若A、B、C中有兩點與l共面,這時可以確定三個平面。（2)若A、B、C中無任何兩點與l共面，這時可以確定四個平面.綜上所述，一直線與這條直線外不共線的三點，確定平面的個數(shù)可以是1個、3個或4個。5.如圖1-2-1—15，直線a∥b∥c,直線l分別交a、b、c于點A、B、C,求證：四條直線a、b、c、l共面。圖1-2-1-15思路分析：證明共面問題的主要依據(jù)是公理3及其推論，由此入手進行思維，發(fā)掘解題方法.證明共面的方法有:(1）先根據(jù)公理3及其推論確定一個平面，再證明有關(guān)的點、線在此平面內(nèi);（2）過有關(guān)的點、線分別確定一個平面,然后再證明這些平面重合；（3)反證法。證法一:∵a∥b，∴a,b確定一個平面a。∵A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α.又A∈l，B∈l，∴l(xiāng)α?！逤∈l，∴C∈α。∴a與C同在d內(nèi).又∵a∥c，∴直線a、c確定一個平面β.∵點C∈c，cβ，則點C∈β，即平面β也是直線a和點C確定的平面?！嗥矫姒梁推矫姒轮睾?，因此cα?！郺、b、c、l共面.證法二：由證法一得a、b、l共面α,即b在a、l確定的平面內(nèi).同理，可證c在a、l確定的平面內(nèi)?！哌^a與l只能確定一個平面，∴a、b、c、l共面于a、l確定的平面。我綜合我發(fā)展6.如圖1—2-1—16，已知E、F與G分別為正方體ABCD—A1B1C1D1棱AB、B1C1與DA的中點,試過E、F、G三點作正方體ABCD—A1B1C1圖1-2—1—16思路解析:公理2是確定截面的理論依據(jù)，同時本題中也蘊含了點共線的證明方法，通常證明兩個點都在兩個平面的交線上，再證明第三點既在第一個平面內(nèi)，又在第二個平面內(nèi),即也在交線上。解決過點的截面問題關(guān)鍵在于能依據(jù)公理2及公理3確定截面與幾何體的交線.圖1—2—1—17作法：(1)連結(jié)GE并延長交CB延長線于M，交CD延長線于N，連結(jié)MF，交棱B1B于點H，連結(jié)HE.(2)延長EH交A1B1的延長線于點R.連結(jié)FR，F(xiàn)R交D1C1（3）連結(jié)QN交D1D于點K，連結(jié)KG。六邊形KGEHFQ就是所要作的截面。7。有一種骰子，每一面上都有一個英文字母，圖1—2—1-18是從3種不同的角度看同一粒骰子的情形。請問H反面的字母是什么？圖1—2-1—18思路分析:此題中解決問題的關(guān)鍵點在于能夠把空間正方體的表面展開成一個平面圖形,這種化空間為平面的解題思想是立體幾何解題的一種基本思想。同時在學習立體幾何時,可以借助實物模型培養(yǎng)自己的空間想象能力.解：H的反面是S，原正方體表面字母的排列如圖.圖1—2—1-19代數(shù)解法:由①設(shè)S的對面X,H的對面Y，E的對面Z.見題圖.若X、Y、Z中沒有S，則由①②知S的相鄰4個面分別為H、E、O、P,但由②③知S相鄰的面中有兩個不同的P，與已知矛盾.∴X、Y、Z中還有一個S,即六個面是E、H、S、O、P、S的某種排列,與P相鄰的面有S、O、H、S。∴P與E相對，即Z=P。又由②③中P的倒置知，②到③的變化中有一個翻轉(zhuǎn)過程，故H的反面為S.8。已知三個平面兩兩相交，有三條交線，求證:若這三條交線不平行，則它們交于一點.思路分析:證明三線共點的基本思路是先證其中兩條直線有交點,再證該交點在第三條直線上。對于證空間中多線共點，平面幾何中證多線共點的思維方法仍然適用，只是在思考中應(yīng)考慮空間圖形的特點.答案:已知:如圖,設(shè)三個平面為α、β、γ，且α∩β=c，α∩γ=b,β∩γ=a.且a、b、c不平行.圖1-2—1-20求證：a、b、c三線交于一點.證明：α∩β=c，α∩γ=b，∴bα,cα.∵b、c不相互平行,∴b、c交于一點.設(shè)b∩c=P，∵P∈c,cβ，∴P∈β。同理，P∈γ.∵β∩γ=a，∴P∈a.故a、b、c交于一點P.9。如圖1-2-1-21,點A平面BCD,E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點，若EH與FG交于P(這樣的四邊形ABCD就叫做空間四邊形）。求證：P在直線BD上.圖1-2—1—21思路分析:證明點在直線上及三點共線都