上海市寶山區(qū)行知中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測試題含解析

上海市寶山區(qū)行知中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓的左、右焦點分別為，為軸上一點，為正三角形，若，的中點恰好在橢圓上，則橢圓的離心率是（）A. B.C. D.2．2020年12月4日，嫦娥五號探測器在月球表面第一次動態(tài)展示國旗.1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點.有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近.為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標(biāo)系，，，，分別是大星中心點與四顆小星中心點的聯(lián)結(jié)線，，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（）A. B.C. D.3．經(jīng)過點作圓的弦,使點為弦的中點，則弦所在直線的方程為A. B.C. D.4．定義在R上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則滿足的x的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知向量，，且，則的值是（）A. B.C. D.6．阿基米德曾說過：“給我一個支點，我就能撬動地球”.他在做數(shù)學(xué)研究時，有一個有趣的問題：一個邊長為2的正方形內(nèi)部挖了一個內(nèi)切圓，現(xiàn)在以該內(nèi)切圓的圓心且平行于正方形的一邊的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周形成幾何體，則該旋轉(zhuǎn)體的體積為（）A. B.C. D.7．已知函數(shù)，若對任意，都有成立，則a的取值范圍為（）A. B.C. D.8．下列曲線中，與雙曲線有相同漸近線是（）A. B.C. D.9．在正三棱錐S-ABC中，AB=4，D、E分別是SA、AB中點，且DE⊥CD，則三棱錐S-ABC外接球的體積為（）A.π B.πC.π D.π10．中國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“今有俸糧三百零五石，令五等官（正一品、從一品、正二品、從二品、正三品）依品遞差十三石分之，問，各若干？”其大意是，現(xiàn)有俸糧石，分給正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這位官員，依照品級遞減石分這些俸糧，問，每個人各分得多少俸糧？在這個問題中，正三品分得俸糧是（）A.石 B.石C.石 D.石11．直線關(guān)于直線對稱的直線方程為（）A. B.C. D.12．函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．方程()所表示的直線恒過定點________14．已知雙曲線的左，右焦點分別為，，右焦點到一條漸近線的距離是，則其離心率的值是______；若點P是雙曲線C上一點，滿足，，則雙曲線C的方程為______15．已知，點在軸上，且，則點的坐標(biāo)為____________.16．復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若關(guān)于的方程恰有兩個不等實根，求實數(shù)的取值范圍18．（12分）已知函數(shù)在處取得極值（1）若對任意正實數(shù)，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù)19．（12分）已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列.（2）求數(shù)列的前項和.20．（12分）已知拋物線的焦點為，直線與拋物線的準(zhǔn)線交于點，為坐標(biāo)原點，（1）求拋物線的方程；（2）直線與拋物線交于，兩點，求的面積21．（12分）已知函數(shù)在處取得極值確定a的值；若，討論的單調(diào)性22．（10分）如圖，OP為圓錐的高，AB為底面圓O的直徑，C為圓O上一點，并且，E為劣弧上的一點，且，.（1）若E為劣弧的中點，求證：平面POE；（2）若E為劣弧的三等分點（靠近點），求平面PEO與平面PEB的夾角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)題意得，取線段的中點，則根據(jù)題意得，，根據(jù)橢圓的定義可知，然后解出離心率的值.【詳解】因為為正三角形，所以，取線段的中點，連結(jié)，則，所以，得，所以橢圓的離心率.故選：A.【點睛】求解離心率及其范圍的問題時，解題的關(guān)鍵在于畫出圖形，根據(jù)題目中的幾何條件列出關(guān)于，，的齊次式，然后得到關(guān)于離心率的方程或不等式求解2、C【解析】由五角星的內(nèi)角為，可知，又平分第三顆小星的一個角，過作軸平行線，則，即可求出直線的傾斜角.【詳解】都為五角星的中心點，平分第三顆小星的一個角，又五角星的內(nèi)角為，可知，過作軸平行線，則，所以直線的傾斜角為，故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線傾斜角，解題的關(guān)鍵是通過做輔助線找到直線的傾斜角，通過幾何關(guān)系求出傾斜角，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】由題知為弦AB的中點，可得直線與過圓心和點的直線垂直，可求的斜率，然后用點斜式求出的方程【詳解】由題意知圓的圓心為，，由，得，∴弦所在直線的方程為，整理得.選A.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，直線的斜率，直線的點斜式方程，屬于基礎(chǔ)題4、B【解析】，再根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可得或，解之即可得解.【詳解】解：，由題意可得或即或，解得或故選：B.5、A【解析】求出向量，的坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因為向量，，所以，，因為，所以，解得：，故選：A.6、B【解析】根據(jù)題意，結(jié)合圓柱和球的體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知：該旋轉(zhuǎn)體的體積等于底面半徑為，高為的圓柱的體積減去半徑為的球的體積，即，故選：B7、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再對給定不等式等價變形，分離參數(shù)借助均值不等式計算作答.【詳解】對函數(shù)求導(dǎo)得：，，，則，，而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時“=”，于是得，解得，所以a的取值范圍為.故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)思想是解決問題的關(guān)鍵.8、B【解析】求出已知雙曲線的漸近線方程，逐一驗證即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為.故選：B9、C【解析】取中點，連接，證明平面，得證，然后證明平面，得兩兩垂直，以為棱把三棱錐補成一個正方體，正方體的對角線是其外接球的直徑，而正方體的外接球也是正三棱錐的外接球，由此計算可得【詳解】取中點，連接，則，，，平面，所以平面，又平面，所以，D、E分別是SA、AB的中點，則，又，所以，，平面，所以平面，而平面，所以，，是正三棱錐，因此，因此可以為棱把三棱錐補成一個正方體，正方體的對角線是其外接球的直徑，而正方體的外接球也是正三棱錐的外接球，由，得，所以所求外接球直徑為，半徑為，球體積為故選：C10、D【解析】令位官員(正一品、從一品、正二品、從二品、正三品)所分得的俸糧數(shù)是公差為數(shù)列，利用等差數(shù)列的前n項和求，進(jìn)而求出正三品即可.【詳解】正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這位官員所分得的俸糧數(shù)記為數(shù)列，由題意，是以為公差的等差數(shù)列，且，解得.故正三品分得俸糧數(shù)量為（石）.故選：D.11、C【解析】先聯(lián)立方程得，再求得直線的點關(guān)于直線對稱點的坐標(biāo)為，進(jìn)而根據(jù)題意得所求直線過點，，進(jìn)而得直線方程.【詳解】解：聯(lián)立方程得，即直線與直線的交點為設(shè)直線的點關(guān)于直線對稱點的坐標(biāo)為，所以，解得所以直線關(guān)于直線對稱的直線過點，所以所求直線方程的斜率為，所以所求直線的方程為，即故選：C12、A【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域及零點的情況即可得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域為，則排除選項、,當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，且，，由零點存在定理可知在上存在一個零點，則排除，故選：.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】將方程化為，令得系數(shù)等于0，即可得到答案.【詳解】方程可化為，由，得，所以方程()所表示的直線恒過定點.故答案為：.【點睛】本題考查了直線恒過定點問題，屬于基礎(chǔ)題.14、①.##1.5②.【解析】求得焦點到漸近線的距離可得，計算即可求得離心率，由雙曲線的定義可求得，計算即可得出結(jié)果.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，即，焦點到漸近線的距離為，又，，，，.雙曲線上任意一點到兩焦點距離之差的絕對值為，即，，即，解得：，由，解得：,.雙曲線C的方程為.故答案為：；.15、【解析】設(shè)P(0,0,z),由|PA|=|PB|,得1+4+(z?1)2=4+4+(z?2)2，解得z=3，故點P的坐標(biāo)為(0,0,3).16、##【解析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念，即可得答案.【詳解】由題意可知：復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）求出導(dǎo)數(shù)，令，得出變化情況表，即可得出單調(diào)區(qū)間；（2）分離參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，根據(jù)與恰有兩個不同交點即可得出.【詳解】（1）當(dāng)時，函數(shù)，則令，得，，當(dāng)x變化時，的變化情況如下表:1+00+↗極大值↘極小值↗∴在上單調(diào)遞減（2）依題意，即．則令，則當(dāng)時，，故單調(diào)遞增，且；當(dāng)時，，故單調(diào)遞減，且∴函數(shù)在處取得最大值故要使與恰有兩個不同的交點，只需∴實數(shù)a的取值范圍是【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查根據(jù)方程根的個數(shù)求參數(shù)，解題的關(guān)鍵是參數(shù)分離，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)交點個數(shù)判斷.18、（1）（2）答案見解析.【解析】（1）根據(jù)極值點求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，將不等式恒成立化為最大值成立可求出結(jié)果；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大、極小值，結(jié)合函數(shù)的圖象分類討論可得結(jié)果.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，因為，且在處取得極值，所以，即，得，此時，當(dāng)時，，為增函數(shù)；當(dāng)時。，為減函數(shù)，所以在處取得極大值，也是最大值，最大值為，因為對任意正實數(shù)，恒成立，所以，得.【小問2詳解】，，由，得，由，得或，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以在時取得極大值為，在時取得極小值為，因為當(dāng)大于0趨近于0時，趨近于負(fù)無窮，當(dāng)趨近于正無窮時，趨近于正無窮，所以當(dāng)，即時，有且只有一個零點；當(dāng)，即時，有且只有兩個零點；當(dāng)，即時，有且只有三個零點；當(dāng)，即時，有且只有兩個零點；當(dāng)，即時，有且只有一個零點.綜上所述：當(dāng)或時，有且只有一個零點；當(dāng)或時，有且只有兩個零點；當(dāng)時有且只有三個零點.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由結(jié)合等差數(shù)列的定義證明即可；（2）由結(jié)合錯位相減法得出前項和.【小問1詳解】在兩邊同時除以，得：，，故數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列；【小問2詳解】由（1）得：，，①②①②得：所以.20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意建立關(guān)于的方程，解得的值即可.（2）聯(lián)列方程組并消元，韋達(dá)定理整體思想求的長，再求點到直線的距離，進(jìn)而求面積.【小問1詳解】由題意可得，，則，因為，所以，解得，故拋物線的方程為【小問2詳解】由（1）可知，則點到直線的距離聯(lián)立，整理得設(shè)，，則，從而因為直線過拋物線的焦點，所以故的面積為21、（1）（2）在和內(nèi)為減函數(shù)，在和內(nèi)為增函數(shù)【解析】（1）對求導(dǎo)得，因為在處取得極值，所以，即，解得；（2）由（1）得，，故，令，解得或，當(dāng)時，，故為減函數(shù)，當(dāng)時，，故為增函數(shù)，當(dāng)時，，故為減函數(shù)，當(dāng)時，，故為增函數(shù)，綜上所知：和是函數(shù)單調(diào)減區(qū)間，和是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.22、（1）證明見解析（2）【解析