2024八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十六章軸對(duì)稱和中心對(duì)稱16.3角的平分線習(xí)題課件新版冀教版

冀教版八年級(jí)上第十六章軸對(duì)稱和中心對(duì)稱16.3角的平分線01名師點(diǎn)金02認(rèn)知基礎(chǔ)練03素養(yǎng)提升練目

錄CONTENTS1.

角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離是指角平分線上的點(diǎn)到角

兩邊的垂線段的長(zhǎng).2.

角平分線的性質(zhì)是證明線段相等的一個(gè)重要方法，應(yīng)用時(shí)

要注意兩點(diǎn)：一是不要漏掉垂直關(guān)系這個(gè)關(guān)鍵條件；二是

直接得到線段相等，而不必再證兩三角形全等.返回知識(shí)點(diǎn)1

角的平分線的畫法1.

如圖，用直尺和圓規(guī)作一個(gè)已知角的平分線，能得出

∠

MOC

＝∠

NOC

的依據(jù)是(

A

)A.SSSB.SASC.ASAD.AASA12345678910111213返回2.

[2023·河南]如圖，△

ABC

中，點(diǎn)

D

在邊

AC

上，且

AD

＝

AB

.

(1)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出∠

A

的平分線(保留作圖

痕跡，不寫作法)；【解】如圖所示，

AE

即為所求.12345678910111213(2)若(1)中所作的角平分線與邊

BC

交于點(diǎn)

E

，連接

DE

.

求證：

DE

＝

BE

.

【證明】∵

AE

平分∠

BAC

，∴∠

BAE

＝∠

DAE

.

又∵

AB

＝

AD

，

AE

＝

AE

，∴△

BAE

≌△

DAE

(SAS).∴

DE

＝

BE

.

12345678910111213返回知識(shí)點(diǎn)2

角平分線的性質(zhì)3.

如圖，在直角三角形

ABC

中，∠

B

＝90°，

AD

平分

∠

BAC

，交

BC

于點(diǎn)

D

，

DE

⊥

AC

，垂足為點(diǎn)

E

，若

BD

＝

2，則

DE

的長(zhǎng)為

?.(第3題)2

12345678910111213返回

12

(第4題)12345678910111213【點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)

G

作

GM

⊥

AC

于點(diǎn)

M

，

GN

⊥

BC

于點(diǎn)

N

.

由題意可知

CG

平分∠

ACB

.

又∵

GM

⊥

AC

，

GN

⊥

BC

，∴

GM

＝

GN

.

12345678910111213返回知識(shí)點(diǎn)3角的平分線的判定5.

如圖，

AD

⊥

OB

，

BC

⊥

OA

，垂足分別為

D

，

C

，

AD

，

BC

相交于點(diǎn)

P

，若

PA

＝

PB

，則∠1與∠2的大小

關(guān)系是(

A

)A.

∠1＝∠2B.

∠1＞∠2C.

∠1＜∠2D.

無(wú)法確定(第5題)【點(diǎn)撥】

因?yàn)?/p>

AD

⊥

OB

，

BC

⊥

OA

，所以∠

PDB

＝∠

PCA

＝90°.又因?yàn)椤?/p>

APC

＝∠

BPD

，

PA

＝

PB

，所以△

PAC

≌△

PBD

，所以

PC

＝

PD

，所以

OP

平分∠

AOB

，所以∠1＝∠2.A12345678910111213返回6.

如圖，∠

B

＝∠

C

＝90°，

M

是

BC

的中點(diǎn)，

DM

平分 ∠

ADC

，且∠

ADC

＝110°，則∠

MAB

＝

?.(第6題)35°

12345678910111213【點(diǎn)撥】過(guò)點(diǎn)

M

作

MN

⊥

AD

于點(diǎn)

N

.

∵∠

B

＝∠

C

＝90°，∴∠

B

＋∠

C

＝180°，∴

AB

∥

CD

.

∴∠

DAB

＝180°－∠

ADC

＝70°.∵

DM

平分∠

ADC

，

MN

⊥

AD

，

MC

⊥

CD

，

∴

MN

＝

MC

.

∵

M

是

BC

的中點(diǎn)，∴

MC

＝

MB

.

∴

MN

＝

MB

.

又∵

MN

⊥

AD

，

MB

⊥

AB

，∴

AM

平分∠

DAB

.

12345678910111213返回知識(shí)點(diǎn)4三角形的角平分線7.

[母題·教材P121性質(zhì)定理]到△

ABC

的三邊距離相等的點(diǎn)

是△

ABC

的(

C

)A.

三條中線的交點(diǎn)B.

三條高的交點(diǎn)C.

三條角平分線的交點(diǎn)D.

以上均不對(duì)【點(diǎn)撥】角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.C12345678910111213返回

A.

BC

＝

BE

B.

CD

＝

DE

C.

BD

＝

AD

D.

BD

一定經(jīng)過(guò)△

ABC

三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)12345678910111213【點(diǎn)撥】由題意知，

BD

平分∠

ABC

.

∴

BD

一定經(jīng)過(guò)△

ABC

三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn).∴D不符合題意.∵∠

C

＝90°，

DE

⊥

AB

，∴

CD

＝

DE

，∴B不符合題意.∵

DE

⊥

AB

，∴∠

DEB

＝90°＝∠

C

.

∵

BD

平分∠

ABC

，∴∠

CBD

＝∠

EBD

.

12345678910111213

∴△

BCD

≌△

BED

(AAS)

.∴

BC

＝

BE

.

∴A不符合題意.無(wú)法證明

BD

＝

AD

，

∴C符合題意.故選C.

【答案】C12345678910111213返回易錯(cuò)點(diǎn)因考慮問(wèn)題不全面而漏解9.

如圖，直線

l1，

l2，

l3表示三條兩兩相互交叉的公路，現(xiàn)

在擬建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離都相

等，則可供選擇的地址有

處.【點(diǎn)撥】在

l1，

l2，

l3圍成的三角形內(nèi)部有一處，為三條角平

分線的交點(diǎn)；外部有三處，均為兩個(gè)外角平分線的交點(diǎn).4

12345678910111213返回

利用角平分線的作法證明邊角關(guān)系

A.

AB

＝

AC

B.

AG

⊥

BC

C.

∠

DGB

＝∠

EGC

D.

AG

＝

AC

12345678910111213【點(diǎn)撥】由題意知

AD

＝

AE

，

AG

是△

ABC

的角平分線，即

∠

BAG

＝∠

CAG

.

當(dāng)

AB

＝

AC

時(shí)，因?yàn)椤?/p>

BAG

＝∠

CAG

，且

AG

＝

AG

，所以△

ABG

≌△

ACG

(SAS)，所以

BG

＝

CG

，故A選項(xiàng)不符合題意.12345678910111213當(dāng)

AG

⊥

BC

時(shí)，∠

AGB

＝∠

AGC

＝90°.又因?yàn)椤?/p>

BAG

＝∠

CAG

，且

AG

＝

AG

，所以△

ABG

≌△

ACG

(ASA)，所以

BG

＝

CG

，故B選項(xiàng)不符合題意.當(dāng)∠

DGB

＝∠

EGC

時(shí)，因?yàn)?/p>

AD

＝

AE

，∠

BAG

＝∠

CAG

，

AG

＝

AG

，所以△

ADG

≌△

AEG

(SAS)，12345678910111213所以∠

AGD

＝∠

AGE

.

又因?yàn)椤?/p>

DGB

＝∠

EGC

，所以∠

AGD

＋∠

DGB

＝∠

AGE

＋∠

EGC

，即∠

AGB

＝∠

AGC

.

又因?yàn)椤?/p>

AGB

＋∠

AGC

＝180°，所以∠

AGB

＝∠

AGC

＝90°，則同B選項(xiàng)可得出

BG

＝

CG

，故C選項(xiàng)不符合題意.添加D選項(xiàng)無(wú)法得出

BG

＝

CG

，故選D.

【答案】D12345678910111213返回

利用基本圖形法判定角平分線題型1作垂線，通過(guò)全等證相等11.

如圖，

PA

＝

PB

，∠1＋∠2＝180°.求證：

OP

平分∠

AOB

.

12345678910111213【證明】如圖，過(guò)點(diǎn)

P

作

PE

⊥

OA

，

PF

⊥

OB

，垂足分

別為點(diǎn)

E

，

F

，則∠

AEP

＝∠

BFP

＝90°.∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠

PBO

＝180°，∴∠1＝∠

PBO

.

又∵

PA

＝

PB

，∴△

PAE

≌△

PBF

(AAS).∴

PE

＝

PF

.

又∵

PE

⊥

OA

，

PF

⊥

OB

，∴

OP

為∠

AOB

的平分線，即

OP

平分∠

AOB

.

12345678910111213返回題型2作垂線，通過(guò)等線段證相等12.

如圖，在△

ABC

中，∠

ABC

的平分線與△

ABC

的外角

∠

ACE

的平分線相交于點(diǎn)

P

，

PD

⊥

AC

于點(diǎn)

D

，

PH

⊥

BA

交

BA

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)

H

.

12345678910111213(1)若點(diǎn)

P

到直線

BA

的距離是5

cm，求點(diǎn)

P

到直線

BC

的

距離為

?；【點(diǎn)撥】如圖，過(guò)點(diǎn)

P

作

PF

⊥

BE

于點(diǎn)

F

.

5

cm

由題意可知

PH

＝5

cm.∵

BP

平分∠

ABC

，

PH

⊥

BA

，

PF

⊥

BE

，∴

PF

＝

PH

＝5

cm，即點(diǎn)

P

到直線

BC

的距離為5

cm.12345678910111213(2)求證：點(diǎn)

P

在∠

HAC

的平分線上.【證明】∵

CP

平分∠

ACE

，

PD

⊥

AC

，

PF

⊥

BE

，∴

PF

＝

PD

.

由(1)知

PH

＝

PF

，∴

PD

＝

PH

.

又∵

PH

⊥

BA

，

PD

⊥

AC

，∴點(diǎn)

P

在∠

HAC

的平分線上.12345678910111213返回

利用三角形角平分線的性質(zhì)探求線段的數(shù)量關(guān)系1