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文檔簡介
冀教版八年級上第十七章特殊三角形17.3勾股定理第1課時認識勾股定理01名師點金02認知基礎(chǔ)練03素養(yǎng)提升練目
錄CONTENTS
勾股定理的適用條件:直角三角形.勾股定理反映了直
角三角形三邊的關(guān)系,即已知直角三角形兩邊長可求第三邊
長.對于非直角三角形問題,可根據(jù)圖形特征構(gòu)造直角三角
形,運用時要分清直角邊和斜邊,在Rt△
ABC
中,斜邊不
一定是
c
.返回知識點1
勾股定理1.
在△
ABC
中,∠
C
=90°,∠
A
,∠
B
,∠
C
的對邊分
別是
a
,
b
,
c
,則下列式子成立的是(
A
)A.
a2+
b2=
c2B.
a2+
c2=
b2C.
a2-
b2=
c2D.
a
+
b
=
c
【點撥】∵∠
C
=90°,∠
A
,∠
B
,∠
C
的對邊分別是
a
,
b
,
c
,∴
a2+
b2=
c2.故選A.
A123456789101112返回
(第2題)123456789101112
∴4×3=4CD+5CD,
由題意知AD平分∠BAC,∵DC⊥AC,∴CD=
DM,∵∠C=90°,AB=5,BC=3,
【點撥】如圖,作DM⊥AB于點M,D【答案】123456789101112返回3.
[2023·隨州]如圖,在Rt△
ABC
中,∠
C
=90°,
AC
=
8,
BC
=6,
D
為
AC
上一點,若
BD
是∠
ABC
的平分
線,則
AD
=
?.(第3題)5
123456789101112【點撥】如圖,過點
D
作
DE
⊥
AB
于點
E
.
∵∠
C
=90°,∴
CD
⊥
BC
,∵
BD
是∠
ABC
的平分線,∴
CD
=
DE
.
∴Rt△
BCD
≌Rt△
BED
(HL).∴
BC
=
BE
=6.
123456789101112在Rt△
ADE
中,
AE2+
DE2=
AD2,∴42+
x2=(8-
x
)2,解得
x
=3.∴
AD
=8-
x
=5.∴
AE
=
AB
-
BE
=10-6=4.設(shè)
CD
=
DE
=
x
,則
AD
=
AC
-
CD
=8-
x
.123456789101112返回知識點2
勾股定理與圖形的面積4.
如圖,所有陰影部分四邊形都是正方形,所有三角形都是
直角三角形.若正方形
A
,
C
,
D
的面積依次為4,6,
18,則正方形
B
的面積為(
A
)A.8B.9C.10D.12(第4題)123456789101112【點撥】如圖,由題意得
S正方形
A
+
S正方形
B
=
S正方形
E
,
S正方形
D
-
S正方形
C
=
S正方形
E
,∴
S正方形
A
+
S正方形
B
=
S正方形
D
-
S正方形
C
.
又∵正方形
A
,
C
,
D
的面積依次為4,6,18,∴
S正方形
B
+4=18-6,∴
S正方形
B
=8.【答案】A123456789101112返回5.
如圖,點
E
在正方形
ABCD
內(nèi),滿足∠
AEB
=90°,
AE
=6,
BE
=8,則陰影部分的面積是(
C
)A.48B.60C.76D.80(第5題)C【點撥】在Rt△ABE中,由勾股定理可得AB=10,∴S正方形ABCD=102=100.
123456789101112返回6.[新考法·計算比較法2023·日照]已知直角三角形的三邊
a
,
b
,
c
滿足
c
>
a
>
b
,分別以
a
,
b
,
c
為邊作三個正
方形,把兩個較小的正方形放置在最大正方形內(nèi),如圖,
設(shè)三個正方形無重疊部分的面積為
S1,均重疊部分的面積
為
S2,則(
C
)A.
S1>
S2B.
S1<
S2C.
S1=
S2D.
S1,
S2大小無法確定(第6題)C123456789101112【點撥】∵直角三角形的三邊
a
,
b
,
c
滿足
c
>
a
>
b
,∴該
直角三角形的斜邊為
c
,∴
c2=
a2+
b2.∴
c2-
a2-
b2=0.∴
S1=
c2-
a2-
b2+
b
(
a
+
b
-
c
)=
ab
+
b2-
bc
.易知
S2=
b
(
a
+
b
-
c
)=
ab
+
b2-
bc
,∴
S1=
S2.故選C.
【答案】C123456789101112返回7.
[新考向·文化傳承2023·揚州]我國漢代數(shù)學家趙爽證明勾
股定理時創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”,后人稱之為“趙爽
弦圖”,它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組
成的,如圖,直角三角形的直角邊長為
a
,
b
,斜邊長為
c
,若
b
-
a
=4,
c
=20,則每個直角
三角形的面積為
?.96
(第7題)123456789101112∴
ab
=192.
【點撥】由題意可得
a2+
b2=
c2,∴
a2+
b2=202,即(
a
-
b
)2+2
ab
=400.∴2
ab
=400-(
a
-
b
)2=400-42=384,123456789101112返回易錯點三角形高的位置不明確,因考慮問題不全面而導(dǎo)致
出錯(分類討論思想)8.
在△
ABC
中,
AB
=20,
AC
=13,高
AD
=12,則△
ABC
的面積為(
D
)A.66B.126C.55或44D.126或66123456789101112①如圖①,
AD
在△
ABC
內(nèi)部.在Rt△
ACD
中,由勾股定理得
CD
=5,在Rt△
ABD
中,由勾股定理得
DB
=16,∴
CB
=
CD
+
DB
=5+16=21,
【點撥】由題意知,要分兩種情況求解:123456789101112②如圖②,
AD
在△
ABC
外部.在Rt△
ACD
中,由勾股定理得
CD
=5,在Rt△
ABD
中,由勾股定理得
DB
=16,∴
CB
=
BD
-
CD
=16-5=11,
綜上所述,△
ABC
的面積為66或126.【答案】D123456789101112返回
利用勾股定理求作圖中線段的長
A.9B.8C.7D.6123456789101112【點撥】由題意得
MN
是
AC
的垂直平分線,∴
AC
=2
AE
=8,
DA
=
DC
.
∴∠
DAC
=∠
C
.
∵
BD
=
CD
,∴
BD
=
AD
.
∴∠
B
=∠
BAD
.
∵∠
B
+∠
BAD
+∠
C
+∠
DAC
=180°,∴2∠
BAD
+2∠
DAC
=180°.∴∠
BAD
+∠
DAC
=90°.123456789101112
故選D.
【答案】D∴∠
BAC
=90°.在Rt△
ABC
中,
BC
=
BD
+
CD
=2
AD
=10,
AC
=8,123456789101112返回
利用勾股定理求圖形面積
【解】如圖所示,
AP
即為所求.123456789101112(2)在(1)所作圖形中,求△
ABP
的面積.
123456789101112返回
利用勾股定理求線段長11.
[新考向·傳承數(shù)學文化]《算法統(tǒng)宗》中記載:平地秋千
未起,踏板一尺離地,送行二步與人齊,五尺人高曾
記……翻譯成現(xiàn)代文如下:如圖,秋千
OA
靜止的時
候,踏板離地高一尺(
AC
=1尺),將它往前推進兩步
(
EB
=10尺),此時踏板升高,離地五尺(
BD
=5尺),求
秋千繩索
OB
的長度.123456789101112【解】設(shè)
OA
=
OB
=
x
尺,由題意,得
EC
=
BD
=5尺,
AC
=1尺,∴
EA
=
EC
-
AC
=5-1=4(尺),
OE
=
OA
-
AE
=(
x
-4)尺,在Rt△
OEB
中,
OE
=(
x
-4)尺,
OB
=
x
尺,
EB
=10尺,根據(jù)勾股定理得
x2=(
x
-4)2+102,整理得8
x
=116,解得
x
=14.5.∴秋千繩索
OB
的長度為14.5尺.123456789101112返回
利用作差法探究圖形中線段關(guān)系12.
[新考法·猜想驗證法]在△
ABC
中,
BC
=
a
,
AC
=
b
,
AB
=
c
.若∠
C
=90°,如圖①,根據(jù)勾股定理,有
a2
+
b2=
c2.若△
ABC
不是直角三角形,而是圖②③所示
的銳角三角形和鈍角三角形.123456789101112(1)請你類比勾股定理,猜想
a2+
b2與
c2的關(guān)系:圖②
中,
a2+
b2
c2;圖③中,
a2+
b2
c2.(填
“>”“<”或“=”)>
<
123456789101112(2)說明你在(1)中猜想的結(jié)論的正確性.【解】如圖①,作
BC
邊上的高
AD
,則∠
ADC
=∠
ADB
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