26麥克斯韋速率分布率玻爾茲曼分布定律

一.分布的概念氣體系統(tǒng)是由大量分子組成，而各分子的速率通過碰撞不斷地改變，不可能逐個(gè)加以描述,只能給出分子數(shù)按速率的分布?！栴}的提出·分布的概念例如學(xué)生人數(shù)按年齡的分布

年齡15~1617~18

19~20

21~22人數(shù)按年齡的分布

2000

3000

4000

1000

人數(shù)比率按年齡的分布

20%

30%

40%

10%§9.5麥克斯韋速率分布定律

速率v1

～v2

v2

～v3

…

vi

～vi+Δv

…分子數(shù)按速率的分布

ΔN1

ΔN2…

ΔNi…

分子數(shù)比率按速率的分布ΔN1/N

ΔN2/N…

ΔNi/N…例如氣體分子按速率的分布｛ΔNi｝就是分子數(shù)按速率的分布數(shù)二.速率分布函數(shù)f(v)

設(shè)某系統(tǒng)處于平衡態(tài)下，

總分子數(shù)為

N

，則在v～v+dv

區(qū)間內(nèi)分子數(shù)的比率為單位速率區(qū)間內(nèi)分子數(shù)的比率稱為速率分布函數(shù)意義：分布在速率v

附近單位速率間隔內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率。三.氣體速率分布的實(shí)驗(yàn)測(cè)定1.實(shí)驗(yàn)裝置2.測(cè)量原理(1)能通過細(xì)槽到達(dá)檢測(cè)器D

的分子所滿足的條件通過改變角速度ω的大小，選擇速率v

(3)通過細(xì)槽的寬度，選擇不同的速率區(qū)間(4)沉積在檢測(cè)器上相應(yīng)的金屬層厚度必定正比相應(yīng)速率下的分子數(shù)四.麥克斯韋速率分布定律理想氣體在平衡態(tài)下分子的速率分布函數(shù)(麥克斯韋速率分布函數(shù))式中μ為分子質(zhì)量，T為氣體熱力學(xué)溫度，

k為玻耳茲曼常量k=1.38×10-23J/K1.麥克斯韋速率分布定律說明(1)從統(tǒng)計(jì)的概念來看講速率恰好等于某一值的分子數(shù)多少，是沒有意義的。(2)麥克斯韋速率分布定律對(duì)處于平衡態(tài)下的混合氣體的各組分分別適用。(3)在通常情況下實(shí)際氣體分子的速率分布和麥克斯韋速率分布能很好的符合。理想氣體在平衡態(tài)下，氣體中分子速率在v～v+dv

區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率為這一規(guī)律稱為麥克斯韋速率分布定律2.麥克斯韋速率分布曲線f(v)vOv(速率分布曲線)·由圖可見，氣體中速率很小、速率很大的分子數(shù)都很少。

·在dv

間隔內(nèi),曲線下的面積表示速率分布在v～v+dv

中的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率v＋dv···在v1~v2區(qū)間內(nèi),曲線下的面積表示速率分布在v1~v2之間的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率v1v2TvOT(速率分布曲線)·曲線下面的總面積，等于分布在整個(gè)速率范圍內(nèi)所有各個(gè)速率間隔中的分子數(shù)與總分子數(shù)的比率的總和最概然速率vp

f(v)出現(xiàn)極大值時(shí),所對(duì)應(yīng)的速率稱為最概然速率

·(歸一化條件)f(v)物理意義：將速率分為相等的速率間隔，則在包含vp的間隔中的分子數(shù)最多。①μ

一定,T越大,這時(shí)曲線向右移動(dòng)②

T一定,

μ

越大,這時(shí)曲線向左移動(dòng)vp越大,

vp越小,T1f(v)vOT2(>T1)μ1f(v)vOμ2(>μ1)由于曲線下的面積不變,由此可見

不同氣體,不同溫度下的速率分布曲線的關(guān)系·五.分子速率的三種統(tǒng)計(jì)平均值

1.平均速率式中M為氣體的摩爾質(zhì)量，R為摩爾氣體常量思考：

是否表示在v1

~v2區(qū)間內(nèi)的平均速率？3.最概然速率

2.方均根速率T(1)一般三種速率用途各不相同

討論分子的碰撞次數(shù)用說明討論分子的平均平動(dòng)動(dòng)能用討論速率分布一般用f(v)vO(2)同一種氣體分子的三種速率的大小關(guān)系:···(3)平均平動(dòng)動(dòng)能

(4)速率的任意函數(shù)的平均值

指出下列各式的物理意義速率在v~v+dv之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率速率在v~v+dv之間的分子數(shù)速率在0~vp之間的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率速率在v1~v2之間的分子數(shù)分子總數(shù)分子的平均平動(dòng)動(dòng)能速率在v1~v2之間的分子的平動(dòng)動(dòng)能之和氦氣的速率分布曲線如圖所示.解例求(2)氫氣在該溫度時(shí)的最概然速率和方均根速率O(1)試在圖上畫出同溫度下氫氣的速率分布曲線的大致情況，

(2)例

某一假想的氣體系統(tǒng)含有N個(gè)氣體分子，其分子速率分布函數(shù)為：其中,C為歸一化常數(shù)。求：（1）C=?；（2）速率在之間的分子數(shù)；（3）最概然速率；（4）平均速率和方均根速率。（1）（2）（3）（4）解：§9.8玻耳茲曼分布律一.重力場(chǎng)中粒子按高度的分布麥克斯韋速率分布律是無外力場(chǎng)時(shí)，氣體分子的速率分布。此時(shí)，分子在空間的分布是均勻的。若有外力場(chǎng)存在，分子數(shù)密度如何分布呢？問題：(非均勻的穩(wěn)定分布)平衡態(tài)下氣體的溫度處處相同，氣體的壓強(qiáng)為hh+dh在重力場(chǎng)中，粒子數(shù)密度隨高度增大而減小，

越大，n

減小越迅速；T越高，n

減小越緩慢。(等溫氣壓公式)式中p0是高度為零處的壓強(qiáng)實(shí)驗(yàn)測(cè)得常溫下距海平面不太高處，每升高10m，大氣壓約降低133.3Pa。試用恒溫氣壓公式驗(yàn)證此結(jié)果（海平面上大氣壓按1.013×105Pa計(jì)，溫度取273K）。

解例等溫氣壓公式將上式兩邊微分，有二.玻耳茲曼分布律平衡態(tài)下溫度為T的氣體中，位于空間某一小區(qū)間x~x+dx

，y~y+dy

，

z~z+dz

中的分子數(shù)為這是粒子關(guān)于位置的分布的規(guī)律。常稱為玻耳茲曼分布律。它適用于任何形式的保守力場(chǎng)式中εp是位于（x、y、z）處分子的勢(shì)能它表明，在勢(shì)場(chǎng)中的分子總是優(yōu)先占據(jù)勢(shì)能較低的狀態(tài)。根據(jù)玻耳茲曼分布律，在重力場(chǎng)中，存在于x~x+dx

，

y~y+dy

，

z~z+dz

區(qū)間內(nèi)，具有各種速度的分子數(shù)為取z

軸垂直向上，地面處z=0，可得在大氣中取一無限高的直立圓柱體，截面積為A

，設(shè)柱體中分子數(shù)為N

。設(shè)大氣的溫度為T，空氣分子的質(zhì)量μ

。就此空氣柱求玻耳茲曼分布律中的n0解例解得拉薩海拔約為3600m

，氣溫為273K，忽略氣溫隨高度的變化。當(dāng)海平面上的氣