數(shù)學(xué)自主訓(xùn)練：平面向量的線性運(yùn)算

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場(chǎng)我夯基我達(dá)標(biāo)1.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則|+++|為（）A.1B。C。3D.2思路解析：｜+++｜=2｜|=2。答案：D2.如圖2—2—8，四邊形ABCD為菱形，則下列等式中成立的是(）圖2-2—8A。+=B.+=C。+=D.+=思路解析：結(jié)合向量加法的幾何意義再充分利用三角形法則和平行四邊形法則就很容易找出答案了。答案：C3。已知向量a∥b，且|a｜＞｜b｜＞0，則向量a+b的方向（)A。與向量a方向相同B.與向量a方向相反C。與向量b方向相同D.與向量b方向相反思路解析:可以結(jié)合圖形再根據(jù)平行四邊形法則就可以很容易得出正確答案.a∥b說明兩個(gè)向量是共線向量。答案:A4。已知菱形的兩鄰邊=a,=b，其對(duì)角線交點(diǎn)為D,則等于（）A。a+bB。a+bC。(a+b)D.a+b思路解析：根據(jù)向量加法的幾何意義,由平行四邊形法則及平行四邊形的性質(zhì)可以得到。答案:C5.a、b為非零向量,且｜a+b｜=|a|+|b｜，則（）A。a∥b，且a與b方向相同B.a、b是共線向量C.a=—bD。a、b無論什么關(guān)系均可思路解析：當(dāng)兩個(gè)非零向量a與b不共線時(shí)，a+b的方向與a、b的方向都不相同，且｜a+b｜＜｜a|+|b|；向量a與b同向時(shí)，a+b的方向與a、b的方向都相同，且|a+b|=|a｜+|b|；向量a與b反向且｜a|＜｜b|時(shí)，a+b的方向與b的方向相同(與a方向相反），且|a+b｜=|b｜—|a｜.答案:A6.若三個(gè)向量a、b、c滿足a·b·c=0，則a、b、c可以組成（)A。一條直線B.三個(gè)點(diǎn)C。三角形D。不確定思路解析：當(dāng)a、b、c共線時(shí)，不能構(gòu)成三角形，當(dāng)a、b、c不共線時(shí)，由向量加法的三角形法則可知能構(gòu)成三角形。答案：D7。設(shè)a表示“向東走了2Skm”，b表示“向南走了2Skm”，c表示“向西走了2Skm”,d表示“向北走了2Skm",則（1）a+d表示向______________走了______________km；(2）b+c表示向______________走了______________km；(3）a+c+d表示向______________走了______________km；（4）b+c+d表示向______________走了______________km；(5)若a表示向東走8km，b表示向北走8km,則|a+b|=____________km，a+b的方向是____________；（6)一架飛機(jī)向北飛行300km后改變航向向__________飛行__________km,兩次飛行位移之和的方向?yàn)楸逼?3.1°,大小為500km，飛行路程為__________km.思路解析：用向量表示位移，進(jìn)行向量運(yùn)算后，回扣物理意義即可.答案：（1)東北2S(2)西南2S(3)北2S（4）西2S(5）8東偏北45°(6）西4007008。已知||=｜｜=，且∠AOB=120°,則|+|=_____________。思路解析:利用|a｜2=a2，展開即可求得；也可利用向量加法的幾何意義，作出平行四邊形，研究平行四邊形的性質(zhì)求解.以、為鄰邊作平行四邊形OACB，則=+，因?yàn)閨｜=|｜=，且∠AOB=120°，所以△OAC是正三角形.所以|+｜=||=｜|=。答案:9。已知非零向量a、b，且a+b平分a、b的夾角，則向量a、b的關(guān)系是____________.思路解析：可利用向量加法的幾何意義,作出平行四邊形，研究平行四邊形的性質(zhì)即可。在平行四邊形OACB中，=a，=b，則對(duì)角線=a+b，因?yàn)閍+b平分a、b的夾角.所以△OAC≌△OBC.所以｜a|=｜b|。答案：｜a|=｜b｜我綜合我發(fā)展10。已知兩個(gè)不共線向量e1和e2，如果=2e1+3e2，=6e1+23e2，=4e1-8e2。求證：A、B、D三點(diǎn)共線.思路分析:欲證A、B、D三點(diǎn)共線，只要證明與共線即可，然后根據(jù)向量共線的條件.證明：∵=++=2e1+3e2+6e1+23e2+4e1—8e2=12e1+18e2=6（2e1+3e2)=6，∴向量與共線.又∵與有共同的起點(diǎn)A，∴A、B、D三點(diǎn)共線.11。求證：對(duì)任意向量a、b,都有｜a+b|≤｜a｜+|b｜。思路分析：對(duì)向量a、b,按照共線與不共線分類討論來研究其長(zhǎng)度問題.證明:（1)當(dāng)a、b不共線時(shí)，如下圖，a+b=，∵△OAB中，｜|＜｜｜+||，∴｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜.（2）當(dāng)a、b不共線時(shí),a、b同向則|a+b｜=｜a|+｜b|；a、b反向則|a+b｜＜｜a｜+｜b｜.∴對(duì)任意向量a、b,都有|a+b|≤｜a｜+｜b|.12。用向量方法證明：梯形中位線平行于底且等于上、下兩底和的一半.思路分析：用向量法證明幾何問題，首先要用向量表示幾何元素,然后進(jìn)行向量線性運(yùn)算，最后用運(yùn)算結(jié)果的幾何意義解釋即可.答案:已知：如下圖，梯形ABCD中,E、F是兩腰AD、BC的中點(diǎn)，求證:EF∥AB∥CD，且EF=（AB+CD)。證明：∵E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),∴=—，=-?！?++,=++，∴=（+++++）=（+）。又∵DC∥AB，設(shè)=λ，∴=（+）=（+λ）=.∴∥.∵E、F、D、C四點(diǎn)不共線,∴EF∥CD。同理,∥.且｜|=(||+｜｜)?！郋F=（AB+CD).13。在重300N的物體上系兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè)，與鉛垂線的夾角分別為30°、60°(如圖2—2—9），求重物平衡時(shí)，兩根繩子拉力的大小.圖2-2-9思路分析：物理中力的分解實(shí)質(zhì)上是尋找兩個(gè)向量，使其和向量為一直向量。解：如下圖,作平行四邊形OACB，使∠AOC=30°，∠BOC=60°,在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，｜｜=||cos30°=×300=（N）;||=|｜sin30°=×300=150（N)；｜｜=|｜=150（N）.答：與鉛垂線的夾角為30°的繩子拉力是N,與鉛垂線的夾角為60°的繩子拉力是150N。14。一艘漁船在航行中遇險(xiǎn)，發(fā)出警報(bào)，在遇險(xiǎn)處西10nmile處有一艘貨船收到警報(bào)后立即偵察，發(fā)現(xiàn)漁船正向正南方向以9nmile/h的速度向一小島靠近，貨船的最大航速為18nmile/h，要想盡快將這只漁船救出險(xiǎn)境,求貨船的行駛方向和所用時(shí)間。思路分析:本題是實(shí)際問題，首先根據(jù)實(shí)際條件，用向量表示位移,作出圖形，解決幾何問題即可。解：如下圖，漁船在A處遇險(xiǎn)，