2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章常用邏輯用語(yǔ)1.1.23四種命題四種命題間的相互關(guān)系限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練含解析新人教A版選修2-1

PAGE第一章1.11.1.21.1.3基礎(chǔ)練習(xí)1．已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是()A．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2<3B．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2<3C．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，則a＋b＋c＝3【答案】A【解析】a＋b＋c＝3的否定是a＋b＋c≠3，a2＋b2＋c2≥3的否定是a2＋b2＋c2<3.故選A．2．設(shè)a，b是向量，命題“若a＝－b，則|a|＝|b|”的逆命題是()A．若a≠－b，則|a|≠|(zhì)b| B．若a＝－b，則|a|≠|(zhì)b|C．若|a|≠|(zhì)b|，則a≠－b D．若|a|＝|b|，則a＝－b【答案】D【解析】原命題的條件是a＝－b，結(jié)論是|a|＝|b|，所以逆命題是：若|a|＝|b|，則a＝－b.3．命題“若m＝10，則m2＝100”及其逆命題、否命題、逆否命題這四個(gè)命題中，是真命題的是()A．原命題、否命題 B．原命題、逆命題C．原命題、逆否命題 D．逆命題、否命題【答案】C【解析】因?yàn)樵}是真命題，所以其逆否命題也是真命題．4．命題“若x＝1，則x2－3x＋2＝0”的逆否命題是()A．若x≠1，則x2－3x＋2≠0 B．若x2－3x＋2＝0，則x＝1C．若x2－3x＋2＝0，則x≠1 D．若x2－3x＋2≠0，則x≠1【答案】D【解析】將命題的條件與結(jié)論交換，并且否定可得逆否命題：若x2－3x＋2≠0，則x≠1.故選D．5．給出下列四個(gè)論斷：①a是正數(shù)；②b是負(fù)數(shù)；③a＋b是負(fù)數(shù)；④ab是非正數(shù)．選擇其中兩個(gè)作為條件，一個(gè)作為結(jié)論，寫出一個(gè)逆否命題是真命題的命題是________.【答案】若a是正數(shù)且a＋b是負(fù)數(shù)，則b是負(fù)數(shù)【解析】命題“若a是正數(shù)且a＋b是負(fù)數(shù)，則b是負(fù)數(shù)”為真，其逆否命題也為真．6．已知x，y∈R，命題“若xy＜18，則x＜2或y＜9”是________命題(填“真”或“假”)．【答案】真【解析】命題的逆否命題為“若x≥2且y≥9，則xy≥18”．“若x≥2且y≥9，則xy≥18”成立，即命題的逆否命題為真命題，則“若xy＜18，則x＜2或y＜9”是真命題．7．命題：“已知a，b，c，d是實(shí)數(shù)，若a＝b，c＝d，則a＋c＝b＋d.”寫出其逆命題、否命題、逆否命題．解：逆命題：已知a，b，c，d是實(shí)數(shù)，若a＋c＝b＋d，則a＝b，c＝d.否命題：已知a，b，c，d是實(shí)數(shù)，若a與b，c與d不都相等，則a＋c≠b＋d.逆否命題：已知a，b，c，d是實(shí)數(shù)，若a＋c≠b＋d，則a與b，c與d不都相等．8．已知a，b，c∈R，求證：若a＋b＋c<1，則a，b，c中至少有一個(gè)小于eq\f(1,3).證明：原命題的逆否命題為：已知a，b，c∈R，若a，b，c都不小于eq\f(1,3)，則a＋b＋c≥1.由條件a≥eq\f(1,3)，b≥eq\f(1,3)，c≥eq\f(1,3)，三式相加得a＋b＋c≥1.明顯逆否命題為真命題，所以原命題也為真命題，即已知a，b，c∈R，若a＋b＋c<1，則a，b，c中至少有一個(gè)小于eq\f(1,3).實(shí)力提升9．在命題“若x＋2y＝9，則x＝3且y＝3”及其逆命題、否命題和逆否命題中，真命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【解析】由題可知原命題是假命題，逆命題是真命題，依據(jù)互為逆否命題的兩個(gè)命題真假性相同可知否命題為真命題，逆否命題為假命題．故真命題的個(gè)數(shù)為2.10．(2024年湖北武漢模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax－4，若命題“函數(shù)f(x)與g(x)的圖象沒(méi)有公共點(diǎn)”為真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A．[－2,6] B．(－2,6)C．[－6,2] D．(－6,2)【答案】D【解析】令x2－2x＝ax－4，即x2－(a＋2)x＋4＝0，由題意得Δ＝(a＋2)2－16<0，解得－6<a<2.故選D．11．以下關(guān)于命題的說(shuō)法正確的有________(填序號(hào))．①“若log2a>0，則函數(shù)f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)”是真命題；②命題“若a＝0，則ab＝0”的否命題是“若a≠0，則ab≠0”；③命題“若x，y都是偶數(shù)，則x＋y也是偶數(shù)”的逆命題為真命題；④命題“若a∈M，則b?M”與命題“若b∈M，則a?M”等價(jià)．【答案】②④【解析】對(duì)于①，若log2a>0＝log21，則a>1，∴函數(shù)f(x)＝logax在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，①不正確．對(duì)于②，依據(jù)一個(gè)命題的否命題的定義可知該說(shuō)法正確．對(duì)于③，原命題的逆命題是“若x＋y是偶數(shù)，則x，y都是偶數(shù)”，是假命題，如1＋3＝4是偶數(shù)，但1和3均為奇數(shù)，故③不正確．對(duì)于④，命題“若a∈M，則b?M”與命題“若b∈M，則a?M”互為逆否命題，因此二者等價(jià)，∴④正確．綜上，正確的說(shuō)法有②④.12．命題：已知數(shù)列{an}，{bn}是兩個(gè)公比分別為p，q的等比數(shù)列，當(dāng)p≠q時(shí)，數(shù)列{an＋bn}不是等比數(shù)列．推斷此命題的真假．解：此命題的逆否命題：已知數(shù)列{an}，{bn}是兩個(gè)公比分別為p，q的等比數(shù)列，若{an＋bn}是等比數(shù)列，則p＝q.這是一個(gè)真命題