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文檔簡介

冀教版八年級上第十七章特殊三角形17.3勾股定理第1課時認識勾股定理01名師點金02認知基礎(chǔ)練03素養(yǎng)提升練目

錄CONTENTS

勾股定理的適用條件:直角三角形.勾股定理反映了直

角三角形三邊的關(guān)系,即已知直角三角形兩邊長可求第三邊

長.對于非直角三角形問題,可根據(jù)圖形特征構(gòu)造直角三角

形,運用時要分清直角邊和斜邊,在Rt△

ABC

中,斜邊不

一定是

c

.返回知識點1

勾股定理1.

在△

ABC

中,∠

C

=90°,∠

A

,∠

B

,∠

C

的對邊分

別是

a

,

b

,

c

,則下列式子成立的是(

A

)A.

a2+

b2=

c2B.

a2+

c2=

b2C.

a2-

b2=

c2D.

a

b

c

【點撥】∵∠

C

=90°,∠

A

,∠

B

,∠

C

的對邊分別是

a

,

b

,

c

,∴

a2+

b2=

c2.故選A.

A123456789101112返回

(第2題)123456789101112

∴4×3=4CD+5CD,

由題意知AD平分∠BAC,∵DC⊥AC,∴CD=

DM,∵∠C=90°,AB=5,BC=3,

【點撥】如圖,作DM⊥AB于點M,D【答案】123456789101112返回3.

[2023·隨州]如圖,在Rt△

ABC

中,∠

C

=90°,

AC

8,

BC

=6,

D

AC

上一點,若

BD

是∠

ABC

的平分

線,則

AD

?.(第3題)5

123456789101112【點撥】如圖,過點

D

DE

AB

于點

E

.

∵∠

C

=90°,∴

CD

BC

,∵

BD

是∠

ABC

的平分線,∴

CD

DE

.

∴Rt△

BCD

≌Rt△

BED

(HL).∴

BC

BE

=6.

123456789101112在Rt△

ADE

中,

AE2+

DE2=

AD2,∴42+

x2=(8-

x

)2,解得

x

=3.∴

AD

=8-

x

=5.∴

AE

AB

BE

=10-6=4.設(shè)

CD

DE

x

,則

AD

AC

CD

=8-

x

.123456789101112返回知識點2

勾股定理與圖形的面積4.

如圖,所有陰影部分四邊形都是正方形,所有三角形都是

直角三角形.若正方形

A

,

C

,

D

的面積依次為4,6,

18,則正方形

B

的面積為(

A

)A.8B.9C.10D.12(第4題)123456789101112【點撥】如圖,由題意得

S正方形

A

S正方形

B

S正方形

E

,

S正方形

D

S正方形

C

S正方形

E

,∴

S正方形

A

S正方形

B

S正方形

D

S正方形

C

.

又∵正方形

A

,

C

D

的面積依次為4,6,18,∴

S正方形

B

+4=18-6,∴

S正方形

B

=8.【答案】A123456789101112返回5.

如圖,點

E

在正方形

ABCD

內(nèi),滿足∠

AEB

=90°,

AE

=6,

BE

=8,則陰影部分的面積是(

C

)A.48B.60C.76D.80(第5題)C【點撥】在Rt△ABE中,由勾股定理可得AB=10,∴S正方形ABCD=102=100.

123456789101112返回6.[新考法·計算比較法2023·日照]已知直角三角形的三邊

a

,

b

,

c

滿足

c

a

b

,分別以

a

,

b

c

為邊作三個正

方形,把兩個較小的正方形放置在最大正方形內(nèi),如圖,

設(shè)三個正方形無重疊部分的面積為

S1,均重疊部分的面積

S2,則(

C

)A.

S1>

S2B.

S1<

S2C.

S1=

S2D.

S1,

S2大小無法確定(第6題)C123456789101112【點撥】∵直角三角形的三邊

a

,

b

c

滿足

c

a

b

,∴該

直角三角形的斜邊為

c

,∴

c2=

a2+

b2.∴

c2-

a2-

b2=0.∴

S1=

c2-

a2-

b2+

b

(

a

b

c

)=

ab

b2-

bc

.易知

S2=

b

(

a

b

c

)=

ab

b2-

bc

,∴

S1=

S2.故選C.

【答案】C123456789101112返回7.

[新考向·文化傳承2023·揚州]我國漢代數(shù)學家趙爽證明勾

股定理時創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”,后人稱之為“趙爽

弦圖”,它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組

成的,如圖,直角三角形的直角邊長為

a

,

b

,斜邊長為

c

,若

b

a

=4,

c

=20,則每個直角

三角形的面積為

?.96

(第7題)123456789101112∴

ab

=192.

【點撥】由題意可得

a2+

b2=

c2,∴

a2+

b2=202,即(

a

b

)2+2

ab

=400.∴2

ab

=400-(

a

b

)2=400-42=384,123456789101112返回易錯點三角形高的位置不明確,因考慮問題不全面而導(dǎo)致

出錯(分類討論思想)8.

在△

ABC

中,

AB

=20,

AC

=13,高

AD

=12,則△

ABC

的面積為(

D

)A.66B.126C.55或44D.126或66123456789101112①如圖①,

AD

在△

ABC

內(nèi)部.在Rt△

ACD

中,由勾股定理得

CD

=5,在Rt△

ABD

中,由勾股定理得

DB

=16,∴

CB

CD

DB

=5+16=21,

【點撥】由題意知,要分兩種情況求解:123456789101112②如圖②,

AD

在△

ABC

外部.在Rt△

ACD

中,由勾股定理得

CD

=5,在Rt△

ABD

中,由勾股定理得

DB

=16,∴

CB

BD

CD

=16-5=11,

綜上所述,△

ABC

的面積為66或126.【答案】D123456789101112返回

利用勾股定理求作圖中線段的長

A.9B.8C.7D.6123456789101112【點撥】由題意得

MN

AC

的垂直平分線,∴

AC

=2

AE

=8,

DA

DC

.

∴∠

DAC

=∠

C

.

BD

CD

,∴

BD

AD

.

∴∠

B

=∠

BAD

.

∵∠

B

+∠

BAD

+∠

C

+∠

DAC

=180°,∴2∠

BAD

+2∠

DAC

=180°.∴∠

BAD

+∠

DAC

=90°.123456789101112

故選D.

【答案】D∴∠

BAC

=90°.在Rt△

ABC

中,

BC

BD

CD

=2

AD

=10,

AC

=8,123456789101112返回

利用勾股定理求圖形面積

【解】如圖所示,

AP

即為所求.123456789101112(2)在(1)所作圖形中,求△

ABP

的面積.

123456789101112返回

利用勾股定理求線段長11.

[新考向·傳承數(shù)學文化]《算法統(tǒng)宗》中記載:平地秋千

未起,踏板一尺離地,送行二步與人齊,五尺人高曾

記……翻譯成現(xiàn)代文如下:如圖,秋千

OA

靜止的時

候,踏板離地高一尺(

AC

=1尺),將它往前推進兩步

(

EB

=10尺),此時踏板升高,離地五尺(

BD

=5尺),求

秋千繩索

OB

的長度.123456789101112【解】設(shè)

OA

OB

x

尺,由題意,得

EC

BD

=5尺,

AC

=1尺,∴

EA

EC

AC

=5-1=4(尺),

OE

OA

AE

=(

x

-4)尺,在Rt△

OEB

中,

OE

=(

x

-4)尺,

OB

x

尺,

EB

=10尺,根據(jù)勾股定理得

x2=(

x

-4)2+102,整理得8

x

=116,解得

x

=14.5.∴秋千繩索

OB

的長度為14.5尺.123456789101112返回

利用作差法探究圖形中線段關(guān)系12.

[新考法·猜想驗證法]在△

ABC

中,

BC

a

,

AC

b

AB

c

.若∠

C

=90°,如圖①,根據(jù)勾股定理,有

a2

b2=

c2.若△

ABC

不是直角三角形,而是圖②③所示

的銳角三角形和鈍角三角形.123456789101112(1)請你類比勾股定理,猜想

a2+

b2與

c2的關(guān)系:圖②

中,

a2+

b2

c2;圖③中,

a2+

b2

c2.(填

“>”“<”或“=”)>

123456789101112(2)說明你在(1)中猜想的結(jié)論的正確性.【解】如圖①,作

BC

邊上的高

AD

,則∠

ADC

=∠

ADB

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